Cálculo Ejemplos

$\frac{a x + b}{a^{2} x^{2} + b^{2}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d b} [\frac{f (b)}{g (b)}]$ es $\frac{g (b) \frac{d}{d b} [f (b)] - f (b) \frac{d}{d b} [g (b)]}{{g (b)}^{2}}$ donde $f (b) = a x + b$ y $g (b) = a^{2} x^{2} + b^{2}$ .

$\frac{(a^{2} x^{2} + b^{2}) \frac{d}{d b} [a x + b] - (a x + b) \frac{d}{d b} [a^{2} x^{2} + b^{2}]}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $a x + b$ con respecto a $b$ es $\frac{d}{d b} [a x] + \frac{d}{d b} [b]$ .

$\frac{(a^{2} x^{2} + b^{2}) (\frac{d}{d b} [a x] + \frac{d}{d b} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d b} [a^{2} x^{2} + b^{2}]}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Paso 2.2

Como $a x$ es constante con respecto a $b$ , la derivada de $a x$ con respecto a $b$ es $0$ .

$\frac{(a^{2} x^{2} + b^{2}) (0 + \frac{d}{d b} [b]) - (a x + b) \frac{d}{d b} [a^{2} x^{2} + b^{2}]}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d b} [b^{n}]$ es $n b^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(a^{2} x^{2} + b^{2}) (0 + 1) - (a x + b) \frac{d}{d b} [a^{2} x^{2} + b^{2}]}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Paso 2.4

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{(a^{2} x^{2} + b^{2}) \cdot 1 - (a x + b) \frac{d}{d b} [a^{2} x^{2} + b^{2}]}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Paso 2.5

Según la regla de la suma, la derivada de $a^{2} x^{2} + b^{2}$ con respecto a $b$ es $\frac{d}{d b} [a^{2} x^{2}] + \frac{d}{d b} [b^{2}]$ .

$\frac{(a^{2} x^{2} + b^{2}) \cdot 1 - (a x + b) (\frac{d}{d b} [a^{2} x^{2}] + \frac{d}{d b} [b^{2}])}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Paso 2.6

Como $a^{2} x^{2}$ es constante con respecto a $b$ , la derivada de $a^{2} x^{2}$ con respecto a $b$ es $0$ .

$\frac{(a^{2} x^{2} + b^{2}) \cdot 1 - (a x + b) (0 + \frac{d}{d b} [b^{2}])}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Paso 2.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d b} [b^{n}]$ es $n b^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(a^{2} x^{2} + b^{2}) \cdot 1 - (a x + b) (0 + 2 b)}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Paso 2.8

Suma $0$ y $2 b$ .

$\frac{(a^{2} x^{2} + b^{2}) \cdot 1 - (a x + b) (2 b)}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a^{2} x^{2} \cdot 1 + b^{2} \cdot 1 - (a x + b) (2 b)}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a^{2} x^{2} \cdot 1 + b^{2} \cdot 1 + (- (a x) - b) (2 b)}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Paso 3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{a^{2} x^{2} \cdot 1 + b^{2} \cdot 1 - (a x) (2 b) - b (2 b)}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Paso 3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.4.1.1

Multiplica $a^{2}$ por $1$ .

$\frac{a^{2} x^{2} + b^{2} \cdot 1 - (a x) (2 b) - b (2 b)}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Paso 3.4.1.2

Multiplica $b^{2}$ por $1$ .

$\frac{a^{2} x^{2} + b^{2} - (a x) (2 b) - b (2 b)}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Paso 3.4.1.3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{a^{2} x^{2} + b^{2} - 2 a x b - b (2 b)}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Paso 3.4.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{a^{2} x^{2} + b^{2} - 2 a x b - 1 \cdot 2 b \cdot b}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Paso 3.4.1.5

Multiplica $b$ por $b$ sumando los exponentes.

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Paso 3.4.1.5.1

Mueve $b$ .

$\frac{a^{2} x^{2} + b^{2} - 2 a x b - 1 \cdot 2 (b \cdot b)}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Paso 3.4.1.5.2

Multiplica $b$ por $b$ .

$\frac{a^{2} x^{2} + b^{2} - 2 a x b - 1 \cdot 2 b^{2}}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Paso 3.4.1.6

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{a^{2} x^{2} + b^{2} - 2 a x b - 2 b^{2}}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Paso 3.4.2

Resta $2 b^{2}$ de $b^{2}$ .

$\frac{a^{2} x^{2} - b^{2} - 2 a x b}{{(a^{2} x^{2} + b^{2})}^{2}}$

Paso 3.5

Reordena los términos.

$\frac{- b^{2} + a^{2} x^{2} - 2 a b x}{{(b^{2} + a^{2} x^{2})}^{2}}$

Paso 3.6

Factoriza $- 1$ de $- b^{2}$ .

$\frac{- (b^{2}) + a^{2} x^{2} - 2 a b x}{{(b^{2} + a^{2} x^{2})}^{2}}$

Paso 3.7

Factoriza $- 1$ de $a^{2} x^{2}$ .

$\frac{- (b^{2}) - (- a^{2} x^{2}) - 2 a b x}{{(b^{2} + a^{2} x^{2})}^{2}}$

Paso 3.8

Factoriza $- 1$ de $- (b^{2}) - (- a^{2} x^{2})$ .

$\frac{- (b^{2} - a^{2} x^{2}) - 2 a b x}{{(b^{2} + a^{2} x^{2})}^{2}}$

Paso 3.9

Factoriza $- 1$ de $- 2 a b x$ .

$\frac{- (b^{2} - a^{2} x^{2}) - (2 a b x)}{{(b^{2} + a^{2} x^{2})}^{2}}$

Paso 3.10

Factoriza $- 1$ de $- (b^{2} - a^{2} x^{2}) - (2 a b x)$ .

$\frac{- (b^{2} - a^{2} x^{2} + 2 a b x)}{{(b^{2} + a^{2} x^{2})}^{2}}$

Paso 3.11

Reescribe $- (b^{2} - a^{2} x^{2} + 2 a b x)$ como $- 1 (b^{2} - a^{2} x^{2} + 2 a b x)$ .

$\frac{- 1 (b^{2} - a^{2} x^{2} + 2 a b x)}{{(b^{2} + a^{2} x^{2})}^{2}}$

Paso 3.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{b^{2} - a^{2} x^{2} + 2 a b x}{{(b^{2} + a^{2} x^{2})}^{2}}$