Cálculo Ejemplos

$y = \frac{8 x^{\frac{3}{2}}}{x}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 8 x^{\frac{3}{2}}$ y $g (x) = x$ .

$\frac{x \frac{d}{d x} [8 x^{\frac{3}{2}}] - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{x (8 \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{x (8 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1})) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (8 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{x (8 (\frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{x (8 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}})) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{x (8 (\frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}})) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 6.2

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{x (8 (\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}})) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 7

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x (8 \frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 8

Combina $8$ y $\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{x \frac{8 (3 x^{\frac{1}{2}})}{2} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 9

Multiplica $3$ por $8$ .

$\frac{x \frac{24 x^{\frac{1}{2}}}{2} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 10

Factoriza $2$ de $24 x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{x \frac{2 (12 x^{\frac{1}{2}})}{2} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 11

Cancela los factores comunes.

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Paso 11.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{x \frac{2 (12 x^{\frac{1}{2}})}{2 (1)} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 11.2

Cancela el factor común.

$\frac{x \frac{2 (12 x^{\frac{1}{2}})}{2 \cdot 1} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 11.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x \frac{12 x^{\frac{1}{2}}}{1} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 11.4

Divide $12 x^{\frac{1}{2}}$ por $1$ .

$\frac{x (12 x^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

Paso 12

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{x (12 x^{\frac{1}{2}}) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 13

Simplifica.

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Paso 13.1

Simplifica el numerador.

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Paso 13.1.1

Simplifica cada término.

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Paso 13.1.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{12 x \cdot x^{\frac{1}{2}} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 13.1.1.2

Multiplica $x$ por $x^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 13.1.1.2.1

Mueve $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{12 (x^{\frac{1}{2}} x) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 13.1.1.2.2

Multiplica $x^{\frac{1}{2}}$ por $x$ .

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Paso 13.1.1.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{12 (x^{\frac{1}{2}} x^{1}) - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 13.1.1.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{12 x^{\frac{1}{2} + 1} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 13.1.1.2.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{12 x^{\frac{1}{2} + \frac{2}{2}} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 13.1.1.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{12 x^{\frac{1 + 2}{2}} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 13.1.1.2.5

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{12 x^{\frac{3}{2}} - 1 \cdot 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 13.1.1.3

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$\frac{12 x^{\frac{3}{2}} - 8 x^{\frac{3}{2}} \cdot 1}{x^{2}}$

Paso 13.1.1.4

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$\frac{12 x^{\frac{3}{2}} - 8 x^{\frac{3}{2}}}{x^{2}}$

Paso 13.1.2

Resta $8 x^{\frac{3}{2}}$ de $12 x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{4 x^{\frac{3}{2}}}{x^{2}}$

Paso 13.2

Combina los términos.

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Paso 13.2.1

Mueve $x^{\frac{3}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ .

$\frac{4}{x^{2} x^{- \frac{3}{2}}}$

Paso 13.2.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{- \frac{3}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 13.2.2.1

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4}{x^{2 - \frac{3}{2}}}$

Paso 13.2.2.2

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{x^{2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{3}{2}}}$

Paso 13.2.2.3

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{4}{x^{\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{3}{2}}}$

Paso 13.2.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{4}{x^{\frac{2 \cdot 2 - 3}{2}}}$

Paso 13.2.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 13.2.2.5.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4}{x^{\frac{4 - 3}{2}}}$

Paso 13.2.2.5.2

Resta $3$ de $4$ .

$\frac{4}{x^{\frac{1}{2}}}$