Cálculo Ejemplos

$y = \frac{x^{4}}{4 x^{2} + 4}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = 4 x^{2} + 4$ .

$\frac{(4 x^{2} + 4) \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4]}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{(4 x^{2} + 4) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [4 x^{2} + 4]}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x^{2} + 4$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4]$ .

$\frac{(4 x^{2} + 4) (4 x^{3}) - x^{4} (\frac{d}{d x} [4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [4 x^{2}]$ .

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Paso 3.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x^{2}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{(4 x^{2} + 4) (4 x^{3}) - x^{4} (4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [4])}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{(4 x^{2} + 4) (4 x^{3}) - x^{4} (4 (2 x) + \frac{d}{d x} [4])}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 3.3

Multiplica $2$ por $4$ .

$\frac{(4 x^{2} + 4) (4 x^{3}) - x^{4} (8 x + \frac{d}{d x} [4])}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 4.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(4 x^{2} + 4) (4 x^{3}) - x^{4} (8 x + 0)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 4.2

Suma $8 x$ y $0$ .

$\frac{(4 x^{2} + 4) (4 x^{3}) - x^{4} (8 x)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x^{2} (4 x^{3}) + 4 (4 x^{3}) - x^{4} (8 x)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 5.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{4 \cdot 4 x^{2} x^{3} + 4 (4 x^{3}) - x^{4} (8 x)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 5.2.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1.2.1

Mueve $x^{3}$ .

$\frac{4 \cdot 4 (x^{3} x^{2}) + 4 (4 x^{3}) - x^{4} (8 x)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 5.2.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 \cdot 4 x^{3 + 2} + 4 (4 x^{3}) - x^{4} (8 x)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 5.2.1.2.3

Suma $3$ y $2$ .

$\frac{4 \cdot 4 x^{5} + 4 (4 x^{3}) - x^{4} (8 x)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{16 x^{5} + 4 (4 x^{3}) - x^{4} (8 x)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 5.2.1.4

Multiplica $4$ por $4$ .

$\frac{16 x^{5} + 16 x^{3} - x^{4} (8 x)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 5.2.1.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{16 x^{5} + 16 x^{3} - 1 \cdot 8 x^{4} x}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 5.2.1.6

Multiplica $x^{4}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.1.6.1

Mueve $x$ .

$\frac{16 x^{5} + 16 x^{3} - 1 \cdot 8 (x \cdot x^{4})}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 5.2.1.6.2

Multiplica $x$ por $x^{4}$ .

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Paso 5.2.1.6.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{16 x^{5} + 16 x^{3} - 1 \cdot 8 (x^{1} x^{4})}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 5.2.1.6.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{16 x^{5} + 16 x^{3} - 1 \cdot 8 x^{1 + 4}}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 5.2.1.6.3

Suma $1$ y $4$ .

$\frac{16 x^{5} + 16 x^{3} - 1 \cdot 8 x^{5}}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 5.2.1.7

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$\frac{16 x^{5} + 16 x^{3} - 8 x^{5}}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 5.2.2

Resta $8 x^{5}$ de $16 x^{5}$ .

$\frac{8 x^{5} + 16 x^{3}}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 5.3

Factoriza $8 x^{3}$ de $8 x^{5} + 16 x^{3}$ .

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Paso 5.3.1

Factoriza $8 x^{3}$ de $8 x^{5}$ .

$\frac{8 x^{3} (x^{2}) + 16 x^{3}}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 5.3.2

Factoriza $8 x^{3}$ de $16 x^{3}$ .

$\frac{8 x^{3} (x^{2}) + 8 x^{3} (2)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 5.3.3

Factoriza $8 x^{3}$ de $8 x^{3} (x^{2}) + 8 x^{3} (2)$ .

$\frac{8 x^{3} (x^{2} + 2)}{{(4 x^{2} + 4)}^{2}}$

Paso 5.4

Simplifica el denominador.

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Paso 5.4.1

Factoriza $4$ de $4 x^{2} + 4$ .

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Paso 5.4.1.1

Factoriza $4$ de $4 x^{2}$ .

$\frac{8 x^{3} (x^{2} + 2)}{{(4 (x^{2}) + 4)}^{2}}$

Paso 5.4.1.2

Factoriza $4$ de $4$ .

$\frac{8 x^{3} (x^{2} + 2)}{{(4 (x^{2}) + 4 (1))}^{2}}$

Paso 5.4.1.3

Factoriza $4$ de $4 (x^{2}) + 4 (1)$ .

$\frac{8 x^{3} (x^{2} + 2)}{{(4 (x^{2} + 1))}^{2}}$

Paso 5.4.2

Aplica la regla del producto a $4 (x^{2} + 1)$ .

$\frac{8 x^{3} (x^{2} + 2)}{4^{2} {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.4.3

Eleva $4$ a la potencia de $2$ .

$\frac{8 x^{3} (x^{2} + 2)}{16 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.5

Cancela el factor común de $8$ y $16$ .

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Paso 5.5.1

Factoriza $8$ de $8 x^{3} (x^{2} + 2)$ .

$\frac{8 (x^{3} (x^{2} + 2))}{16 {(x^{2} + 1)}^{2}}$

Paso 5.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.5.2.1

Factoriza $8$ de $16 {(x^{2} + 1)}^{2}$ .

$\frac{8 (x^{3} (x^{2} + 2))}{8 (2 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

Paso 5.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{8 (x^{3} (x^{2} + 2))}{8 (2 {(x^{2} + 1)}^{2})}$

Paso 5.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{3} (x^{2} + 2)}{2 {(x^{2} + 1)}^{2}}$