Cálculo Ejemplos

$\frac{x + 8}{5 x^{2} e^{x}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x + 8$ y $g (x) = 5 x^{2} e^{x}$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} \frac{d}{d x} [x + 8] - (x + 8) \frac{d}{d x} [5 x^{2} e^{x}]}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 8$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [8]) - (x + 8) \frac{d}{d x} [5 x^{2} e^{x}]}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} (1 + \frac{d}{d x} [8]) - (x + 8) \frac{d}{d x} [5 x^{2} e^{x}]}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Paso 2.3

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} (1 + 0) - (x + 8) \frac{d}{d x} [5 x^{2} e^{x}]}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Paso 2.4

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) \frac{d}{d x} [5 x^{2} e^{x}]}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Paso 2.5

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{2} e^{x}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}]$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 \frac{d}{d x} [x^{2} e^{x}])}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Paso 3

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = e^{x}$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 (x^{2} \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]))}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Paso 4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 (x^{2} e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2}]))}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Paso 5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 (x^{2} e^{x} + e^{x} (2 x)))}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 (x^{2} e^{x}) + 5 (e^{x} (2 x)))}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Paso 6.2

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 x^{2} e^{x} + 10 e^{x} x)}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Paso 6.3

Reordena los términos.

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 e^{x} x^{2} + 10 e^{x} x)}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Paso 6.4

Reordena los factores en $5 e^{x} x^{2} + 10 e^{x} x$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})}{{(5 x^{2} e^{x})}^{2}}$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Aplica la regla del producto a $5 x^{2} e^{x}$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})}{{(5 x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Paso 7.2

Aplica la regla del producto a $5 x^{2}$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 - (x + 8) (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Paso 7.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 x^{2} e^{x} \cdot 1 + (- x - 1 \cdot 8) (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Paso 7.4

Simplifica el numerador.

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Paso 7.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.4.1.1

Multiplica $5$ por $1$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} + (- x - 1 \cdot 8) (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Paso 7.4.1.2

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} + (- x - 8) (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Paso 7.4.1.3

Expande $(- x - 8) (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 7.4.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 x^{2} e^{x} - x (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Paso 7.4.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 x^{2} e^{x} - x (5 x^{2} e^{x}) - x (10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x} + 10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Paso 7.4.1.3.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{5 x^{2} e^{x} - x (5 x^{2} e^{x}) - x (10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Paso 7.4.1.4

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 7.4.1.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.4.1.4.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.4.1.4.1.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} - (x^{2} x) (5 e^{x}) - x (10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Paso 7.4.1.4.1.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 7.4.1.4.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} - (x^{2} x^{1}) (5 e^{x}) - x (10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Paso 7.4.1.4.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{5 x^{2} e^{x} - x^{2 + 1} (5 e^{x}) - x (10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Paso 7.4.1.4.1.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} - x^{3} (5 e^{x}) - x (10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Paso 7.4.1.4.1.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 1 \cdot 5 x^{3} e^{x} - x (10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Paso 7.4.1.4.1.3

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - x (10 x e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Paso 7.4.1.4.1.4

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 7.4.1.4.1.4.1

Mueve $x$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - (x \cdot x) (10 e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Paso 7.4.1.4.1.4.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - x^{2} (10 e^{x}) - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Paso 7.4.1.4.1.5

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 1 \cdot 10 x^{2} e^{x} - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Paso 7.4.1.4.1.6

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 10 x^{2} e^{x} - 8 (5 x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Paso 7.4.1.4.1.7

Multiplica $5$ por $- 8$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 10 x^{2} e^{x} - 40 (x^{2} e^{x}) - 8 (10 x e^{x})}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Paso 7.4.1.4.1.8

Multiplica $10$ por $- 8$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 10 x^{2} e^{x} - 40 x^{2} e^{x} - 80 x e^{x}}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Paso 7.4.1.4.2

Resta $40 x^{2} e^{x}$ de $- 10 x^{2} e^{x}$ .

$\frac{5 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 50 x^{2} e^{x} - 80 x e^{x}}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Paso 7.4.2

Resta $50 x^{2} e^{x}$ de $5 x^{2} e^{x}$ .

$\frac{- 45 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 80 x e^{x}}{5^{2} {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Paso 7.5

Combina los términos.

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Paso 7.5.1

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{- 45 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 80 x e^{x}}{25 {(x^{2})}^{2} {(e^{x})}^{2}}$

Paso 7.5.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{2}$ .

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Paso 7.5.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 45 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 80 x e^{x}}{25 x^{2 \cdot 2} {(e^{x})}^{2}}$

Paso 7.5.2.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{- 45 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 80 x e^{x}}{25 x^{4} {(e^{x})}^{2}}$

Paso 7.5.3

Multiplica los exponentes en ${(e^{x})}^{2}$ .

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Paso 7.5.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 45 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 80 x e^{x}}{25 x^{4} e^{x \cdot 2}}$

Paso 7.5.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $x$ .

$\frac{- 45 x^{2} e^{x} - 5 x^{3} e^{x} - 80 x e^{x}}{25 x^{4} e^{2 x}}$

Paso 7.6

Reordena los términos.

$\frac{- 45 e^{x} x^{2} - 5 e^{x} x^{3} - 80 e^{x} x}{25 e^{2 x} x^{4}}$

Paso 7.7

Simplifica el numerador.

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Paso 7.7.1

Factoriza $5 e^{x} x$ de $- 45 e^{x} x^{2} - 5 e^{x} x^{3} - 80 e^{x} x$ .

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Paso 7.7.1.1

Factoriza $5 e^{x} x$ de $- 45 e^{x} x^{2}$ .

$\frac{5 e^{x} x (- 9 x) - 5 e^{x} x^{3} - 80 e^{x} x}{25 e^{2 x} x^{4}}$

Paso 7.7.1.2

Factoriza $5 e^{x} x$ de $- 5 e^{x} x^{3}$ .

$\frac{5 e^{x} x (- 9 x) + 5 e^{x} x (- x^{2}) - 80 e^{x} x}{25 e^{2 x} x^{4}}$

Paso 7.7.1.3

Factoriza $5 e^{x} x$ de $- 80 e^{x} x$ .

$\frac{5 e^{x} x (- 9 x) + 5 e^{x} x (- x^{2}) + 5 e^{x} x (- 16)}{25 e^{2 x} x^{4}}$

Paso 7.7.1.4

Factoriza $5 e^{x} x$ de $5 e^{x} x (- 9 x) + 5 e^{x} x (- x^{2})$ .

$\frac{5 e^{x} x (- 9 x - x^{2}) + 5 e^{x} x (- 16)}{25 e^{2 x} x^{4}}$

Paso 7.7.1.5

Factoriza $5 e^{x} x$ de $5 e^{x} x (- 9 x - x^{2}) + 5 e^{x} x (- 16)$ .

$\frac{5 e^{x} x (- 9 x - x^{2} - 16)}{25 e^{2 x} x^{4}}$

Paso 7.7.2

Reordena los términos.

$\frac{5 e^{x} x (- x^{2} - 9 x - 16)}{25 e^{2 x} x^{4}}$

Paso 7.8

Cancela el factor común de $5$ y $25$ .

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Paso 7.8.1

Factoriza $5$ de $5 e^{x} x (- x^{2} - 9 x - 16)$ .

$\frac{5 (e^{x} x (- x^{2} - 9 x - 16))}{25 e^{2 x} x^{4}}$

Paso 7.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.8.2.1

Factoriza $5$ de $25 e^{2 x} x^{4}$ .

$\frac{5 (e^{x} x (- x^{2} - 9 x - 16))}{5 (5 e^{2 x} x^{4})}$

Paso 7.8.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{5 (e^{x} x (- x^{2} - 9 x - 16))}{5 (5 e^{2 x} x^{4})}$

Paso 7.8.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{e^{x} x (- x^{2} - 9 x - 16)}{5 e^{2 x} x^{4}}$

Paso 7.9

Cancela el factor común de $e^{x}$ y $e^{2 x}$ .

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Paso 7.9.1

Factoriza $e^{2 x}$ de $e^{x} x (- x^{2} - 9 x - 16)$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} x (- x^{2} - 9 x - 16))}{5 e^{2 x} x^{4}}$

Paso 7.9.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.9.2.1

Factoriza $e^{2 x}$ de $5 e^{2 x} x^{4}$ .

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} x (- x^{2} - 9 x - 16))}{e^{2 x} (5 x^{4})}$

Paso 7.9.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{e^{2 x} (e^{- x} x (- x^{2} - 9 x - 16))}{e^{2 x} (5 x^{4})}$

Paso 7.9.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{e^{- x} x (- x^{2} - 9 x - 16)}{5 x^{4}}$

Paso 7.10

Cancela el factor común de $x$ y $x^{4}$ .

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Paso 7.10.1

Factoriza $x$ de $e^{- x} x (- x^{2} - 9 x - 16)$ .

$\frac{x (e^{- x} (- x^{2} - 9 x - 16))}{5 x^{4}}$

Paso 7.10.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 7.10.2.1

Factoriza $x$ de $5 x^{4}$ .

$\frac{x (e^{- x} (- x^{2} - 9 x - 16))}{x (5 x^{3})}$

Paso 7.10.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x (e^{- x} (- x^{2} - 9 x - 16))}{x (5 x^{3})}$

Paso 7.10.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{e^{- x} (- x^{2} - 9 x - 16)}{5 x^{3}}$

Paso 7.11

Factoriza $- 1$ de $- x^{2}$ .

$\frac{e^{- x} (- (x^{2}) - 9 x - 16)}{5 x^{3}}$

Paso 7.12

Factoriza $- 1$ de $- 9 x$ .

$\frac{e^{- x} (- (x^{2}) - (9 x) - 16)}{5 x^{3}}$

Paso 7.13

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2}) - (9 x)$ .

$\frac{e^{- x} (- (x^{2} + 9 x) - 16)}{5 x^{3}}$

Paso 7.14

Reescribe $- 16$ como $- 1 (16)$ .

$\frac{e^{- x} (- (x^{2} + 9 x) - 1 (16))}{5 x^{3}}$

Paso 7.15

Factoriza $- 1$ de $- (x^{2} + 9 x) - 1 (16)$ .

$\frac{e^{- x} (- (x^{2} + 9 x + 16))}{5 x^{3}}$

Paso 7.16

Reescribe $- (x^{2} + 9 x + 16)$ como $- 1 (x^{2} + 9 x + 16)$ .

$\frac{e^{- x} (- 1 (x^{2} + 9 x + 16))}{5 x^{3}}$

Paso 7.17

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{e^{- x} (x^{2} + 9 x + 16)}{5 x^{3}}$