Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{5} + 1}{x^{4}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{5} + 1$ y $g (x) = x^{4}$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [x^{5} + 1] - (x^{5} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{5} + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{x^{4} (\frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{5} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{x^{4} (5 x^{4} + \frac{d}{d x} [1]) - (x^{5} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 2.3

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{x^{4} (5 x^{4} + 0) - (x^{5} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 2.4

Suma $5 x^{4}$ y $0$ .

$\frac{x^{4} (5 x^{4}) - (x^{5} + 1) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{x^{4} (5 x^{4}) - (x^{5} + 1) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 3

Simplifica.

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Paso 3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{4} (5 x^{4}) + (- x^{5} - 1 \cdot 1) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{4} (5 x^{4}) - x^{5} (4 x^{3}) - 1 \cdot 1 (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{5 x^{4} x^{4} - x^{5} (4 x^{3}) - 1 \cdot 1 (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 3.3.1.2

Multiplica $x^{4}$ por $x^{4}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.2.1

Mueve $x^{4}$ .

$\frac{5 (x^{4} x^{4}) - x^{5} (4 x^{3}) - 1 \cdot 1 (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 3.3.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{5 x^{4 + 4} - x^{5} (4 x^{3}) - 1 \cdot 1 (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 3.3.1.2.3

Suma $4$ y $4$ .

$\frac{5 x^{8} - x^{5} (4 x^{3}) - 1 \cdot 1 (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 3.3.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{5 x^{8} - 1 \cdot 4 x^{5} x^{3} - 1 \cdot 1 (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 3.3.1.4

Multiplica $x^{5}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.1.4.1

Mueve $x^{3}$ .

$\frac{5 x^{8} - 1 \cdot 4 (x^{3} x^{5}) - 1 \cdot 1 (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 3.3.1.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{5 x^{8} - 1 \cdot 4 x^{3 + 5} - 1 \cdot 1 (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 3.3.1.4.3

Suma $3$ y $5$ .

$\frac{5 x^{8} - 1 \cdot 4 x^{8} - 1 \cdot 1 (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 3.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$\frac{5 x^{8} - 4 x^{8} - 1 \cdot 1 (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 3.3.1.6

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{5 x^{8} - 4 x^{8} - 1 (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 3.3.1.7

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{5 x^{8} - 4 x^{8} - 4 x^{3}}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 3.3.2

Resta $4 x^{8}$ de $5 x^{8}$ .

$\frac{x^{8} - 4 x^{3}}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 3.4

Combina los términos.

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Paso 3.4.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{2}$ .

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Paso 3.4.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{x^{8} - 4 x^{3}}{x^{4 \cdot 2}}$

Paso 3.4.1.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{x^{8} - 4 x^{3}}{x^{8}}$

Paso 3.4.2

Factoriza $x^{3}$ de $x^{8} - 4 x^{3}$ .

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Paso 3.4.2.1

Factoriza $x^{3}$ de $x^{8}$ .

$\frac{x^{3} x^{5} - 4 x^{3}}{x^{8}}$

Paso 3.4.2.2

Factoriza $x^{3}$ de $- 4 x^{3}$ .

$\frac{x^{3} x^{5} + x^{3} \cdot - 4}{x^{8}}$

Paso 3.4.2.3

Factoriza $x^{3}$ de $x^{3} x^{5} + x^{3} \cdot - 4$ .

$\frac{x^{3} (x^{5} - 4)}{x^{8}}$

Paso 3.4.3

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.4.3.1

Factoriza $x^{3}$ de $x^{8}$ .

$\frac{x^{3} (x^{5} - 4)}{x^{3} x^{5}}$

Paso 3.4.3.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{3} (x^{5} - 4)}{x^{3} x^{5}}$

Paso 3.4.3.3

Reescribe la expresión.

$\frac{x^{5} - 4}{x^{5}}$