Cálculo Ejemplos

$p (t) = \frac{\sqrt{t}}{2 t - 5}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = \sqrt{t}$ y $g (t) = 2 t - 5$ .

$\frac{(2 t - 5) \frac{d}{d t} [\sqrt{t}] - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 5]}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 2

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{(2 t - 5) \frac{d}{d t} [t^{\frac{1}{2}}] - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 5]}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{(2 t - 5) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 5]}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(2 t - 5) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 5]}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{(2 t - 5) (\frac{1}{2} t^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 5]}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{(2 t - 5) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 5]}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{(2 t - 5) (\frac{1}{2} t^{\frac{1 - 2}{2}}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 5]}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{(2 t - 5) (\frac{1}{2} t^{\frac{- 1}{2}}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 5]}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{(2 t - 5) (\frac{1}{2} t^{- \frac{1}{2}}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 5]}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 8

Simplifica.

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Paso 8.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{(2 t - 5) (\frac{1}{2} \cdot \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}) - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 5]}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 8.2

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{(2 t - 5) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \frac{d}{d t} [2 t - 5]}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 9

Según la regla de la suma, la derivada de $2 t - 5$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 5]$ .

$\frac{(2 t - 5) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} (\frac{d}{d t} [2 t] + \frac{d}{d t} [- 5])}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 10

Evalúa $\frac{d}{d t} [2 t]$ .

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Paso 10.1

Como $2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $2 t$ con respecto a $t$ es $2 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{(2 t - 5) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} (2 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 5])}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 10.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(2 t - 5) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 5])}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 10.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{(2 t - 5) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} (2 + \frac{d}{d t} [- 5])}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 11

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 11.1

Como $- 5$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{(2 t - 5) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} (2 + 0)}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 11.2

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{(2 t - 5) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 12

Simplifica.

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Paso 12.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 t \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 12.2

Simplifica cada término.

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Paso 12.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.2.1.1

Factoriza $2$ de $2 t$ .

$\frac{2 (t) \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 12.2.1.2

Factoriza $2$ de $2 t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{2 (t) \frac{1}{2 (t^{\frac{1}{2}})} - 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 12.2.1.3

Cancela el factor común.

$\frac{2 t \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 12.2.1.4

Reescribe la expresión.

$\frac{t \frac{1}{t^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 12.2.2

Combina $t$ y $\frac{1}{t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{t}{t^{\frac{1}{2}}} - 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 12.2.3

Mueve $t^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{t \cdot t^{- \frac{1}{2}} - 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 12.2.4

Multiplica $t$ por $t^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 12.2.4.1

Multiplica $t$ por $t^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 12.2.4.1.1

Eleva $t$ a la potencia de $1$ .

$\frac{t^{1} t^{- \frac{1}{2}} - 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 12.2.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{t^{1 - \frac{1}{2}} - 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 12.2.4.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{t^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}} - 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 12.2.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{t^{\frac{2 - 1}{2}} - 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 12.2.4.4

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} - 5 \frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 12.2.5

Combina $- 5$ y $\frac{1}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} + \frac{- 5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 12.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{t^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \sqrt{t} \cdot 2}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 12.2.7

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} - \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 12.3

Simplifica el numerador.

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Paso 12.3.1

Para escribir $t^{\frac{1}{2}}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{t^{\frac{1}{2}} \cdot \frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 12.3.2

Combina $t^{\frac{1}{2}}$ y $\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}} (2 t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}} - \frac{5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 12.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{t^{\frac{1}{2}} (2 t^{\frac{1}{2}}) - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 12.3.4

Simplifica el numerador.

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Paso 12.3.4.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{\frac{2 t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}} - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 12.3.4.2

Multiplica $t^{\frac{1}{2}}$ por $t^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 12.3.4.2.1

Mueve $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 (t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}}) - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 12.3.4.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{2 t^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}} - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 12.3.4.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{2 t^{\frac{1 + 1}{2}} - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 12.3.4.2.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{2 t^{\frac{2}{2}} - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 12.3.4.2.5

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{\frac{2 t^{1} - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 12.3.4.3

Simplifica $2 t^{1}$ .

$\frac{\frac{2 t - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 12.3.5

Para escribir $- 2 \sqrt{t}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{2 t - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}} - 2 \sqrt{t} \cdot \frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 12.3.6

Combina $- 2 \sqrt{t}$ y $\frac{2 t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ .

$\frac{\frac{2 t - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}} + \frac{- 2 \sqrt{t} (2 t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 12.3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{2 t - 5 - 2 \sqrt{t} (2 t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 12.3.8

Simplifica el numerador.

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Paso 12.3.8.1

Multiplica $- 2 \sqrt{t} (2 t^{\frac{1}{2}})$ .

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Paso 12.3.8.1.1

Multiplica $2$ por $- 2$ .

$\frac{\frac{2 t - 5 - 4 \sqrt{t} t^{\frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 12.3.8.1.2

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{t}$ como $t^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{\frac{2 t - 5 - 4 (t^{\frac{1}{2}} t^{\frac{1}{2}})}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 12.3.8.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{2 t - 5 - 4 t^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 12.3.8.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{2 t - 5 - 4 t^{\frac{1 + 1}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 12.3.8.1.5

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{2 t - 5 - 4 t^{\frac{2}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 12.3.8.1.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 12.3.8.1.6.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{2 t - 5 - 4 t^{\frac{2}{2}}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 12.3.8.1.6.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\frac{2 t - 5 - 4 t^{1}}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 12.3.8.2

Simplifica.

$\frac{\frac{2 t - 5 - 4 t}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 12.3.8.3

Resta $4 t$ de $2 t$ .

$\frac{\frac{- 2 t - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}}}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 12.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{- 2 t - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}} \cdot \frac{1}{{(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 12.5

Multiplica $\frac{- 2 t - 5}{2 t^{\frac{1}{2}}}$ por $\frac{1}{{(2 t - 5)}^{2}}$ .

$\frac{- 2 t - 5}{2 t^{\frac{1}{2}} {(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 12.6

Factoriza $- 1$ de $- 2 t$ .

$\frac{- (2 t) - 5}{2 t^{\frac{1}{2}} {(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 12.7

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$\frac{- (2 t) - 1 (5)}{2 t^{\frac{1}{2}} {(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 12.8

Factoriza $- 1$ de $- (2 t) - 1 (5)$ .

$\frac{- (2 t + 5)}{2 t^{\frac{1}{2}} {(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 12.9

Reescribe $- (2 t + 5)$ como $- 1 (2 t + 5)$ .

$\frac{- 1 (2 t + 5)}{2 t^{\frac{1}{2}} {(2 t - 5)}^{2}}$

Paso 12.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{2 t + 5}{2 t^{\frac{1}{2}} {(2 t - 5)}^{2}}$