Cálculo Ejemplos

$g (x) = \frac{8 x^{6} - 6 x^{8}}{x^{4}}$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 8 x^{6} - 6 x^{8}$ y $g (x) = x^{4}$ .

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [8 x^{6} - 6 x^{8}] - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 2

Según la regla de la suma, la derivada de $8 x^{6} - 6 x^{8}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [8 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{8}]$ .

$\frac{x^{4} (\frac{d}{d x} [8 x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{8}]) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d x} [8 x^{6}]$ .

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Paso 3.1

Como $8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $8 x^{6}$ con respecto a $x$ es $8 \frac{d}{d x} [x^{6}]$ .

$\frac{x^{4} (8 \frac{d}{d x} [x^{6}] + \frac{d}{d x} [- 6 x^{8}]) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$\frac{x^{4} (8 (6 x^{5}) + \frac{d}{d x} [- 6 x^{8}]) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 3.3

Multiplica $6$ por $8$ .

$\frac{x^{4} (48 x^{5} + \frac{d}{d x} [- 6 x^{8}]) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 4

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 x^{8}]$ .

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Paso 4.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 x^{8}$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [x^{8}]$ .

$\frac{x^{4} (48 x^{5} - 6 \frac{d}{d x} [x^{8}]) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 8$ .

$\frac{x^{4} (48 x^{5} - 6 (8 x^{7})) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 4.3

Multiplica $8$ por $- 6$ .

$\frac{x^{4} (48 x^{5} - 48 x^{7}) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 5

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 5.1

Reordena los términos.

$\frac{x^{4} (- 48 x^{7} + 48 x^{5}) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) \frac{d}{d x} [x^{4}]}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 5.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{x^{4} (- 48 x^{7} + 48 x^{5}) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{4} (- 48 x^{7}) + x^{4} (48 x^{5}) - (8 x^{6} - 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 6.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{4} (- 48 x^{7}) + x^{4} (48 x^{5}) + (- (8 x^{6}) - (- 6 x^{8})) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 6.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{x^{4} (- 48 x^{7}) + x^{4} (48 x^{5}) - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 6.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.4.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{- 48 x^{4} x^{7} + x^{4} (48 x^{5}) - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 6.4.1.2

Multiplica $x^{4}$ por $x^{7}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.4.1.2.1

Mueve $x^{7}$ .

$\frac{- 48 (x^{7} x^{4}) + x^{4} (48 x^{5}) - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 6.4.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 48 x^{7 + 4} + x^{4} (48 x^{5}) - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 6.4.1.2.3

Suma $7$ y $4$ .

$\frac{- 48 x^{11} + x^{4} (48 x^{5}) - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 6.4.1.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{4} x^{5} - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 6.4.1.4

Multiplica $x^{4}$ por $x^{5}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.4.1.4.1

Mueve $x^{5}$ .

$\frac{- 48 x^{11} + 48 (x^{5} x^{4}) - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 6.4.1.4.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{5 + 4} - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 6.4.1.4.3

Suma $5$ y $4$ .

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - (8 x^{6}) (4 x^{3}) - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 6.4.1.5

Multiplica $x^{6}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.4.1.5.1

Mueve $x^{3}$ .

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - (8 (x^{3} x^{6})) \cdot 4 - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 6.4.1.5.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - (8 x^{3 + 6}) \cdot 4 - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 6.4.1.5.3

Suma $3$ y $6$ .

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - (8 x^{9}) \cdot 4 - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 6.4.1.6

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 8 x^{9} \cdot 4 - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 6.4.1.7

Multiplica $4$ por $- 8$ .

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9} - (- 6 x^{8}) (4 x^{3})}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 6.4.1.8

Multiplica $x^{8}$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.4.1.8.1

Mueve $x^{3}$ .

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9} - (- 6 (x^{3} x^{8})) \cdot 4}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 6.4.1.8.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9} - (- 6 x^{3 + 8}) \cdot 4}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 6.4.1.8.3

Suma $3$ y $8$ .

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9} - (- 6 x^{11}) \cdot 4}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 6.4.1.9

Multiplica $- 6$ por $- 1$ .

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9} + 6 x^{11} \cdot 4}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 6.4.1.10

Multiplica $4$ por $6$ .

$\frac{- 48 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9} + 24 x^{11}}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 6.4.2

Suma $- 48 x^{11}$ y $24 x^{11}$ .

$\frac{- 24 x^{11} + 48 x^{9} - 32 x^{9}}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 6.4.3

Resta $32 x^{9}$ de $48 x^{9}$ .

$\frac{- 24 x^{11} + 16 x^{9}}{{(x^{4})}^{2}}$

Paso 6.5

Multiplica los exponentes en ${(x^{4})}^{2}$ .

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Paso 6.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{- 24 x^{11} + 16 x^{9}}{x^{4 \cdot 2}}$

Paso 6.5.2

Multiplica $4$ por $2$ .

$\frac{- 24 x^{11} + 16 x^{9}}{x^{8}}$

Paso 6.6

Factoriza $8 x^{9}$ de $- 24 x^{11} + 16 x^{9}$ .

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Paso 6.6.1

Factoriza $8 x^{9}$ de $- 24 x^{11}$ .

$\frac{8 x^{9} (- 3 x^{2}) + 16 x^{9}}{x^{8}}$

Paso 6.6.2

Factoriza $8 x^{9}$ de $16 x^{9}$ .

$\frac{8 x^{9} (- 3 x^{2}) + 8 x^{9} (2)}{x^{8}}$

Paso 6.6.3

Factoriza $8 x^{9}$ de $8 x^{9} (- 3 x^{2}) + 8 x^{9} (2)$ .

$\frac{8 x^{9} (- 3 x^{2} + 2)}{x^{8}}$

Paso 6.7

Cancela el factor común de $x^{9}$ y $x^{8}$ .

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Paso 6.7.1

Factoriza $x^{8}$ de $8 x^{9} (- 3 x^{2} + 2)$ .

$\frac{x^{8} (8 x (- 3 x^{2} + 2))}{x^{8}}$

Paso 6.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.7.2.1

Multiplica por $1$ .

$\frac{x^{8} (8 x (- 3 x^{2} + 2))}{x^{8} \cdot 1}$

Paso 6.7.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{x^{8} (8 x (- 3 x^{2} + 2))}{x^{8} \cdot 1}$

Paso 6.7.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{8 x (- 3 x^{2} + 2)}{1}$

Paso 6.7.2.4

Divide $8 x (- 3 x^{2} + 2)$ por $1$ .

$8 x (- 3 x^{2} + 2)$

Paso 6.8

Aplica la propiedad distributiva.

$8 x (- 3 x^{2}) + 8 x \cdot 2$

Paso 6.9

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$8 \cdot - 3 x \cdot x^{2} + 8 x \cdot 2$

Paso 6.10

Multiplica $2$ por $8$ .

$8 \cdot - 3 x \cdot x^{2} + 16 x$

Paso 6.11

Simplifica cada término.

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Paso 6.11.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.11.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$8 \cdot - 3 (x^{2} x) + 16 x$

Paso 6.11.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 6.11.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$8 \cdot - 3 (x^{2} x^{1}) + 16 x$

Paso 6.11.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$8 \cdot - 3 x^{2 + 1} + 16 x$

Paso 6.11.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$8 \cdot - 3 x^{3} + 16 x$

Paso 6.11.2

Multiplica $8$ por $- 3$ .

$- 24 x^{3} + 16 x$