Cálculo Ejemplos

$f (x) = 5 \tan (x)$ , $x = \frac{π}{3}$

Paso 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = \frac{π}{3}$ .

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Paso 1.1

Sustituye $\frac{π}{3}$ por $x$ .

$y = 5 \tan (\frac{π}{3})$

Paso 1.2

Resuelve $y$

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Paso 1.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 5 \tan (\frac{π}{3})$

Paso 1.2.2

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{3})$ es $\sqrt{3}$ .

$y = 5 \sqrt{3}$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = \frac{π}{3}$ y $y = 5 \sqrt{3}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 \tan (x)$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ .

$5 \frac{d}{d x} [\tan (x)]$

Paso 2.2

La derivada de $\tan (x)$ con respecto a $x$ es $\sec^{2} (x)$ .

$5 \sec^{2} (x)$

Paso 2.3

Evalúa la derivada en $x = \frac{π}{3}$ .

$5 \sec^{2} (\frac{π}{3})$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{3})$ es $2$ .

$5 \cdot 2^{2}$

Paso 2.4.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$5 \cdot 4$

Paso 2.4.3

Multiplica $5$ por $4$ .

$20$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $20$ y un punto dado $(\frac{π}{3}, 5 \sqrt{3})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (5 \sqrt{3}) = 20 \cdot (x - (\frac{π}{3}))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 5 \sqrt{3} = 20 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $20 \cdot (x - \frac{π}{3})$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - 5 \sqrt{3} = 0 + 0 + 20 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 5 \sqrt{3} = 20 \cdot (x - \frac{π}{3})$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 5 \sqrt{3} = 20 x + 20 (- \frac{π}{3})$

Paso 3.3.1.4

Multiplica $20 (- \frac{π}{3})$ .

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Paso 3.3.1.4.1

Multiplica $- 1$ por $20$ .

$y - 5 \sqrt{3} = 20 x - 20 \frac{π}{3}$

Paso 3.3.1.4.2

Combina $- 20$ y $\frac{π}{3}$ .

$y - 5 \sqrt{3} = 20 x + \frac{- 20 π}{3}$

Paso 3.3.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - 5 \sqrt{3} = 20 x - \frac{20 π}{3}$

Paso 3.3.2

Suma $5 \sqrt{3}$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 20 x - \frac{20 π}{3} + 5 \sqrt{3}$

Paso 3.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 3.3.3.1

Para escribir $5 \sqrt{3}$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = 20 x - \frac{20 π}{3} + 5 \sqrt{3} \cdot \frac{3}{3}$

Paso 3.3.3.2

Combina $5 \sqrt{3}$ y $\frac{3}{3}$ .

$y = 20 x - \frac{20 π}{3} + \frac{5 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Paso 3.3.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = 20 x + \frac{- 20 π + 5 \sqrt{3} \cdot 3}{3}$

Paso 3.3.3.4

Multiplica $3$ por $5$ .

$y = 20 x + \frac{- 20 π + 15 \sqrt{3}}{3}$

Paso 3.3.3.5

Factoriza $- 1$ de $- 20 π$ .

$y = 20 x + \frac{- (20 π) + 15 \sqrt{3}}{3}$

Paso 3.3.3.6

Factoriza $- 1$ de $15 \sqrt{3}$ .

$y = 20 x + \frac{- (20 π) - (- 15 \sqrt{3})}{3}$

Paso 3.3.3.7

Factoriza $- 1$ de $- (20 π) - (- 15 \sqrt{3})$ .

$y = 20 x + \frac{- (20 π - 15 \sqrt{3})}{3}$

Paso 3.3.3.8

Reescribe $- (20 π - 15 \sqrt{3})$ como $- 1 (20 π - 15 \sqrt{3})$ .

$y = 20 x + \frac{- 1 (20 π - 15 \sqrt{3})}{3}$

Paso 3.3.3.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y = 20 x - \frac{20 π - 15 \sqrt{3}}{3}$

Paso 4