Cálculo Ejemplos

$\arctan (2 x - x^{2})$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \arctan (x)$ y $g (x) = 2 x - x^{2}$ .

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Paso 1.1.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $2 x - x^{2}$ .

$\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Paso 1.1.1.2

La derivada de $\arctan (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{1 + u^{2}}$ .

$\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Paso 1.1.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $2 x - x^{2}$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} \frac{d}{d x} [2 x - x^{2}]$

Paso 1.1.2

Diferencia.

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Paso 1.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x - x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 1.1.2.2

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $x$ es $2 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 1.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 1.1.2.4

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (2 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

Paso 1.1.2.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x^{2}$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (2 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

Paso 1.1.2.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (2 - (2 x))$

Paso 1.1.2.7

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.2.7.1

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (2 - 2 x)$

Paso 1.1.2.7.2

Reordena los factores de $\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} (2 - 2 x)$ .

$f' (x) = (2 - 2 x) \frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $(2 - 2 x) (\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}})$ .

$(2 - 2 x) (\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}})$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $(2 - 2 x) (\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}}) = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$(2 - 2 x) (\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}}) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 - 2 x = 0$

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} = 0$

Paso 2.3

Establece $2 - 2 x$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $2 - 2 x$ igual a $0$ .

$2 - 2 x = 0$

Paso 2.3.2

Resuelve $2 - 2 x = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$- 2 x = - 2$

Paso 2.3.2.2

Divide cada término en $- 2 x = - 2$ por $- 2$ y simplifica.

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Paso 2.3.2.2.1

Divide cada término en $- 2 x = - 2$ por $- 2$ .

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Paso 2.3.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.3.2.2.2.1

Cancela el factor común de $- 2$ .

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Paso 2.3.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- 2 x}{- 2} = \frac{- 2}{- 2}$

Paso 2.3.2.2.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 2}{- 2}$

Paso 2.3.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.2.3.1

Divide $- 2$ por $- 2$ .

$x = 1$

Paso 2.4

Establece $\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}}$ igual a $0$ .

$\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Establece el numerador igual a cero.

$1 = 0$

Paso 2.4.2.2

Como $1 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $(2 - 2 x) (\frac{1}{1 + {(2 x - x^{2})}^{2}}) = 0$ verdadera.

$x = 1$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

Evalúa $\arctan (2 x - x^{2})$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 1$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$\arctan (2 (1) - {(1)}^{2})$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\arctan (2 - {(1)}^{2})$

Paso 4.1.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\arctan (2 - 1 \cdot 1)$

Paso 4.1.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\arctan (2 - 1)$

Paso 4.1.2.2

Resta $1$ de $2$ .

$\arctan (1)$

Paso 4.1.2.3

El valor exacto de $\arctan (1)$ es $\frac{π}{4}$ .

$\frac{π}{4}$

Paso 4.2

Enumera todos los puntos.

$(1, \frac{π}{4})$

Paso 5