Cálculo Ejemplos

$- 6 \csc (x)$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 \csc (x)$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [\csc (x)]$

Paso 1.1.2

La derivada de $\csc (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc (x) \cot (x)$ .

$- 6 (- \csc (x) \cot (x))$

Paso 1.1.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.1.3.1

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$6 (\csc (x) \cot (x))$

Paso 1.1.3.2

Reordena los factores de $6 \csc (x) \cot (x)$ .

$f' (x) = 6 \cot (x) \csc (x)$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $6 \cot (x) \csc (x)$ .

$6 \cot (x) \csc (x)$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $6 \cot (x) \csc (x) = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$6 \cot (x) \csc (x) = 0$

Paso 2.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$\cot (x) = 0$

$\csc (x) = 0$

Paso 2.3

Establece $\cot (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.3.1

Establece $\cot (x)$ igual a $0$ .

$\cot (x) = 0$

Paso 2.3.2

Resuelve $\cot (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 2.3.2.1

Resta la inversa de la cotangente de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de la cotangente.

$x = arccot (0)$

Paso 2.3.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.3.2.2.1

El valor exacto de $arccot (0)$ es $\frac{π}{2}$ .

$x = \frac{π}{2}$

Paso 2.3.2.3

La función cotangente es positiva en el primer y el tercer cuadrante. Para obtener la segunda solución, suma el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el cuarto cuadrante.

$x = π + \frac{π}{2}$

Paso 2.3.2.4

Simplifica $π + \frac{π}{2}$ .

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Paso 2.3.2.4.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$x = π \cdot \frac{2}{2} + \frac{π}{2}$

Paso 2.3.2.4.2

Combina fracciones.

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Paso 2.3.2.4.2.1

Combina $π$ y $\frac{2}{2}$ .

$x = \frac{π \cdot 2}{2} + \frac{π}{2}$

Paso 2.3.2.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 2 + π}{2}$

Paso 2.3.2.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.4.3.1

Mueve $2$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{2 \cdot π + π}{2}$

Paso 2.3.2.4.3.2

Suma $2 π$ y $π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 2.3.2.5

Obtén el período de $\cot (x)$ .

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Paso 2.3.2.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{π}{| b |}$ .

$\frac{π}{| b |}$

Paso 2.3.2.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{π}{| 1 |}$

Paso 2.3.2.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{π}{1}$

Paso 2.3.2.5.4

Divide $π$ por $1$ .

$π$

Paso 2.3.2.6

El período de la función $\cot (x)$ es $π$ , por lo que los valores se repetirán cada $π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.4

Establece $\csc (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $\csc (x)$ igual a $0$ .

$\csc (x) = 0$

Paso 2.4.2

El rango de la cosecante es $y \leq - 1$ y $y \geq 1$ . Como $0$ no se encuentra en este rango, no hay solución.

No hay solución

Paso 2.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $6 \cot (x) \csc (x) = 0$ verdadera.

$x = \frac{π}{2} + π n, \frac{3 π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.6

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

Establece el argumento en $\cot (x)$ igual que $π n$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x = π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3.2

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

${x | x = π n}$ $n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4

Evalúa $- 6 \csc (x)$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = \frac{π}{2}$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $\frac{π}{2}$ por $x$ .

$- 6 \csc (\frac{π}{2})$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

El valor exacto de $\csc (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$- 6 \cdot 1$

Paso 4.1.2.2

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$- 6$

Paso 4.2

Evalúa en $x = \frac{3 π}{2}$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $\frac{3 π}{2}$ por $x$ .

$- 6 \csc (\frac{3 π}{2})$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque la cosecante es negativa en el cuarto cuadrante.

$- 6 (- \csc (\frac{π}{2}))$

Paso 4.2.2.2

El valor exacto de $\csc (\frac{π}{2})$ es $1$ .

$- 6 (- 1 \cdot 1)$

Paso 4.2.2.3

Multiplica $- 6 (- 1 \cdot 1)$ .

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Paso 4.2.2.3.1

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 6 \cdot - 1$

Paso 4.2.2.3.2

Multiplica $- 6$ por $- 1$ .

$6$

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(\frac{π}{2} + 2 π n, - 6), (\frac{3 π}{2} + 2 π n, 6)$ , para cualquier número entero $n$

Paso 5