Cálculo Ejemplos

$\frac{1}{5} x^{5} - \frac{4}{3} x^{3} + \frac{17}{15}$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{4}{3} x^{3} + \frac{17}{15}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$ .

$\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Paso 1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{1}{5} x^{5}]$ .

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Paso 1.1.2.1

Como $\frac{1}{5}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{5} x^{5}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}]$ .

$\frac{1}{5} \frac{d}{d x} [x^{5}] + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Paso 1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 5$ .

$\frac{1}{5} (5 x^{4}) + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Paso 1.1.2.3

Combina $5$ y $\frac{1}{5}$ .

$\frac{5}{5} x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Paso 1.1.2.4

Combina $\frac{5}{5}$ y $x^{4}$ .

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Paso 1.1.2.5

Cancela el factor común de $5$ .

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Paso 1.1.2.5.1

Cancela el factor común.

$\frac{5 x^{4}}{5} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Paso 1.1.2.5.2

Divide $x^{4}$ por $1$ .

$x^{4} + \frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Paso 1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- \frac{4}{3} x^{3}]$ .

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Paso 1.1.3.1

Como $- \frac{4}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{4}{3} x^{3}$ con respecto a $x$ es $- \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}]$ .

$x^{4} - \frac{4}{3} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Paso 1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$x^{4} - \frac{4}{3} (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Paso 1.1.3.3

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$x^{4} - 3 (\frac{4}{3}) x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Paso 1.1.3.4

Combina $- 3$ y $\frac{4}{3}$ .

$x^{4} + \frac{- 3 \cdot 4}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Paso 1.1.3.5

Multiplica $- 3$ por $4$ .

$x^{4} + \frac{- 12}{3} x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Paso 1.1.3.6

Combina $\frac{- 12}{3}$ y $x^{2}$ .

$x^{4} + \frac{- 12 x^{2}}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Paso 1.1.3.7

Cancela el factor común de $- 12$ y $3$ .

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Paso 1.1.3.7.1

Factoriza $3$ de $- 12 x^{2}$ .

$x^{4} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{3} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Paso 1.1.3.7.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.1.3.7.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$x^{4} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{3 (1)} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Paso 1.1.3.7.2.2

Cancela el factor común.

$x^{4} + \frac{3 (- 4 x^{2})}{3 \cdot 1} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Paso 1.1.3.7.2.3

Reescribe la expresión.

$x^{4} + \frac{- 4 x^{2}}{1} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Paso 1.1.3.7.2.4

Divide $- 4 x^{2}$ por $1$ .

$x^{4} - 4 x^{2} + \frac{d}{d x} [\frac{17}{15}]$

Paso 1.1.4

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 1.1.4.1

Como $\frac{17}{15}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{17}{15}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$x^{4} - 4 x^{2} + 0$

Paso 1.1.4.2

Suma $x^{4} - 4 x^{2}$ y $0$ .

$f' (x) = x^{4} - 4 x^{2}$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $x^{4} - 4 x^{2}$ .

$x^{4} - 4 x^{2}$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $x^{4} - 4 x^{2} = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$x^{4} - 4 x^{2} = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Reescribe $x^{4}$ como ${(x^{2})}^{2}$ .

${(x^{2})}^{2} - 4 x^{2} = 0$

Paso 2.2.2

Sea $u = x^{2}$ . Sustituye $u$ por todos los casos de $x^{2}$ .

$u^{2} - 4 u = 0$

Paso 2.2.3

Factoriza $u$ de $u^{2} - 4 u$ .

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Paso 2.2.3.1

Factoriza $u$ de $u^{2}$ .

$u \cdot u - 4 u = 0$

Paso 2.2.3.2

Factoriza $u$ de $- 4 u$ .

$u \cdot u + u \cdot - 4 = 0$

Paso 2.2.3.3

Factoriza $u$ de $u \cdot u + u \cdot - 4$ .

$u (u - 4) = 0$

Paso 2.2.4

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$x^{2} (x^{2} - 4) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

$x^{2} - 4 = 0$

Paso 2.4

Establece $x^{2}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x^{2}$ igual a $0$ .

$x^{2} = 0$

Paso 2.4.2

Resuelve $x^{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 2.4.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 2.4.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 2.4.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 2.4.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 2.4.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 2.5

Establece $x^{2} - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x^{2} - 4$ igual a $0$ .

$x^{2} - 4 = 0$

Paso 2.5.2

Resuelve $x^{2} - 4 = 0$ en $x$ .

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Paso 2.5.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = 4$

Paso 2.5.2.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{4}$

Paso 2.5.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{4}$ .

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Paso 2.5.2.3.1

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{2^{2}}$

Paso 2.5.2.3.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 2$

Paso 2.5.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.5.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 2$

Paso 2.5.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 2$

Paso 2.5.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 2, - 2$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $x^{2} (x^{2} - 4) = 0$ verdadera.

$x = 0, 2, - 2$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

Evalúa $\frac{1}{5} x^{5} - \frac{4}{3} x^{3} + \frac{17}{15}$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 0$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot {(0)}^{5} - \frac{4}{3} \cdot {(0)}^{3} + \frac{17}{15}$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.1.2.1.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{1}{5} \cdot 0 - \frac{4}{3} \cdot {(0)}^{3} + \frac{17}{15}$

Paso 4.1.2.1.2

Multiplica $\frac{1}{5}$ por $0$ .

$0 - \frac{4}{3} \cdot {(0)}^{3} + \frac{17}{15}$

Paso 4.1.2.1.3

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$0 - \frac{4}{3} \cdot 0 + \frac{17}{15}$

Paso 4.1.2.1.4

Multiplica $- \frac{4}{3} \cdot 0$ .

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Paso 4.1.2.1.4.1

Multiplica $0$ por $- 1$ .

$0 + 0 (\frac{4}{3}) + \frac{17}{15}$

Paso 4.1.2.1.4.2

Multiplica $0$ por $\frac{4}{3}$ .

$0 + 0 + \frac{17}{15}$

Paso 4.1.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 4.1.2.2.1

Suma $0$ y $0$ .

$0 + \frac{17}{15}$

Paso 4.1.2.2.2

Suma $0$ y $\frac{17}{15}$ .

$\frac{17}{15}$

Paso 4.2

Evalúa en $x = 2$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $2$ por $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot {(2)}^{5} - \frac{4}{3} \cdot {(2)}^{3} + \frac{17}{15}$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $5$ .

$\frac{1}{5} \cdot 32 - \frac{4}{3} \cdot {(2)}^{3} + \frac{17}{15}$

Paso 4.2.2.1.2

Combina $\frac{1}{5}$ y $32$ .

$\frac{32}{5} - \frac{4}{3} \cdot {(2)}^{3} + \frac{17}{15}$

Paso 4.2.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{32}{5} - \frac{4}{3} \cdot 8 + \frac{17}{15}$

Paso 4.2.2.1.4

Multiplica $- \frac{4}{3} \cdot 8$ .

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Paso 4.2.2.1.4.1

Multiplica $8$ por $- 1$ .

$\frac{32}{5} - 8 (\frac{4}{3}) + \frac{17}{15}$

Paso 4.2.2.1.4.2

Combina $- 8$ y $\frac{4}{3}$ .

$\frac{32}{5} + \frac{- 8 \cdot 4}{3} + \frac{17}{15}$

Paso 4.2.2.1.4.3

Multiplica $- 8$ por $4$ .

$\frac{32}{5} + \frac{- 32}{3} + \frac{17}{15}$

Paso 4.2.2.1.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{32}{5} - \frac{32}{3} + \frac{17}{15}$

Paso 4.2.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 4.2.2.2.1

Multiplica $\frac{32}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{32}{5} \cdot \frac{3}{3} - \frac{32}{3} + \frac{17}{15}$

Paso 4.2.2.2.2

Multiplica $\frac{32}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{32}{3} + \frac{17}{15}$

Paso 4.2.2.2.3

Multiplica $\frac{32}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} - (\frac{32}{3} \cdot \frac{5}{5}) + \frac{17}{15}$

Paso 4.2.2.2.4

Multiplica $\frac{32}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$\frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} - \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{17}{15}$

Paso 4.2.2.2.5

Reordena los factores de $5 \cdot 3$ .

$\frac{32 \cdot 3}{3 \cdot 5} - \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{17}{15}$

Paso 4.2.2.2.6

Multiplica $3$ por $5$ .

$\frac{32 \cdot 3}{15} - \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{17}{15}$

Paso 4.2.2.2.7

Multiplica $3$ por $5$ .

$\frac{32 \cdot 3}{15} - \frac{32 \cdot 5}{15} + \frac{17}{15}$

Paso 4.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{32 \cdot 3 - 32 \cdot 5 + 17}{15}$

Paso 4.2.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.2.4.1

Multiplica $32$ por $3$ .

$\frac{96 - 32 \cdot 5 + 17}{15}$

Paso 4.2.2.4.2

Multiplica $- 32$ por $5$ .

$\frac{96 - 160 + 17}{15}$

Paso 4.2.2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 4.2.2.5.1

Resta $160$ de $96$ .

$\frac{- 64 + 17}{15}$

Paso 4.2.2.5.2

Suma $- 64$ y $17$ .

$\frac{- 47}{15}$

Paso 4.2.2.5.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{47}{15}$

Paso 4.3

Evalúa en $x = - 2$ .

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Paso 4.3.1

Sustituye $- 2$ por $x$ .

$\frac{1}{5} \cdot {(- 2)}^{5} - \frac{4}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{17}{15}$

Paso 4.3.2

Simplifica.

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Paso 4.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $5$ .

$\frac{1}{5} \cdot - 32 - \frac{4}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{17}{15}$

Paso 4.3.2.1.2

Combina $\frac{1}{5}$ y $- 32$ .

$\frac{- 32}{5} - \frac{4}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{17}{15}$

Paso 4.3.2.1.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{32}{5} - \frac{4}{3} \cdot {(- 2)}^{3} + \frac{17}{15}$

Paso 4.3.2.1.4

Eleva $- 2$ a la potencia de $3$ .

$- \frac{32}{5} - \frac{4}{3} \cdot - 8 + \frac{17}{15}$

Paso 4.3.2.1.5

Multiplica $- \frac{4}{3} \cdot - 8$ .

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Paso 4.3.2.1.5.1

Multiplica $- 8$ por $- 1$ .

$- \frac{32}{5} + 8 (\frac{4}{3}) + \frac{17}{15}$

Paso 4.3.2.1.5.2

Combina $8$ y $\frac{4}{3}$ .

$- \frac{32}{5} + \frac{8 \cdot 4}{3} + \frac{17}{15}$

Paso 4.3.2.1.5.3

Multiplica $8$ por $4$ .

$- \frac{32}{5} + \frac{32}{3} + \frac{17}{15}$

Paso 4.3.2.2

Obtén el denominador común

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Paso 4.3.2.2.1

Multiplica $\frac{32}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- (\frac{32}{5} \cdot \frac{3}{3}) + \frac{32}{3} + \frac{17}{15}$

Paso 4.3.2.2.2

Multiplica $\frac{32}{5}$ por $\frac{3}{3}$ .

$- \frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{32}{3} + \frac{17}{15}$

Paso 4.3.2.2.3

Multiplica $\frac{32}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{32}{3} \cdot \frac{5}{5} + \frac{17}{15}$

Paso 4.3.2.2.4

Multiplica $\frac{32}{3}$ por $\frac{5}{5}$ .

$- \frac{32 \cdot 3}{5 \cdot 3} + \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{17}{15}$

Paso 4.3.2.2.5

Reordena los factores de $5 \cdot 3$ .

$- \frac{32 \cdot 3}{3 \cdot 5} + \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{17}{15}$

Paso 4.3.2.2.6

Multiplica $3$ por $5$ .

$- \frac{32 \cdot 3}{15} + \frac{32 \cdot 5}{3 \cdot 5} + \frac{17}{15}$

Paso 4.3.2.2.7

Multiplica $3$ por $5$ .

$- \frac{32 \cdot 3}{15} + \frac{32 \cdot 5}{15} + \frac{17}{15}$

Paso 4.3.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{- 32 \cdot 3 + 32 \cdot 5 + 17}{15}$

Paso 4.3.2.4

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.2.4.1

Multiplica $- 32$ por $3$ .

$\frac{- 96 + 32 \cdot 5 + 17}{15}$

Paso 4.3.2.4.2

Multiplica $32$ por $5$ .

$\frac{- 96 + 160 + 17}{15}$

Paso 4.3.2.5

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 4.3.2.5.1

Suma $- 96$ y $160$ .

$\frac{64 + 17}{15}$

Paso 4.3.2.5.2

Suma $64$ y $17$ .

$\frac{81}{15}$

Paso 4.3.2.5.3

Cancela el factor común de $81$ y $15$ .

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Paso 4.3.2.5.3.1

Factoriza $3$ de $81$ .

$\frac{3 (27)}{15}$

Paso 4.3.2.5.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 4.3.2.5.3.2.1

Factoriza $3$ de $15$ .

$\frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 5}$

Paso 4.3.2.5.3.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 27}{3 \cdot 5}$

Paso 4.3.2.5.3.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{27}{5}$

Paso 4.4

Enumera todos los puntos.

$(0, \frac{17}{15}), (2, - \frac{47}{15}), (- 2, \frac{27}{5})$

Paso 5