Cálculo Ejemplos

$(24 - 2 x) (24 - 2 x) x$

Paso 1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 1.1.1

Eleva $24 - 2 x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d}{d x} [{(24 - 2 x)}^{1} (24 - 2 x) x]$

Paso 1.1.2

Eleva $24 - 2 x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{d}{d x} [{(24 - 2 x)}^{1} {(24 - 2 x)}^{1} x]$

Paso 1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{d}{d x} [{(24 - 2 x)}^{1 + 1} x]$

Paso 1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{d}{d x} [{(24 - 2 x)}^{2} x]$

Paso 1.1.5

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = {(24 - 2 x)}^{2}$ y $g (x) = x$ .

${(24 - 2 x)}^{2} \frac{d}{d x} [x] + x \frac{d}{d x} [{(24 - 2 x)}^{2}]$

Paso 1.1.6

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 1.1.6.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

${(24 - 2 x)}^{2} \cdot 1 + x \frac{d}{d x} [{(24 - 2 x)}^{2}]$

Paso 1.1.6.2

Multiplica ${(24 - 2 x)}^{2}$ por $1$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x \frac{d}{d x} [{(24 - 2 x)}^{2}]$

Paso 1.1.7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = 24 - 2 x$ .

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Paso 1.1.7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $24 - 2 x$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [24 - 2 x])$

Paso 1.1.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x (2 u \frac{d}{d x} [24 - 2 x])$

Paso 1.1.7.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $24 - 2 x$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x (2 (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [24 - 2 x])$

Paso 1.1.8

Diferencia.

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Paso 1.1.8.1

Según la regla de la suma, la derivada de $24 - 2 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x (2 (24 - 2 x) (\frac{d}{d x} [24] + \frac{d}{d x} [- 2 x]))$

Paso 1.1.8.2

Como $24$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $24$ con respecto a $x$ es $0$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x (2 (24 - 2 x) (0 + \frac{d}{d x} [- 2 x]))$

Paso 1.1.8.3

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 2 x]$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x (2 (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [- 2 x])$

Paso 1.1.8.4

Como $- 2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 2 x$ con respecto a $x$ es $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x (2 (24 - 2 x) (- 2 \frac{d}{d x} [x]))$

Paso 1.1.8.5

Multiplica $- 2$ por $2$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x (- 4 (24 - 2 x) \frac{d}{d x} [x])$

Paso 1.1.8.6

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x (- 4 (24 - 2 x) \cdot 1)$

Paso 1.1.8.7

Multiplica $- 4$ por $1$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x (- 4 (24 - 2 x))$

Paso 1.1.9

Simplifica.

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Paso 1.1.9.1

Aplica la propiedad distributiva.

${(24 - 2 x)}^{2} + x (- 4 \cdot 24 - 4 (- 2 x))$

Paso 1.1.9.2

Aplica la propiedad distributiva.

${(24 - 2 x)}^{2} + x (- 4 \cdot 24) + x (- 4 (- 2 x))$

Paso 1.1.9.3

Combina los términos.

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Paso 1.1.9.3.1

Multiplica $- 4$ por $24$ .

${(24 - 2 x)}^{2} + x \cdot - 96 + x (- 4 (- 2 x))$

Paso 1.1.9.3.2

Mueve $- 96$ a la izquierda de $x$ .

${(24 - 2 x)}^{2} - 96 \cdot x + x (- 4 (- 2 x))$

Paso 1.1.9.3.3

Multiplica $- 2$ por $- 4$ .

${(24 - 2 x)}^{2} - 96 x + x (8 x)$

Paso 1.1.9.3.4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

${(24 - 2 x)}^{2} - 96 x + 8 (x^{1} x)$

Paso 1.1.9.3.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

${(24 - 2 x)}^{2} - 96 x + 8 (x^{1} x^{1})$

Paso 1.1.9.3.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${(24 - 2 x)}^{2} - 96 x + 8 x^{1 + 1}$

Paso 1.1.9.3.7

Suma $1$ y $1$ .

${(24 - 2 x)}^{2} - 96 x + 8 x^{2}$

Paso 1.1.9.4

Reordena los términos.

$8 x^{2} + {(24 - 2 x)}^{2} - 96 x$

Paso 1.1.9.5

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.9.5.1

Reescribe ${(24 - 2 x)}^{2}$ como $(24 - 2 x) (24 - 2 x)$ .

$8 x^{2} + (24 - 2 x) (24 - 2 x) - 96 x$

Paso 1.1.9.5.2

Expande $(24 - 2 x) (24 - 2 x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 1.1.9.5.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$8 x^{2} + 24 (24 - 2 x) - 2 x (24 - 2 x) - 96 x$

Paso 1.1.9.5.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$8 x^{2} + 24 \cdot 24 + 24 (- 2 x) - 2 x (24 - 2 x) - 96 x$

Paso 1.1.9.5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$8 x^{2} + 24 \cdot 24 + 24 (- 2 x) - 2 x \cdot 24 - 2 x (- 2 x) - 96 x$

Paso 1.1.9.5.3

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 1.1.9.5.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.1.9.5.3.1.1

Multiplica $24$ por $24$ .

$8 x^{2} + 576 + 24 (- 2 x) - 2 x \cdot 24 - 2 x (- 2 x) - 96 x$

Paso 1.1.9.5.3.1.2

Multiplica $- 2$ por $24$ .

$8 x^{2} + 576 - 48 x - 2 x \cdot 24 - 2 x (- 2 x) - 96 x$

Paso 1.1.9.5.3.1.3

Multiplica $24$ por $- 2$ .

$8 x^{2} + 576 - 48 x - 48 x - 2 x (- 2 x) - 96 x$

Paso 1.1.9.5.3.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$8 x^{2} + 576 - 48 x - 48 x - 2 \cdot - 2 x \cdot x - 96 x$

Paso 1.1.9.5.3.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.1.9.5.3.1.5.1

Mueve $x$ .

$8 x^{2} + 576 - 48 x - 48 x - 2 \cdot - 2 (x \cdot x) - 96 x$

Paso 1.1.9.5.3.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$8 x^{2} + 576 - 48 x - 48 x - 2 \cdot - 2 x^{2} - 96 x$

Paso 1.1.9.5.3.1.6

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$8 x^{2} + 576 - 48 x - 48 x + 4 x^{2} - 96 x$

Paso 1.1.9.5.3.2

Resta $48 x$ de $- 48 x$ .

$8 x^{2} + 576 - 96 x + 4 x^{2} - 96 x$

Paso 1.1.9.6

Suma $8 x^{2}$ y $4 x^{2}$ .

$12 x^{2} + 576 - 96 x - 96 x$

Paso 1.1.9.7

Resta $96 x$ de $- 96 x$ .

$f' (x) = 12 x^{2} + 576 - 192 x$

Paso 1.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $12 x^{2} + 576 - 192 x$ .

$12 x^{2} + 576 - 192 x$

Paso 2

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $12 x^{2} + 576 - 192 x = 0$ .

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Paso 2.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$12 x^{2} + 576 - 192 x = 0$

Paso 2.2

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.1

Factoriza $12$ de $12 x^{2} + 576 - 192 x$ .

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Paso 2.2.1.1

Factoriza $12$ de $12 x^{2}$ .

$12 (x^{2}) + 576 - 192 x = 0$

Paso 2.2.1.2

Factoriza $12$ de $576$ .

$12 x^{2} + 12 \cdot 48 - 192 x = 0$

Paso 2.2.1.3

Factoriza $12$ de $- 192 x$ .

$12 x^{2} + 12 \cdot 48 + 12 (- 16 x) = 0$

Paso 2.2.1.4

Factoriza $12$ de $12 x^{2} + 12 \cdot 48$ .

$12 (x^{2} + 48) + 12 (- 16 x) = 0$

Paso 2.2.1.5

Factoriza $12$ de $12 (x^{2} + 48) + 12 (- 16 x)$ .

$12 (x^{2} + 48 - 16 x) = 0$

Paso 2.2.2

Factoriza.

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Paso 2.2.2.1

Factoriza $x^{2} + 48 - 16 x$ con el método AC.

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Paso 2.2.2.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $48$ y cuya suma es $- 16$ .

$- 12, - 4$

Paso 2.2.2.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$12 ((x - 12) (x - 4)) = 0$

Paso 2.2.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$12 (x - 12) (x - 4) = 0$

Paso 2.3

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 12 = 0$

$x - 4 = 0$

Paso 2.4

Establece $x - 12$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.4.1

Establece $x - 12$ igual a $0$ .

$x - 12 = 0$

Paso 2.4.2

Suma $12$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 12$

Paso 2.5

Establece $x - 4$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 2.5.1

Establece $x - 4$ igual a $0$ .

$x - 4 = 0$

Paso 2.5.2

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 4$

Paso 2.6

La solución final comprende todos los valores que hacen $12 (x - 12) (x - 4) = 0$ verdadera.

$x = 12, 4$

Paso 3

Obtén los valores en el lugar donde la derivada es indefinida.

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Paso 3.1

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Paso 4

Evalúa $(24 - 2 x) (24 - 2 x) x$ en cada valor $x$ donde la derivada sea $0$ o indefinida.

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Paso 4.1

Evalúa en $x = 12$ .

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Paso 4.1.1

Sustituye $12$ por $x$ .

$(24 - 2 \cdot 12) (24 - 2 \cdot 12) (12)$

Paso 4.1.2

Simplifica.

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Paso 4.1.2.1

Multiplica $- 2$ por $12$ .

$(24 - 24) (24 - 2 \cdot 12) \cdot 12$

Paso 4.1.2.2

Resta $24$ de $24$ .

$0 (24 - 2 \cdot 12) \cdot 12$

Paso 4.1.2.3

Multiplica $- 2$ por $12$ .

$0 (24 - 24) \cdot 12$

Paso 4.1.2.4

Resta $24$ de $24$ .

$0 \cdot 0 \cdot 12$

Paso 4.1.2.5

Multiplica $0 \cdot 0 \cdot 12$ .

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Paso 4.1.2.5.1

Multiplica $0$ por $0$ .

$0 \cdot 12$

Paso 4.1.2.5.2

Multiplica $0$ por $12$ .

$0$

Paso 4.2

Evalúa en $x = 4$ .

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Paso 4.2.1

Sustituye $4$ por $x$ .

$(24 - 2 \cdot 4) (24 - 2 \cdot 4) (4)$

Paso 4.2.2

Simplifica.

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Paso 4.2.2.1

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$(24 - 8) (24 - 2 \cdot 4) \cdot 4$

Paso 4.2.2.2

Resta $8$ de $24$ .

$16 (24 - 2 \cdot 4) \cdot 4$

Paso 4.2.2.3

Multiplica $- 2$ por $4$ .

$16 (24 - 8) \cdot 4$

Paso 4.2.2.4

Resta $8$ de $24$ .

$16 \cdot 16 \cdot 4$

Paso 4.2.2.5

Multiplica $16 \cdot 16 \cdot 4$ .

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Paso 4.2.2.5.1

Multiplica $16$ por $16$ .

$256 \cdot 4$

Paso 4.2.2.5.2

Multiplica $256$ por $4$ .

$1024$

Paso 4.3

Enumera todos los puntos.

$(12, 0), (4, 1024)$

Paso 5