Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x}{{(3 x - 5)}^{9}}$ , $x = 2$

Paso 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 2$ .

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Paso 1.1

Sustituye $2$ por $x$ .

$y = \frac{2}{{(3 (2) - 5)}^{9}}$

Paso 1.2

Resuelve $y$

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Paso 1.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{2}{{(3 (2) - 5)}^{9}}$

Paso 1.2.2

Simplifica $\frac{2}{{(3 (2) - 5)}^{9}}$ .

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Paso 1.2.2.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.2.2.1.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$y = \frac{2}{{(6 - 5)}^{9}}$

Paso 1.2.2.1.2

Resta $5$ de $6$ .

$y = \frac{2}{1^{9}}$

Paso 1.2.2.1.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = \frac{2}{1}$

Paso 1.2.2.2

Divide $2$ por $1$ .

$y = 2$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 2$ y $y = 2$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(3 x - 5)}^{9}$ .

$\frac{{(3 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(3 x - 5)}^{9}]}{{({(3 x - 5)}^{9})}^{2}}$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 2.2.1

Multiplica los exponentes en ${({(3 x - 5)}^{9})}^{2}$ .

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Paso 2.2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(3 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(3 x - 5)}^{9}]}{{(3 x - 5)}^{9 \cdot 2}}$

Paso 2.2.1.2

Multiplica $9$ por $2$ .

$\frac{{(3 x - 5)}^{9} \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [{(3 x - 5)}^{9}]}{{(3 x - 5)}^{18}}$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{{(3 x - 5)}^{9} \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [{(3 x - 5)}^{9}]}{{(3 x - 5)}^{18}}$

Paso 2.2.3

Multiplica ${(3 x - 5)}^{9}$ por $1$ .

$\frac{{(3 x - 5)}^{9} - x \frac{d}{d x} [{(3 x - 5)}^{9}]}{{(3 x - 5)}^{18}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{9}$ y $g (x) = 3 x - 5$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 x - 5$ .

$\frac{{(3 x - 5)}^{9} - x (\frac{d}{d u} [u^{9}] \frac{d}{d x} [3 x - 5])}{{(3 x - 5)}^{18}}$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 9$ .

$\frac{{(3 x - 5)}^{9} - x (9 u^{8} \frac{d}{d x} [3 x - 5])}{{(3 x - 5)}^{18}}$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 x - 5$ .

$\frac{{(3 x - 5)}^{9} - x (9 {(3 x - 5)}^{8} \frac{d}{d x} [3 x - 5])}{{(3 x - 5)}^{18}}$

Paso 2.4

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 2.4.1

Multiplica $9$ por $- 1$ .

$\frac{{(3 x - 5)}^{9} - 9 x ({(3 x - 5)}^{8} \frac{d}{d x} [3 x - 5])}{{(3 x - 5)}^{18}}$

Paso 2.4.2

Factoriza ${(3 x - 5)}^{8}$ de ${(3 x - 5)}^{9} - 9 x ({(3 x - 5)}^{8} \frac{d}{d x} [3 x - 5])$ .

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Paso 2.4.2.1

Factoriza ${(3 x - 5)}^{8}$ de ${(3 x - 5)}^{9}$ .

$\frac{{(3 x - 5)}^{8} (3 x - 5) - 9 x ({(3 x - 5)}^{8} \frac{d}{d x} [3 x - 5])}{{(3 x - 5)}^{18}}$

Paso 2.4.2.2

Factoriza ${(3 x - 5)}^{8}$ de $- 9 x ({(3 x - 5)}^{8} \frac{d}{d x} [3 x - 5])$ .

$\frac{{(3 x - 5)}^{8} (3 x - 5) + {(3 x - 5)}^{8} (- 9 x (\frac{d}{d x} [3 x - 5]))}{{(3 x - 5)}^{18}}$

Paso 2.4.2.3

Factoriza ${(3 x - 5)}^{8}$ de ${(3 x - 5)}^{8} (3 x - 5) + {(3 x - 5)}^{8} (- 9 x (\frac{d}{d x} [3 x - 5]))$ .

$\frac{{(3 x - 5)}^{8} (3 x - 5 - 9 x (\frac{d}{d x} [3 x - 5]))}{{(3 x - 5)}^{18}}$

Paso 2.5

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.5.1

Factoriza ${(3 x - 5)}^{8}$ de ${(3 x - 5)}^{18}$ .

$\frac{{(3 x - 5)}^{8} (3 x - 5 - 9 x (\frac{d}{d x} [3 x - 5]))}{{(3 x - 5)}^{8} {(3 x - 5)}^{10}}$

Paso 2.5.2

Cancela el factor común.

$\frac{{(3 x - 5)}^{8} (3 x - 5 - 9 x (\frac{d}{d x} [3 x - 5]))}{{(3 x - 5)}^{8} {(3 x - 5)}^{10}}$

Paso 2.5.3

Reescribe la expresión.

$\frac{3 x - 5 - 9 x (\frac{d}{d x} [3 x - 5])}{{(3 x - 5)}^{10}}$

Paso 2.6

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{3 x - 5 - 9 x (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(3 x - 5)}^{10}}$

Paso 2.7

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{3 x - 5 - 9 x (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(3 x - 5)}^{10}}$

Paso 2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{3 x - 5 - 9 x (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(3 x - 5)}^{10}}$

Paso 2.9

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{3 x - 5 - 9 x (3 + \frac{d}{d x} [- 5])}{{(3 x - 5)}^{10}}$

Paso 2.10

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{3 x - 5 - 9 x (3 + 0)}{{(3 x - 5)}^{10}}$

Paso 2.11

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 2.11.1

Suma $3$ y $0$ .

$\frac{3 x - 5 - 9 x \cdot 3}{{(3 x - 5)}^{10}}$

Paso 2.11.2

Multiplica $3$ por $- 9$ .

$\frac{3 x - 5 - 27 x}{{(3 x - 5)}^{10}}$

Paso 2.11.3

Resta $27 x$ de $3 x$ .

$\frac{- 24 x - 5}{{(3 x - 5)}^{10}}$

Paso 2.12

Simplifica.

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Paso 2.12.1

Factoriza $- 1$ de $- 24 x$ .

$\frac{- (24 x) - 5}{{(3 x - 5)}^{10}}$

Paso 2.12.2

Reescribe $- 5$ como $- 1 (5)$ .

$\frac{- (24 x) - 1 (5)}{{(3 x - 5)}^{10}}$

Paso 2.12.3

Factoriza $- 1$ de $- (24 x) - 1 (5)$ .

$\frac{- (24 x + 5)}{{(3 x - 5)}^{10}}$

Paso 2.12.4

Reescribe $- (24 x + 5)$ como $- 1 (24 x + 5)$ .

$\frac{- 1 (24 x + 5)}{{(3 x - 5)}^{10}}$

Paso 2.12.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{24 x + 5}{{(3 x - 5)}^{10}}$

Paso 2.13

Evalúa la derivada en $x = 2$ .

$- \frac{24 (2) + 5}{{(3 (2) - 5)}^{10}}$

Paso 2.14

Simplifica.

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Paso 2.14.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.14.1.1

Multiplica $24$ por $2$ .

$- \frac{48 + 5}{{(3 (2) - 5)}^{10}}$

Paso 2.14.1.2

Suma $48$ y $5$ .

$- \frac{53}{{(3 (2) - 5)}^{10}}$

Paso 2.14.2

Simplifica el denominador.

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Paso 2.14.2.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$- \frac{53}{{(6 - 5)}^{10}}$

Paso 2.14.2.2

Resta $5$ de $6$ .

$- \frac{53}{1^{10}}$

Paso 2.14.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- \frac{53}{1}$

Paso 2.14.3

Simplifica la expresión.

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Paso 2.14.3.1

Divide $53$ por $1$ .

$- 1 \cdot 53$

Paso 2.14.3.2

Multiplica $- 1$ por $53$ .

$- 53$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $- 53$ y un punto dado $(2, 2)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (2) = - 53 \cdot (x - (2))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 2 = - 53 \cdot (x - 2)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $- 53 \cdot (x - 2)$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - 2 = 0 + 0 - 53 \cdot (x - 2)$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 2 = - 53 \cdot (x - 2)$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 2 = - 53 x - 53 \cdot - 2$

Paso 3.3.1.4

Multiplica $- 53$ por $- 2$ .

$y - 2 = - 53 x + 106$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - 53 x + 106 + 2$

Paso 3.3.2.2

Suma $106$ y $2$ .

$y = - 53 x + 108$

Paso 4