Cálculo Ejemplos

$f (x) = 4 x {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ ; $x = 2$

Paso 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 2$ .

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Paso 1.1

Sustituye $2$ por $x$ .

$y = 4 (2) {({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{7}$

Paso 1.2

Resuelve $y$

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Paso 1.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 4 (2) {(2^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{7}$

Paso 1.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = 4 (2) {({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{7}$

Paso 1.2.3

Simplifica $4 (2) {({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{7}$ .

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Paso 1.2.3.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$y = 8 {({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{7}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.3.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$y = 8 {(4 - 4 \cdot 2 + 5)}^{7}$

Paso 1.2.3.2.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$y = 8 {(4 - 8 + 5)}^{7}$

Paso 1.2.3.3

Simplifica la expresión.

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Paso 1.2.3.3.1

Resta $8$ de $4$ .

$y = 8 {(- 4 + 5)}^{7}$

Paso 1.2.3.3.2

Suma $- 4$ y $5$ .

$y = 8 \cdot 1^{7}$

Paso 1.2.3.3.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = 8 \cdot 1$

Paso 1.2.3.3.4

Multiplica $8$ por $1$ .

$y = 8$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 2$ y $y = 8$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [x {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ .

$4 (x \frac{d}{d x} [{(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}] + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{7}$ y $g (x) = x^{2} - 4 x + 5$ .

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Paso 2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 4 x + 5$ .

$4 (x (\frac{d}{d u} [u^{7}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 5]) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 7$ .

$4 (x (7 u^{6} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 5]) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 4 x + 5$ .

$4 (x (7 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{6} \frac{d}{d x} [x^{2} - 4 x + 5]) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4

Diferencia.

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Paso 2.4.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 4 x + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$4 (x (7 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{6} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 (x (7 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{6} (2 x + \frac{d}{d x} [- 4 x] + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.3

Como $- 4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 4 x$ con respecto a $x$ es $- 4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 (x (7 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{6} (2 x - 4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 (x (7 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{6} (2 x - 4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.5

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$4 (x (7 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{6} (2 x - 4 + \frac{d}{d x} [5])) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.6

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 (x (7 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{6} (2 x - 4 + 0)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.7

Suma $2 x - 4$ y $0$ .

$4 (x (7 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{6} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} \frac{d}{d x} [x])$

Paso 2.4.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 (x (7 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{6} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7} \cdot 1)$

Paso 2.4.9

Multiplica ${(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ por $1$ .

$4 (x (7 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{6} (2 x - 4)) + {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7})$

Paso 2.5

Simplifica.

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Paso 2.5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$4 (x (7 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{6} (2 x - 4))) + 4 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$

Paso 2.5.2

Multiplica $7$ por $4$ .

$28 (x ({(x^{2} - 4 x + 5)}^{6} (2 x - 4))) + 4 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$

Paso 2.5.3

Factoriza $4 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{6}$ de $28 x ({(x^{2} - 4 x + 5)}^{6} (2 x - 4)) + 4 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ .

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Paso 2.5.3.1

Factoriza $4 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{6}$ de $28 x ({(x^{2} - 4 x + 5)}^{6} (2 x - 4))$ .

$4 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{6} (7 x (2 x - 4)) + 4 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$

Paso 2.5.3.2

Factoriza $4 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{6}$ de $4 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{7}$ .

$4 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{6} (7 x (2 x - 4)) + 4 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{6} (x^{2} - 4 x + 5)$

Paso 2.5.3.3

Factoriza $4 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{6}$ de $4 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{6} (7 x (2 x - 4)) + 4 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{6} (x^{2} - 4 x + 5)$ .

$4 {(x^{2} - 4 x + 5)}^{6} (7 x (2 x - 4) + x^{2} - 4 x + 5)$

Paso 2.6

Evalúa la derivada en $x = 2$ .

$4 {({(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)}^{6} (7 (2) (2 (2) - 4) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Paso 2.7

Simplifica.

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Paso 2.7.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.7.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 {(4 - 4 \cdot 2 + 5)}^{6} (7 (2) (2 (2) - 4) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Paso 2.7.1.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$4 {(4 - 8 + 5)}^{6} (7 (2) (2 (2) - 4) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Paso 2.7.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.7.2.1

Resta $8$ de $4$ .

$4 {(- 4 + 5)}^{6} (7 (2) (2 (2) - 4) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Paso 2.7.2.2

Suma $- 4$ y $5$ .

$4 \cdot 1^{6} (7 (2) (2 (2) - 4) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Paso 2.7.2.3

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$4 \cdot 1 (7 (2) (2 (2) - 4) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Paso 2.7.2.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$4 (7 (2) (2 (2) - 4) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Paso 2.7.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.7.3.1

Multiplica $7$ por $2$ .

$4 (14 (2 (2) - 4) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Paso 2.7.3.2

Multiplica $2$ por $2$ .

$4 (14 (4 - 4) + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Paso 2.7.3.3

Resta $4$ de $4$ .

$4 (14 \cdot 0 + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Paso 2.7.3.4

Multiplica $14$ por $0$ .

$4 (0 + {(2)}^{2} - 4 \cdot 2 + 5)$

Paso 2.7.3.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$4 (0 + 4 - 4 \cdot 2 + 5)$

Paso 2.7.3.6

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$4 (0 + 4 - 8 + 5)$

Paso 2.7.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.7.4.1

Suma $0$ y $4$ .

$4 (4 - 8 + 5)$

Paso 2.7.4.2

Resta $8$ de $4$ .

$4 (- 4 + 5)$

Paso 2.7.4.3

Suma $- 4$ y $5$ .

$4 \cdot 1$

Paso 2.7.4.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$4$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $4$ y un punto dado $(2, 8)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (8) = 4 \cdot (x - (2))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 8 = 4 \cdot (x - 2)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $4 \cdot (x - 2)$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - 8 = 0 + 0 + 4 \cdot (x - 2)$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 8 = 4 \cdot (x - 2)$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 8 = 4 x + 4 \cdot - 2$

Paso 3.3.1.4

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$y - 8 = 4 x - 8$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 4 x - 8 + 8$

Paso 3.3.2.2

Combina los términos opuestos en $4 x - 8 + 8$ .

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Paso 3.3.2.2.1

Suma $- 8$ y $8$ .

$y = 4 x + 0$

Paso 3.3.2.2.2

Suma $4 x$ y $0$ .

$y = 4 x$

Paso 4