Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{x^{2}}{3 (1 - x)}$ ; $x = 0.4$

Paso 1

Obtén la derivada.

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Paso 1.1

Como $\frac{1}{3}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{x^{2}}{3 (1 - x)}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x}]$ .

$\frac{1}{3} \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{1 - x}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = 1 - x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{(1 - x) \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 1.3

Diferencia.

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Paso 1.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{(1 - x) (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 1.3.2

Mueve $2$ a la izquierda de $1 - x$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 \cdot (1 - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [1 - x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 1.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x - x^{2} (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 1.3.4

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x - x^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 1.3.5

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x - x^{2} \frac{d}{d x} [- x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 1.3.6

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x - x^{2} (- \frac{d}{d x} [x])}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 1.3.7

Multiplica.

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Paso 1.3.7.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x + 1 x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 1.3.7.2

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x + x^{2} \frac{d}{d x} [x]}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 1.3.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x + x^{2} \cdot 1}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 1.3.9

Combina fracciones.

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Paso 1.3.9.1

Multiplica $x^{2}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} \cdot \frac{2 (1 - x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$

Paso 1.3.9.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $\frac{2 (1 - x) x + x^{2}}{{(1 - x)}^{2}}$ .

$\frac{2 (1 - x) x + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Paso 1.4

Simplifica.

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Paso 1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(2 \cdot 1 + 2 (- x)) x + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Paso 1.4.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 \cdot 1 x + 2 (- x) x + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Paso 1.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.3.1.1

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{2 x + 2 (- x) x + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Paso 1.4.3.1.2

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 1.4.3.1.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{2 x + 2 (- (x \cdot x)) + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Paso 1.4.3.1.2.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2 x + 2 (- x^{2}) + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Paso 1.4.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{2 x - 2 x^{2} + x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Paso 1.4.3.2

Suma $- 2 x^{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{2 x - x^{2}}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Paso 1.4.4

Reordena los términos.

$\frac{- x^{2} + 2 x}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Paso 1.4.5

Factoriza $x$ de $- x^{2} + 2 x$ .

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Paso 1.4.5.1

Factoriza $x$ de $- x^{2}$ .

$\frac{x (- x) + 2 x}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Paso 1.4.5.2

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$\frac{x (- x) + x \cdot 2}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Paso 1.4.5.3

Factoriza $x$ de $x (- x) + x \cdot 2$ .

$\frac{x (- x + 2)}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Paso 1.4.6

Factoriza $- 1$ de $- x$ .

$\frac{x (- (x) + 2)}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Paso 1.4.7

Reescribe $2$ como $- 1 (- 2)$ .

$\frac{x (- (x) - 1 (- 2))}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Paso 1.4.8

Factoriza $- 1$ de $- (x) - 1 (- 2)$ .

$\frac{x (- (x - 2))}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Paso 1.4.9

Reescribe $- (x - 2)$ como $- 1 (x - 2)$ .

$\frac{x (- 1 (x - 2))}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Paso 1.4.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{x (x - 2)}{3 {(1 - x)}^{2}}$

Paso 2

Reemplaza la variable $x$ con $0.4$ en la expresión.

$f' (0.4) = - \frac{(0.4) ((0.4) - 2)}{3 {(1 - (0.4))}^{2}}$

Paso 3

Multiplica $0.4$ por $0.4 - 2$ .

$f' (0.4) = - \frac{- 0.64}{3 {(1 - (0.4))}^{2}}$

Paso 4

Simplifica el denominador.

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Paso 4.1

Multiplica $- 1$ por $0.4$ .

$f' (0.4) = - \frac{- 0.64}{3 {(1 - 0.4)}^{2}}$

Paso 4.2

Resta $0.4$ de $1$ .

$f' (0.4) = - \frac{- 0.64}{3 \cdot {0.6}^{2}}$

Paso 4.3

Eleva $0.6$ a la potencia de $2$ .

$f' (0.4) = - \frac{- 0.64}{3 \cdot 0.36}$

Paso 5

Simplifica la expresión.

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Paso 5.1

Multiplica $3$ por $0.36$ .

$f' (0.4) = - \frac{- 0.64}{1.08}$

Paso 5.2

Divide $- 0.64$ por $1.08$ .

$f' (0.4) = 0.\overline{592}$

Paso 5.3

Multiplica $- 1$ por $- 0.\overline{592}$ .

$f' (0.4) = 0.\overline{592}$