Cálculo Ejemplos

$\frac{\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}{2 x + 1}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}{2 x + 1}$ no está definida.

$- 2 < x < - 1, x = - \frac{1}{2}$

Paso 2

Como $\frac{\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}{2 x + 1}$ $\to$ $- \infty$ a medida que $x$ $\to$ $- \frac{1}{2}$ desde la izquierda y $\frac{\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}{2 x + 1}$ $\to$ $\infty$ a medida que $x$ $\to$ $- \frac{1}{2}$ desde la derecha, entonces $x = - \frac{1}{2}$ es una asíntota vertical.

$x = - \frac{1}{2}$

Paso 3

Evalúa $lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}{2 x + 1}$ para obtener la asíntota horizontal.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Factoriza $x^{2} + 3 x + 2$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $2$ y cuya suma es $3$ .

$1, 2$

Paso 3.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{(x + 1) (x + 2)}}{2 x + 1}$

Paso 3.2

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $\sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}}}}{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}$

Paso 3.3

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Cancela el factor común de $x$ .

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}}}}{2 + \frac{1}{x}}$

Paso 3.3.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{\frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 3.3.3

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 3.4

Aplica la regla de l'Hôpital

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} (x + 1) (x + 2)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 3.4.1.2

Evalúa el límite del numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x (x + 2) + 1 (x + 2)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 3.4.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot 2 + 1 (x + 2)}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 3.4.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 3.4.1.2.4

Reordena $x$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x \cdot x + 2 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 3.4.1.2.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1} x + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 3.4.1.2.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1} x^{1} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 3.4.1.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{1 + 1} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 3.4.1.2.8

Simplifica mediante la adición de términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1.2.8.1

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 3.4.1.2.8.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.1.2.8.2.1

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 2 x + x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 3.4.1.2.8.2.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 2 x + x + 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 3.4.1.2.8.3

Suma $2 x$ y $x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{lim_{x \to \infty} x^{2} + 3 x + 2}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 3.4.1.2.9

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{\sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 3.4.1.3

El límite al infinito de un polinomio con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 3.4.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{\sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 3.4.2

Como $\frac{\infty}{\infty}$ es de forma indeterminada, aplica la regla de l'Hôpital. La regla de l'Hôpital establece que el límite de un cociente de funciones es igual al límite del cociente de sus derivadas.

$lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}} = lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x + 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 3.4.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.4.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x + 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 3.4.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x + 1$ y $g (x) = x + 2$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2] + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 3.4.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 3.4.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 3.4.3.5

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) (1 + 0) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 3.4.3.6

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{(x + 1) \cdot 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 3.4.3.7

Multiplica $x + 1$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 3.4.3.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 3.4.3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 3.4.3.10

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x + 2) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 3.4.3.11

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + (x + 2) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 3.4.3.12

Multiplica $x + 2$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{x + 1 + x + 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 3.4.3.13

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 1 + 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 3.4.3.14

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 3.4.3.15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{2 x}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 3.5

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 x + 3}{x}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 3.6

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 3.7

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.1

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 3.7.1.2

Divide $2$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 3.7.2

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.7.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 3.7.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{1}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 3.7.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 3.7.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 3.7.5

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + lim_{x \to \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 3.7.6

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 3.8

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to \infty} 1}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 3.9

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.9.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 3.9.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to \infty} 2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 3.9.3

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 0}{1}}}{2 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 3.10

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 0}{1}}}{2 + 0}$

Paso 3.11

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.11.1

Divide $2 + 3 \cdot 0$ por $1$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} (2 + 3 \cdot 0)}}{2 + 0}$

Paso 3.11.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.11.2.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} (2 + 0)}}{2 + 0}$

Paso 3.11.2.2

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{\sqrt{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2 + 0}$

Paso 3.11.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{\sqrt{\frac{2}{2}}}{2 + 0}$

Paso 3.11.2.4

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{\sqrt{1}}{2 + 0}$

Paso 3.11.2.5

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{1}{2 + 0}$

Paso 3.11.3

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{1}{2}$

Paso 4

Evalúa $lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 3 x + 2}}{2 x + 1}$ para obtener la asíntota horizontal.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1

Factoriza $x^{2} + 3 x + 2$ con el método AC.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.1.1

Considera la forma $x^{2} + b x + c$ . Encuentra un par de números enteros cuyo producto sea $c$ y cuya suma sea $b$ . En este caso, cuyo producto es $2$ y cuya suma es $3$ .

$1, 2$

Paso 4.1.2

Escribe la forma factorizada mediante estos números enteros.

$lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{(x + 1) (x + 2)}}{2 x + 1}$

Paso 4.2

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $- \sqrt{x^{2}} = x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}}}}{\frac{2 x}{x} + \frac{1}{x}}$

Paso 4.3

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.3.1

Cancela el factor común de $x$ .

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}}}}{2 + \frac{1}{x}}$

Paso 4.3.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{\frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 4.3.3

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{\frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 4.3.4

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 4.4

Aplica la regla de l'Hôpital

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.1

Evalúa el límite del numerador y el límite del denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.1.1

Resta el límite del numerador y el límite del denominador.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} (x + 1) (x + 2)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 4.4.1.2

Evalúa el límite del numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.1.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x (x + 2) + 1 (x + 2)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 4.4.1.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x + x \cdot 2 + 1 (x + 2)}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 4.4.1.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x + x \cdot 2 + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 4.4.1.2.4

Reordena $x$ y $2$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x \cdot x + 2 \cdot x + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 4.4.1.2.5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1} x + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 4.4.1.2.6

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1} x^{1} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 4.4.1.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{1 + 1} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 4.4.1.2.8

Simplifica mediante la adición de términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.1.2.8.1

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} + 2 x + 1 x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 4.4.1.2.8.2

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.1.2.8.2.1

Multiplica $x$ por $1$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} + 2 x + x + 1 \cdot 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 4.4.1.2.8.2.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} + 2 x + x + 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 4.4.1.2.8.3

Suma $2 x$ y $x$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{lim_{x \to - \infty} x^{2} + 3 x + 2}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 4.4.1.2.9

El límite al infinito negativo de un polinomio de grado par con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{- \sqrt{\frac{\infty}{lim_{x \to - \infty} x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 4.4.1.3

El límite al infinito negativo de un polinomio de grado par con coeficiente principal positivo es infinito.

$\frac{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 4.4.1.4

Infinito dividido por infinito es indefinido.

Indefinida

$\frac{- \sqrt{\frac{\infty}{\infty}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 4.4.2

$lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) (x + 2)}{x^{2}} = lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x + 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}$

Paso 4.4.3

Obtén la derivada del numerador y el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.3.1

Diferencia el numerador y el denominador.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{d}{d x} [(x + 1) (x + 2)]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 4.4.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x + 1$ y $g (x) = x + 2$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [x + 2] + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 4.4.3.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 2$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 4.4.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) (1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 4.4.3.5

Como $2$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) (1 + 0) + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 4.4.3.6

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{(x + 1) \cdot 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 4.4.3.7

Multiplica $x + 1$ por $1$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + (x + 2) \frac{d}{d x} [x + 1]}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 4.4.3.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + (x + 2) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 4.4.3.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + (x + 2) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 4.4.3.10

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + (x + 2) (1 + 0)}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 4.4.3.11

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + (x + 2) \cdot 1}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 4.4.3.12

Multiplica $x + 2$ por $1$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{x + 1 + x + 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 4.4.3.13

Suma $x$ y $x$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 1 + 2}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 4.4.3.14

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 3}{\frac{d}{d x} [x^{2}]}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 4.4.3.15

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 3}{2 x}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 4.5

Mueve el término $\frac{1}{2}$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 3}{x}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 4.6

Divide el numerador y denominador por la potencia más alta de $x$ en el denominador, que es $x$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 4.7

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.7.1

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.7.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{\frac{2 x}{x} + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 4.7.1.2

Divide $2$ por $1$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 4.7.2

Cancela el factor común de $x$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.7.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{\frac{x}{x}}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 4.7.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} lim_{x \to - \infty} \frac{2 + \frac{3}{x}}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 4.7.3

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 4.7.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{lim_{x \to - \infty} 2 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 4.7.5

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + lim_{x \to - \infty} \frac{3}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 4.7.6

Mueve el término $3$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 4.8

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 0}{lim_{x \to - \infty} 1}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 4.9

Evalúa el límite.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.9.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + \frac{1}{x}}$

Paso 4.9.2

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 0}{1}}}{lim_{x \to - \infty} 2 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 4.9.3

Evalúa el límite de $2$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 0}{1}}}{2 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x}}$

Paso 4.10

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x}$ se acerca a $0$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} \cdot \frac{2 + 3 \cdot 0}{1}}}{2 + 0}$

Paso 4.11

Simplifica la respuesta.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.11.1

Divide $2 + 3 \cdot 0$ por $1$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} (2 + 3 \cdot 0)}}{2 + 0}$

Paso 4.11.2

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.11.2.1

Multiplica $3$ por $0$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} (2 + 0)}}{2 + 0}$

Paso 4.11.2.2

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{1}{2} \cdot 2}}{2 + 0}$

Paso 4.11.2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$\frac{- \sqrt{\frac{2}{2}}}{2 + 0}$

Paso 4.11.2.4

Divide $2$ por $2$ .

$\frac{- \sqrt{1}}{2 + 0}$

Paso 4.11.2.5

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{2 + 0}$

Paso 4.11.3

Suma $2$ y $0$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{2}$

Paso 4.11.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 1}{2}$

Paso 4.11.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{2}$

Paso 5

Enumera las asíntotas horizontales:

$y = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

Paso 6

Usa la división polinómica para obtener las asíntotas oblicuas. Como esta expresión contiene un radical, la división polinómica no se puede hacer.

No se pueden encontrar las asíntotas oblicuas

Paso 7

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = - \frac{1}{2}$

Asíntotas horizontales: $y = \frac{1}{2}, - \frac{1}{2}$

No se pueden encontrar las asíntotas oblicuas

Paso 8