Cálculo Ejemplos

$f (θ) = \sqrt{\tan (θ) + \cot (θ)}$

Paso 1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{\tan (θ) + \cot (θ)}$ como ${(\tan (θ) + \cot (θ))}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d θ} [{(\tan (θ) + \cot (θ))}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d θ} [f (g (θ))]$ es $f' (g (θ)) g' (θ)$ donde $f (θ) = θ^{\frac{1}{2}}$ y $g (θ) = \tan (θ) + \cot (θ)$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\tan (θ) + \cot (θ)$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d θ} [\tan (θ) + \cot (θ)]$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d θ} [\tan (θ) + \cot (θ)]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\tan (θ) + \cot (θ)$ .

$\frac{1}{2} {(\tan (θ) + \cot (θ))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d θ} [\tan (θ) + \cot (θ)]$

Paso 3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\tan (θ) + \cot (θ))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d θ} [\tan (θ) + \cot (θ)]$

Paso 4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(\tan (θ) + \cot (θ))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d θ} [\tan (θ) + \cot (θ)]$

Paso 5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(\tan (θ) + \cot (θ))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d θ} [\tan (θ) + \cot (θ)]$

Paso 6

Simplifica el numerador.

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Paso 6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(\tan (θ) + \cot (θ))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d θ} [\tan (θ) + \cot (θ)]$

Paso 6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(\tan (θ) + \cot (θ))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d θ} [\tan (θ) + \cot (θ)]$

Paso 7

Diferencia con la regla de la suma.

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Paso 7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(\tan (θ) + \cot (θ))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d θ} [\tan (θ) + \cot (θ)]$

Paso 7.2

Combina fracciones.

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Paso 7.2.1

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(\tan (θ) + \cot (θ))}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(\tan (θ) + \cot (θ))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d θ} [\tan (θ) + \cot (θ)]$

Paso 7.2.2

Mueve ${(\tan (θ) + \cot (θ))}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(\tan (θ) + \cot (θ))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d θ} [\tan (θ) + \cot (θ)]$

Paso 7.3

Según la regla de la suma, la derivada de $\tan (θ) + \cot (θ)$ con respecto a $θ$ es $\frac{d}{d θ} [\tan (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cot (θ)]$ .

$\frac{1}{2 {(\tan (θ) + \cot (θ))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d θ} [\tan (θ)] + \frac{d}{d θ} [\cot (θ)])$

Paso 8

La derivada de $\tan (θ)$ con respecto a $θ$ es $\sec^{2} (θ)$ .

$\frac{1}{2 {(\tan (θ) + \cot (θ))}^{\frac{1}{2}}} (\sec^{2} (θ) + \frac{d}{d θ} [\cot (θ)])$

Paso 9

La derivada de $\cot (θ)$ con respecto a $θ$ es $- \csc^{2} (θ)$ .

$\frac{1}{2 {(\tan (θ) + \cot (θ))}^{\frac{1}{2}}} (\sec^{2} (θ) - \csc^{2} (θ))$

Paso 10

Reordena los factores de $\frac{1}{2 {(\tan (θ) + \cot (θ))}^{\frac{1}{2}}} (\sec^{2} (θ) - \csc^{2} (θ))$ .

$(\sec^{2} (θ) - \csc^{2} (θ)) \frac{1}{2 {(\tan (θ) + \cot (θ))}^{\frac{1}{2}}}$