Cálculo Ejemplos

$\sin (x) - x \cos (x)$

Paso 1

Escribe $\sin (x) - x \cos (x)$ como una función.

$f (x) = \sin (x) - x \cos (x)$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sin (x) - x \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sin (x)] + \frac{d}{d x} [- x \cos (x)]$ .

$f' (x) = \frac{d}{d x} (\sin (x)) + \frac{d}{d x} (- x \cos (x))$

Paso 2.1.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) + \frac{d}{d x} (- x \cos (x))$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- x \cos (x)]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x \cos (x)]$ .

$f' (x) = \cos (x) - \frac{d}{d x} (x \cos (x))$

Paso 2.1.3.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x$ y $g (x) = \cos (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) - (x \frac{d}{d x} (\cos (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.1.3.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$f' (x) = \cos (x) - (x (- \sin (x)) + \cos (x) \frac{d}{d x} (x))$

Paso 2.1.3.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$f' (x) = \cos (x) - (x (- \sin (x)) + \cos (x) \cdot 1)$

Paso 2.1.3.5

Multiplica $\cos (x)$ por $1$ .

$f' (x) = \cos (x) - (x (- \sin (x)) + \cos (x))$

Paso 2.1.4

Simplifica.

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Paso 2.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (x) = \cos (x) - (x (- \sin (x))) - \cos (x)$

Paso 2.1.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.1.4.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$f' (x) = \cos (x) + 1 (x (\sin (x))) - \cos (x)$

Paso 2.1.4.2.2

Multiplica $x$ por $1$ .

$f' (x) = \cos (x) + x \sin (x) - \cos (x)$

Paso 2.1.4.2.3

Resta $\cos (x)$ de $\cos (x)$ .

$f' (x) = x \sin (x) + 0$

Paso 2.1.4.2.4

Suma $x \sin (x)$ y $0$ .

$f' (x) = x \sin (x)$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $x \sin (x)$ .

$x \sin (x)$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $x \sin (x) = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$x \sin (x) = 0$

Paso 3.2

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x = 0$

$\sin (x) = 0$

Paso 3.3

Establece $x$ igual a $0$ .

$x = 0$

Paso 3.4

Establece $\sin (x)$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.1

Establece $\sin (x)$ igual a $0$ .

$\sin (x) = 0$

Paso 3.4.2

Resuelve $\sin (x) = 0$ en $x$ .

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Paso 3.4.2.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (0)$

Paso 3.4.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.4.2.2.1

El valor exacto de $\arcsin (0)$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 3.4.2.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - 0$

Paso 3.4.2.4

Resta $0$ de $π$ .

$x = π$

Paso 3.4.2.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 3.4.2.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 3.4.2.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 3.4.2.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 3.4.2.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 3.4.2.6

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3.5

La solución final comprende todos los valores que hacen $x \sin (x) = 0$ verdadera.

$x = 0, 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3.6

Consolida las respuestas.

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Paso 3.6.1

Consolida $0$ y $2 π n$ en $2 π n$ .

$x = 2 π n, π + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3.6.2

Consolida las respuestas.

$x = π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $π n$ .

$π n$

Paso 5

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (x) = x \sin (x)$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (x) = \sin (x) - x \cos (x)$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$ .

$(- \infty, π n) \cup (π n, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, π n)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $π n - 1$ en la expresión.

$f' (π n - 1) = (π n - 1) \sin (π n - 1)$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (π n - 1) = π n \sin (π n - 1) - 1 \sin (π n - 1)$

Paso 6.2.2

Reescribe $- 1 \sin (π n - 1)$ como $- \sin (π n - 1)$ .

$f' (π n - 1) = π n \sin (π n - 1) - \sin (π n - 1)$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $π n \sin (π n - 1) - \sin (π n - 1)$ .

$π n \sin (π n - 1) - \sin (π n - 1)$

Paso 6.3

En $x = π n - 1$ la derivada es $π n \sin (π n - 1) - \sin (π n - 1)$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, π n)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, π n)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(π n, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $π n + 1$ en la expresión.

$f' (π n + 1) = (π n + 1) \sin (π n + 1)$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$f' (π n + 1) = π n \sin (π n + 1) + 1 \sin (π n + 1)$

Paso 7.2.2

Multiplica $\sin (π n + 1)$ por $1$ .

$f' (π n + 1) = π n \sin (π n + 1) + \sin (π n + 1)$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $π n \sin (π n + 1) + \sin (π n + 1)$ .

$π n \sin (π n + 1) + \sin (π n + 1)$

Paso 7.3

En $x = π n + 1$ la derivada es $π n \sin (π n + 1) + \sin (π n + 1)$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(π n, \infty)$ .

Incremento en $(π n, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(π n, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \infty, π n)$

Paso 9