Cálculo Ejemplos

$64 x^{2} + \frac{128}{x} + 3$

Paso 1

Escribe $64 x^{2} + \frac{128}{x} + 3$ como una función.

$f (x) = 64 x^{2} + \frac{128}{x} + 3$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $64 x^{2} + \frac{128}{x} + 3$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$ .

$\frac{d}{d x} [64 x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [64 x^{2}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $64$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $64 x^{2}$ con respecto a $x$ es $64 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$64 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$64 (2 x) + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.1.2.3

Multiplica $2$ por $64$ .

$128 x + \frac{d}{d x} [\frac{128}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [\frac{128}{x}]$ .

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Paso 2.1.3.1

Como $128$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{128}{x}$ con respecto a $x$ es $128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$ .

$128 x + 128 \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.1.3.2

Reescribe $\frac{1}{x}$ como $x^{- 1}$ .

$128 x + 128 \frac{d}{d x} [x^{- 1}] + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.1.3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$128 x + 128 (- x^{- 2}) + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.1.3.4

Multiplica $- 1$ por $128$ .

$128 x - 128 x^{- 2} + \frac{d}{d x} [3]$

Paso 2.1.4

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3$ con respecto a $x$ es $0$ .

$128 x - 128 x^{- 2} + 0$

Paso 2.1.5

Simplifica.

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Paso 2.1.5.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$128 x - 128 \frac{1}{x^{2}} + 0$

Paso 2.1.5.2

Combina los términos.

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Paso 2.1.5.2.1

Combina $- 128$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$128 x + \frac{- 128}{x^{2}} + 0$

Paso 2.1.5.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$128 x - \frac{128}{x^{2}} + 0$

Paso 2.1.5.2.3

Suma $128 x - \frac{128}{x^{2}}$ y $0$ .

$f' (x) = 128 x - \frac{128}{x^{2}}$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $128 x - \frac{128}{x^{2}}$ .

$128 x - \frac{128}{x^{2}}$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $128 x - \frac{128}{x^{2}} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$128 x - \frac{128}{x^{2}} = 0$

Paso 3.2

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 3.2.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$1, x^{2}, 1$

Paso 3.2.2

El mínimo común múltiplo (MCM) de una y cualquier expresión es la expresión.

$x^{2}$

Paso 3.3

Multiplica cada término en $128 x - \frac{128}{x^{2}} = 0$ por $x^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 3.3.1

Multiplica cada término en $128 x - \frac{128}{x^{2}} = 0$ por $x^{2}$ .

$128 x \cdot x^{2} - \frac{128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.2.1.1

Multiplica $x$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 3.3.2.1.1.1

Mueve $x^{2}$ .

$128 (x^{2} x) - \frac{128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 3.3.2.1.1.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ .

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Paso 3.3.2.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$128 (x^{2} x^{1}) - \frac{128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 3.3.2.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$128 x^{2 + 1} - \frac{128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 3.3.2.1.1.3

Suma $2$ y $1$ .

$128 x^{3} - \frac{128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 3.3.2.1.2

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 3.3.2.1.2.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{128}{x^{2}}$ al numerador.

$128 x^{3} + \frac{- 128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 3.3.2.1.2.2

Cancela el factor común.

$128 x^{3} + \frac{- 128}{x^{2}} x^{2} = 0 x^{2}$

Paso 3.3.2.1.2.3

Reescribe la expresión.

$128 x^{3} - 128 = 0 x^{2}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Multiplica $0$ por $x^{2}$ .

$128 x^{3} - 128 = 0$

Paso 3.4

Resuelve la ecuación.

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Paso 3.4.1

Suma $128$ a ambos lados de la ecuación.

$128 x^{3} = 128$

Paso 3.4.2

Resta $128$ de ambos lados de la ecuación.

$128 x^{3} - 128 = 0$

Paso 3.4.3

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.4.3.1

Factoriza $128$ de $128 x^{3} - 128$ .

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Paso 3.4.3.1.1

Factoriza $128$ de $128 x^{3}$ .

$128 (x^{3}) - 128 = 0$

Paso 3.4.3.1.2

Factoriza $128$ de $- 128$ .

$128 (x^{3}) + 128 (- 1) = 0$

Paso 3.4.3.1.3

Factoriza $128$ de $128 (x^{3}) + 128 (- 1)$ .

$128 (x^{3} - 1) = 0$

Paso 3.4.3.2

Reescribe $1$ como $1^{3}$ .

$128 (x^{3} - 1^{3}) = 0$

Paso 3.4.3.3

Dado que ambos términos son cubos perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cubos, $a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})$ , donde $a = x$ y $b = 1$ .

$128 ((x - 1) (x^{2} + x \cdot 1 + 1^{2})) = 0$

Paso 3.4.3.4

Factoriza.

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Paso 3.4.3.4.1

Simplifica.

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Paso 3.4.3.4.1.1

Multiplica $x$ por $1$ .

$128 ((x - 1) (x^{2} + x + 1^{2})) = 0$

Paso 3.4.3.4.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$128 ((x - 1) (x^{2} + x + 1)) = 0$

Paso 3.4.3.4.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$128 (x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$

Paso 3.4.4

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

$x^{2} + x + 1 = 0$

Paso 3.4.5

Establece $x - 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.5.1

Establece $x - 1$ igual a $0$ .

$x - 1 = 0$

Paso 3.4.5.2

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 1$

Paso 3.4.6

Establece $x^{2} + x + 1$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.4.6.1

Establece $x^{2} + x + 1$ igual a $0$ .

$x^{2} + x + 1 = 0$

Paso 3.4.6.2

Resuelve $x^{2} + x + 1 = 0$ en $x$ .

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Paso 3.4.6.2.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 3.4.6.2.2

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = 1$ y $c = 1$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{- 1 \pm \sqrt{1^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 1)}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.6.2.3

Simplifica.

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Paso 3.4.6.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.6.2.3.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.6.2.3.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 3.4.6.2.3.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.6.2.3.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.6.2.3.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.6.2.3.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.6.2.3.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.6.2.3.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.6.2.3.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 3.4.6.2.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 3.4.6.2.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.6.2.4.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.6.2.4.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 3.4.6.2.4.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.6.2.4.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.6.2.4.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.6.2.4.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.6.2.4.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.6.2.4.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.6.2.4.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 3.4.6.2.4.3

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = \frac{- 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 3.4.6.2.4.4

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 3.4.6.2.4.5

Factoriza $- 1$ de $i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (- i \sqrt{3})}{2}$

Paso 3.4.6.2.4.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (- i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 - i \sqrt{3})}{2}$

Paso 3.4.6.2.4.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 3.4.6.2.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 3.4.6.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 3.4.6.2.5.1.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.6.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 1$ .

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Paso 3.4.6.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot 1}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.6.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{1 - 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.6.2.5.1.3

Resta $4$ de $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.6.2.5.1.4

Reescribe $- 3$ como $- 1 (3)$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1 \cdot 3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.6.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (3)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.6.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2 \cdot 1}$

Paso 3.4.6.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{- 1 \pm i \sqrt{3}}{2}$

Paso 3.4.6.2.5.3

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = \frac{- 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 3.4.6.2.5.4

Reescribe $- 1$ como $- 1 (1)$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - i \sqrt{3}}{2}$

Paso 3.4.6.2.5.5

Factoriza $- 1$ de $- i \sqrt{3}$ .

$x = \frac{- 1 \cdot 1 - (i \sqrt{3})}{2}$

Paso 3.4.6.2.5.6

Factoriza $- 1$ de $- 1 (1) - (i \sqrt{3})$ .

$x = \frac{- 1 (1 + i \sqrt{3})}{2}$

Paso 3.4.6.2.5.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 3.4.6.2.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 3.4.7

La solución final comprende todos los valores que hacen $128 (x - 1) (x^{2} + x + 1) = 0$ verdadera.

$x = 1, - \frac{1 - i \sqrt{3}}{2}, - \frac{1 + i \sqrt{3}}{2}$

Paso 4

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $1$ .

$1$

Paso 5

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 5.1

Establece el denominador en $\frac{128}{x^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} = 0$

Paso 5.2

Resuelve $x$

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Paso 5.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{0}$

Paso 5.2.2

Simplifica $\pm \sqrt{0}$ .

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Paso 5.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Paso 5.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \pm 0$

Paso 5.2.2.3

Más o menos $0$ es $0$ .

$x = 0$

Paso 6

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = 128 (- 1) - \frac{128}{{(- 1)}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Multiplica $128$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = - 128 - \frac{128}{{(- 1)}^{2}}$

Paso 7.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1) = - 128 - \frac{128}{1}$

Paso 7.2.1.3

Divide $128$ por $1$ .

$f' (- 1) = - 128 - 1 \cdot 128$

Paso 7.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $128$ .

$f' (- 1) = - 128 - 128$

Paso 7.2.2

Resta $128$ de $- 128$ .

$f' (- 1) = - 256$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 256$ .

$- 256$

Paso 7.3

En $x = - 1$ la derivada es $- 256$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, 0)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, 0)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(0, 1)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{1}{2}$ en la expresión.

$f' (\frac{1}{2}) = 128 (\frac{1}{2}) - \frac{128}{{(\frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 8.2.1.1.1

Factoriza $2$ de $128$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (64) (\frac{1}{2}) - \frac{128}{{(\frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 \cdot (64 (\frac{1}{2})) - \frac{128}{{(\frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{1}{2}) = 64 - \frac{128}{{(\frac{1}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.1.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.1.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 64 - \frac{128}{\frac{1^{2}}{2^{2}}}$

Paso 8.2.1.2.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (\frac{1}{2}) = 64 - \frac{128}{\frac{1}{2^{2}}}$

Paso 8.2.1.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 64 - \frac{128}{\frac{1}{4}}$

Paso 8.2.1.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f' (\frac{1}{2}) = 64 - (128 \cdot 4)$

Paso 8.2.1.4

Multiplica $- (128 \cdot 4)$ .

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Paso 8.2.1.4.1

Multiplica $128$ por $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 64 - 1 \cdot 512$

Paso 8.2.1.4.2

Multiplica $- 1$ por $512$ .

$f' (\frac{1}{2}) = 64 - 512$

Paso 8.2.2

Resta $512$ de $64$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - 448$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $- 448$ .

$- 448$

Paso 8.3

En $x = \frac{1}{2}$ la derivada es $- 448$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, 1)$ .

Decrecimiento en $(0, 1)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 9

Sustituye un valor del intervalo $(1, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = 128 (2) - \frac{128}{{(2)}^{2}}$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

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Paso 9.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.2.1.1

Multiplica $128$ por $2$ .

$f' (2) = 256 - \frac{128}{{(2)}^{2}}$

Paso 9.2.1.2

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (2) = 256 - \frac{128}{4}$

Paso 9.2.1.3

Divide $128$ por $4$ .

$f' (2) = 256 - 1 \cdot 32$

Paso 9.2.1.4

Multiplica $- 1$ por $32$ .

$f' (2) = 256 - 32$

Paso 9.2.2

Resta $32$ de $256$ .

$f' (2) = 224$

Paso 9.2.3

La respuesta final es $224$ .

$224$

Paso 9.3

En $x = 2$ la derivada es $224$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(1, \infty)$ .

Incremento en $(1, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 10

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(1, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \infty, 0), (0, 1)$

Paso 11