Cálculo Ejemplos

$3 x^{2} \ln (x^{2}) - 1$

Paso 1

Escribe $3 x^{2} \ln (x^{2}) - 1$ como una función.

$f (x) = 3 x^{2} \ln (x^{2}) - 1$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 x^{2} \ln (x^{2}) - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 x^{2} \ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{d}{d x} [3 x^{2} \ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 x^{2} \ln (x^{2})]$ .

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Paso 2.1.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 x^{2} \ln (x^{2})$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x^{2})]$ .

$3 \frac{d}{d x} [x^{2} \ln (x^{2})] + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \ln (x^{2})$ .

$3 (x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (x^{2})] + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \ln (x)$ y $g (x) = x^{2}$ .

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Paso 2.1.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2}$ .

$3 (x^{2} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.3.2

La derivada de $\ln (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u}$ .

$3 (x^{2} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2}$ .

$3 (x^{2} (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (x^{2} (\frac{1}{x^{2}} (2 x)) + \ln (x^{2}) \frac{d}{d x} [x^{2}]) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.5

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (x^{2} (\frac{1}{x^{2}} (2 x)) + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.6

Combina $2$ y $\frac{1}{x^{2}}$ .

$3 (x^{2} (\frac{2}{x^{2}} x) + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.7

Combina $\frac{2}{x^{2}}$ y $x$ .

$3 (x^{2} \frac{2 x}{x^{2}} + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.8

Cancela el factor común de $x$ y $x^{2}$ .

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Paso 2.1.2.8.1

Factoriza $x$ de $2 x$ .

$3 (x^{2} \frac{x \cdot 2}{x^{2}} + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.8.2.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$3 (x^{2} \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.8.2.2

Cancela el factor común.

$3 (x^{2} \frac{x \cdot 2}{x \cdot x} + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.8.2.3

Reescribe la expresión.

$3 (x^{2} \frac{2}{x} + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.9

Combina $x^{2}$ y $\frac{2}{x}$ .

$3 (\frac{x^{2} \cdot 2}{x} + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.10

Mueve $2$ a la izquierda de $x^{2}$ .

$3 (\frac{2 \cdot x^{2}}{x} + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.11

Cancela el factor común de $x^{2}$ y $x$ .

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Paso 2.1.2.11.1

Factoriza $x$ de $2 x^{2}$ .

$3 (\frac{x (2 x)}{x} + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.11.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.1.2.11.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$3 (\frac{x (2 x)}{x^{1}} + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.11.2.2

Factoriza $x$ de $x^{1}$ .

$3 (\frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.11.2.3

Cancela el factor común.

$3 (\frac{x (2 x)}{x \cdot 1} + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.11.2.4

Reescribe la expresión.

$3 (\frac{2 x}{1} + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.2.11.2.5

Divide $2 x$ por $1$ .

$3 (2 x + \ln (x^{2}) (2 x)) + \frac{d}{d x} [- 1]$

Paso 2.1.3

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$3 (2 x + \ln (x^{2}) (2 x)) + 0$

Paso 2.1.4

Simplifica.

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Paso 2.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$3 (2 x) + 3 (\ln (x^{2}) (2 x)) + 0$

Paso 2.1.4.2

Combina los términos.

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Paso 2.1.4.2.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 x + 3 (\ln (x^{2}) (2 x)) + 0$

Paso 2.1.4.2.2

Multiplica $2$ por $3$ .

$6 x + 6 (\ln (x^{2}) (x)) + 0$

Paso 2.1.4.2.3

Suma $6 x + 6 \ln (x^{2}) x$ y $0$ .

$6 x + 6 \ln (x^{2}) x$

Paso 2.1.4.3

Reordena los términos.

$f' (x) = 6 x \ln (x^{2}) + 6 x$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $6 x \ln (x^{2}) + 6 x$ .

$6 x \ln (x^{2}) + 6 x$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $6 x \ln (x^{2}) + 6 x = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$6 x \ln (x^{2}) + 6 x = 0$

Paso 3.2

Resta $6 x$ de ambos lados de la ecuación.

$6 x \ln (x^{2}) = - 6 x$

Paso 3.3

Divide cada término en $6 x \ln (x^{2}) = - 6 x$ por $6 x$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $6 x \ln (x^{2}) = - 6 x$ por $6 x$ .

$\frac{6 x \ln (x^{2})}{6 x} = \frac{- 6 x}{6 x}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $6$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{6 x \ln (x^{2})}{6 x} = \frac{- 6 x}{6 x}$

Paso 3.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{x \ln (x^{2})}{x} = \frac{- 6 x}{6 x}$

Paso 3.3.2.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{x \ln (x^{2})}{x} = \frac{- 6 x}{6 x}$

Paso 3.3.2.2.2

Divide $\ln (x^{2})$ por $1$ .

$\ln (x^{2}) = \frac{- 6 x}{6 x}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Cancela el factor común de $- 6$ y $6$ .

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Paso 3.3.3.1.1

Factoriza $6$ de $- 6 x$ .

$\ln (x^{2}) = \frac{6 (- x)}{6 x}$

Paso 3.3.3.1.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.3.3.1.2.1

Factoriza $6$ de $6 x$ .

$\ln (x^{2}) = \frac{6 (- x)}{6 (x)}$

Paso 3.3.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$\ln (x^{2}) = \frac{6 (- x)}{6 x}$

Paso 3.3.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$\ln (x^{2}) = \frac{- x}{x}$

Paso 3.3.3.2

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 3.3.3.2.1

Cancela el factor común.

$\ln (x^{2}) = \frac{- x}{x}$

Paso 3.3.3.2.2

Divide $- 1$ por $1$ .

$\ln (x^{2}) = - 1$

Paso 3.4

Para resolver $x$ , reescribe la ecuación mediante las propiedades de los logaritmos.

$e^{\ln (x^{2})} = e^{- 1}$

Paso 3.5

Reescribe $\ln (x^{2}) = - 1$ en formato exponencial mediante la definición de un logaritmo. Si $x$ y $b$ son números reales positivos y $b \neq 1$ , entonces $\log_{b} (x) = y$ es equivalente a $b^{y} = x$ .

$e^{- 1} = x^{2}$

Paso 3.6

Resuelve $x$

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Paso 3.6.1

Reescribe la ecuación como $x^{2} = e^{- 1}$ .

$x^{2} = e^{- 1}$

Paso 3.6.2

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{e^{- 1}}$

Paso 3.6.3

Simplifica $\pm \sqrt{e^{- 1}}$ .

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Paso 3.6.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$x = \pm \sqrt{\frac{1}{e}}$

Paso 3.6.3.2

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{e}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{e}}$

Paso 3.6.3.3

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{e}}$

Paso 3.6.3.4

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{e}}$ por $\frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$ .

$x = \pm \frac{1}{\sqrt{e}} \cdot \frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$

Paso 3.6.3.5

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 3.6.3.5.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{e}}$ por $\frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{\sqrt{e} \sqrt{e}}$

Paso 3.6.3.5.2

Eleva $\sqrt{e}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{{\sqrt{e}}^{1} \sqrt{e}}$

Paso 3.6.3.5.3

Eleva $\sqrt{e}$ a la potencia de $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{{\sqrt{e}}^{1} {\sqrt{e}}^{1}}$

Paso 3.6.3.5.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{{\sqrt{e}}^{1 + 1}}$

Paso 3.6.3.5.5

Suma $1$ y $1$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{{\sqrt{e}}^{2}}$

Paso 3.6.3.5.6

Reescribe ${\sqrt{e}}^{2}$ como $e$ .

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Paso 3.6.3.5.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{e}$ como $e^{\frac{1}{2}}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{{(e^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 3.6.3.5.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{e^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 3.6.3.5.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{e^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.6.3.5.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.6.3.5.6.4.1

Cancela el factor común.

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{e^{\frac{2}{2}}}$

Paso 3.6.3.5.6.4.2

Reescribe la expresión.

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{e^{1}}$

Paso 3.6.3.5.6.5

Simplifica.

$x = \pm \frac{\sqrt{e}}{e}$

Paso 3.6.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 3.6.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = \frac{\sqrt{e}}{e}$

Paso 3.6.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - \frac{\sqrt{e}}{e}$

Paso 3.6.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = \frac{\sqrt{e}}{e}, - \frac{\sqrt{e}}{e}$

Paso 4

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $\frac{\sqrt{e}}{e}, - \frac{\sqrt{e}}{e}$ .

$\frac{\sqrt{e}}{e}, - \frac{\sqrt{e}}{e}$

Paso 5

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 5.1

Establece el argumento en $\ln (x^{2})$ menor o igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x^{2} \leq 0$

Paso 5.2

Resuelve $x$

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Paso 5.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la desigualdad para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$\sqrt{x^{2}} \leq \sqrt{0}$

Paso 5.2.2

Simplifica la ecuación.

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Paso 5.2.2.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.2.1.1

Retira los términos de abajo del radical.

$| x | \leq \sqrt{0}$

Paso 5.2.2.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.2.2.1

Simplifica $\sqrt{0}$ .

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Paso 5.2.2.2.1.1

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$| x | \leq \sqrt{0^{2}}$

Paso 5.2.2.2.1.2

Retira los términos de abajo del radical.

$| x | \leq | 0 |$

Paso 5.2.2.2.1.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $0$ es $0$ .

$| x | \leq 0$

Paso 5.2.3

Escribe $| x | \leq 0$ como una función definida por partes.

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Paso 5.2.3.1

Para obtener el intervalo de la primera parte, obtén dónde el interior del valor absoluto no es negativo.

$x \geq 0$

Paso 5.2.3.2

En la parte donde $x$ no es negativa, elimina el valor absoluto.

$x \leq 0$

Paso 5.2.3.3

Para obtener el intervalo de la segunda parte, obtén dónde el interior del valor absoluto es negativo.

$x < 0$

Paso 5.2.3.4

En la parte donde $x$ es negativa, elimina el valor absoluto y multiplica por $- 1$ .

$- x \leq 0$

Paso 5.2.3.5

Escribe como una función definida por partes.

${\begin{cases} x \leq 0 & x \geq 0 \\ - x \leq 0 & x < 0 \end{cases}$

Paso 5.2.4

Obtén la intersección de $x \leq 0$ y $x \geq 0$ .

$x = 0$

Paso 5.2.5

Resuelve $- x \leq 0$ cuando $x < 0$ .

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Paso 5.2.5.1

Divide cada término en $- x \leq 0$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 5.2.5.1.1

Divide cada término de $- x \leq 0$ por $- 1$ . Cuando multipliques o dividas ambos lados de una desigualdad por un valor negativo, cambia la dirección del signo de desigualdad.

$\frac{- x}{- 1} \geq \frac{0}{- 1}$

Paso 5.2.5.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.2.5.1.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{x}{1} \geq \frac{0}{- 1}$

Paso 5.2.5.1.2.2

Divide $x$ por $1$ .

$x \geq \frac{0}{- 1}$

Paso 5.2.5.1.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.2.5.1.3.1

Divide $0$ por $- 1$ .

$x \geq 0$

Paso 5.2.5.2

Obtén la intersección de $x \geq 0$ y $x < 0$ .

No hay solución

Paso 5.2.6

Obtén la unión de las soluciones.

$x = 0$

Paso 6

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - \frac{\sqrt{e}}{e}) \cup (- \frac{\sqrt{e}}{e}, 0) \cup (0, \frac{\sqrt{e}}{e}) \cup (\frac{\sqrt{e}}{e}, \infty)$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - \frac{\sqrt{e}}{e})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1.60653067$ en la expresión.

$f' (- 1.60653067) = 6 (- 1.60653067) \ln ({(- 1.60653067)}^{2}) + 6 (- 1.60653067)$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 7.2.1.1

Multiplica $6$ por $- 1.60653067$ .

$f' (- 1.60653067) = - 9.63918402 \ln ({(- 1.60653067)}^{2}) + 6 (- 1.60653067)$

Paso 7.2.1.2

Eleva $- 1.60653067$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1.60653067) = - 9.63918402 \ln (2.58094079) + 6 (- 1.60653067)$

Paso 7.2.1.3

Simplifica $- 9.63918402 \ln (2.58094079)$ al mover $9.63918402$ dentro del algoritmo.

$f' (- 1.60653067) = - \ln ({2.58094079}^{9.63918402}) + 6 (- 1.60653067)$

Paso 7.2.1.4

Eleva $2.58094079$ a la potencia de $9.63918402$ .

$f' (- 1.60653067) = - \ln (9315.46036547) + 6 (- 1.60653067)$

Paso 7.2.1.5

Multiplica $6$ por $- 1.60653067$ .

$f' (- 1.60653067) = - \ln (9315.46036547) - 9.63918402$

Paso 7.2.2

Resta $9.63918402$ de $- \ln (9315.46036547)$ .

$f' (- 1.60653067) = - 18.77861472$

Paso 7.2.3

La respuesta final es $- 18.77861472$ .

$- 18.77861472$

Paso 7.3

En $x = - 1.60653067$ la derivada es $- 18.77861472$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, - \frac{\sqrt{e}}{e})$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - \frac{\sqrt{e}}{e})$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(- 0.60653067, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 0.30326533$ en la expresión.

$f' (- 0.30326533) = 6 (- 0.30326533) \ln ({(- 0.30326533)}^{2}) + 6 (- 0.30326533)$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.1.1

Multiplica $6$ por $- 0.30326533$ .

$f' (- 0.30326533) = - 1.81959201 \ln ({(- 0.30326533)}^{2}) + 6 (- 0.30326533)$

Paso 8.2.1.2

Eleva $- 0.30326533$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 0.30326533) = - 1.81959201 \ln (0.09196986) + 6 (- 0.30326533)$

Paso 8.2.1.3

Simplifica $- 1.81959201 \ln (0.09196986)$ al mover $1.81959201$ dentro del algoritmo.

$f' (- 0.30326533) = - \ln ({0.09196986}^{1.81959201}) + 6 (- 0.30326533)$

Paso 8.2.1.4

Eleva $0.09196986$ a la potencia de $1.81959201$ .

$f' (- 0.30326533) = - \ln (0.01300941) + 6 (- 0.30326533)$

Paso 8.2.1.5

Multiplica $6$ por $- 0.30326533$ .

$f' (- 0.30326533) = - \ln (0.01300941) - 1.81959201$

Paso 8.2.2

Resta $1.81959201$ de $- \ln (0.01300941)$ .

$f' (- 0.30326533) = 2.52249008$

Paso 8.2.3

La respuesta final es $2.52249008$ .

$2.52249008$

Paso 8.3

En $x = - 0.30326533$ la derivada es $2.52249008$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- 0.60653067, 0)$ .

Incremento en $(- \frac{\sqrt{e}}{e}, 0)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 9

Sustituye un valor del intervalo $(0, \frac{\sqrt{e}}{e})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $0.30326533$ en la expresión.

$f' (0.30326533) = 6 (0.30326533) \ln ({(0.30326533)}^{2}) + 6 (0.30326533)$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

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Paso 9.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 9.2.1.1

Multiplica $6$ por $0.30326533$ .

$f' (0.30326533) = 1.81959201 \ln ({(0.30326533)}^{2}) + 6 (0.30326533)$

Paso 9.2.1.2

Eleva $0.30326533$ a la potencia de $2$ .

$f' (0.30326533) = 1.81959201 \ln (0.09196986) + 6 (0.30326533)$

Paso 9.2.1.3

Simplifica $1.81959201 \ln (0.09196986)$ al mover $1.81959201$ dentro del algoritmo.

$f' (0.30326533) = \ln ({0.09196986}^{1.81959201}) + 6 (0.30326533)$

Paso 9.2.1.4

Eleva $0.09196986$ a la potencia de $1.81959201$ .

$f' (0.30326533) = \ln (0.01300941) + 6 (0.30326533)$

Paso 9.2.1.5

Multiplica $6$ por $0.30326533$ .

$f' (0.30326533) = \ln (0.01300941) + 1.81959201$

Paso 9.2.2

Suma $\ln (0.01300941)$ y $1.81959201$ .

$f' (0.30326533) = - 2.52249008$

Paso 9.2.3

La respuesta final es $- 2.52249008$ .

$- 2.52249008$

Paso 9.3

En $x = 0.30326533$ la derivada es $- 2.52249008$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, \frac{\sqrt{e}}{e})$ .

Decrecimiento en $(0, \frac{\sqrt{e}}{e})$ desde $f' (x) < 0$

Paso 10

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{\sqrt{e}}{e}, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 10.1

Reemplaza la variable $x$ con $1.60653067$ en la expresión.

$f' (1.60653067) = 6 (1.60653067) \ln ({(1.60653067)}^{2}) + 6 (1.60653067)$

Paso 10.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 10.2.1.1

Multiplica $6$ por $1.60653067$ .

$f' (1.60653067) = 9.63918402 \ln ({(1.60653067)}^{2}) + 6 (1.60653067)$

Paso 10.2.1.2

Eleva $1.60653067$ a la potencia de $2$ .

$f' (1.60653067) = 9.63918402 \ln (2.58094079) + 6 (1.60653067)$

Paso 10.2.1.3

Simplifica $9.63918402 \ln (2.58094079)$ al mover $9.63918402$ dentro del algoritmo.

$f' (1.60653067) = \ln ({2.58094079}^{9.63918402}) + 6 (1.60653067)$

Paso 10.2.1.4

Eleva $2.58094079$ a la potencia de $9.63918402$ .

$f' (1.60653067) = \ln (9315.46036547) + 6 (1.60653067)$

Paso 10.2.1.5

Multiplica $6$ por $1.60653067$ .

$f' (1.60653067) = \ln (9315.46036547) + 9.63918402$

Paso 10.2.2

Suma $\ln (9315.46036547)$ y $9.63918402$ .

$f' (1.60653067) = 18.77861472$

Paso 10.2.3

La respuesta final es $18.77861472$ .

$18.77861472$

Paso 10.3

En $x = 1.60653067$ la derivada es $18.77861472$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(\frac{\sqrt{e}}{e}, \infty)$ .

Incremento en $(\frac{\sqrt{e}}{e}, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 11

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \frac{\sqrt{e}}{e}, 0), (\frac{\sqrt{e}}{e}, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \infty, - \frac{\sqrt{e}}{e}), (0, \frac{\sqrt{e}}{e})$

Paso 12