Cálculo Ejemplos

$\frac{x^{4}}{x - 15}$

Paso 1

Escribe $\frac{x^{4}}{x - 15}$ como una función.

$f (x) = \frac{x^{4}}{x - 15}$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{4}$ y $g (x) = x - 15$ .

$\frac{(x - 15) \frac{d}{d x} [x^{4}] - x^{4} \frac{d}{d x} [x - 15]}{{(x - 15)}^{2}}$

Paso 2.1.2

Diferencia.

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Paso 2.1.2.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 4$ .

$\frac{(x - 15) (4 x^{3}) - x^{4} \frac{d}{d x} [x - 15]}{{(x - 15)}^{2}}$

Paso 2.1.2.2

Mueve $4$ a la izquierda de $x - 15$ .

$\frac{4 \cdot (x - 15) x^{3} - x^{4} \frac{d}{d x} [x - 15]}{{(x - 15)}^{2}}$

Paso 2.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 15$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 15]$ .

$\frac{4 (x - 15) x^{3} - x^{4} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 15])}{{(x - 15)}^{2}}$

Paso 2.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{4 (x - 15) x^{3} - x^{4} (1 + \frac{d}{d x} [- 15])}{{(x - 15)}^{2}}$

Paso 2.1.2.5

Como $- 15$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 15$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{4 (x - 15) x^{3} - x^{4} (1 + 0)}{{(x - 15)}^{2}}$

Paso 2.1.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.2.6.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{4 (x - 15) x^{3} - x^{4} \cdot 1}{{(x - 15)}^{2}}$

Paso 2.1.2.6.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{4 (x - 15) x^{3} - x^{4}}{{(x - 15)}^{2}}$

Paso 2.1.3

Simplifica.

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Paso 2.1.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{(4 x + 4 \cdot - 15) x^{3} - x^{4}}{{(x - 15)}^{2}}$

Paso 2.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x \cdot x^{3} + 4 \cdot - 15 x^{3} - x^{4}}{{(x - 15)}^{2}}$

Paso 2.1.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.1.3.3.1.1

Multiplica $x$ por $x^{3}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.1.3.3.1.1.1

Mueve $x^{3}$ .

$\frac{4 (x^{3} x) + 4 \cdot - 15 x^{3} - x^{4}}{{(x - 15)}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.1.1.2

Multiplica $x^{3}$ por $x$ .

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Paso 2.1.3.3.1.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 (x^{3} x^{1}) + 4 \cdot - 15 x^{3} - x^{4}}{{(x - 15)}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.1.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 x^{3 + 1} + 4 \cdot - 15 x^{3} - x^{4}}{{(x - 15)}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.1.1.3

Suma $3$ y $1$ .

$\frac{4 x^{4} + 4 \cdot - 15 x^{3} - x^{4}}{{(x - 15)}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.1.2

Multiplica $4$ por $- 15$ .

$\frac{4 x^{4} - 60 x^{3} - x^{4}}{{(x - 15)}^{2}}$

Paso 2.1.3.3.2

Resta $x^{4}$ de $4 x^{4}$ .

$\frac{3 x^{4} - 60 x^{3}}{{(x - 15)}^{2}}$

Paso 2.1.3.4

Factoriza $3 x^{3}$ de $3 x^{4} - 60 x^{3}$ .

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Paso 2.1.3.4.1

Factoriza $3 x^{3}$ de $3 x^{4}$ .

$\frac{3 x^{3} (x) - 60 x^{3}}{{(x - 15)}^{2}}$

Paso 2.1.3.4.2

Factoriza $3 x^{3}$ de $- 60 x^{3}$ .

$\frac{3 x^{3} (x) + 3 x^{3} (- 20)}{{(x - 15)}^{2}}$

Paso 2.1.3.4.3

Factoriza $3 x^{3}$ de $3 x^{3} (x) + 3 x^{3} (- 20)$ .

$f' (x) = \frac{3 x^{3} (x - 20)}{{(x - 15)}^{2}}$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{3 x^{3} (x - 20)}{{(x - 15)}^{2}}$ .

$\frac{3 x^{3} (x - 20)}{{(x - 15)}^{2}}$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{3 x^{3} (x - 20)}{{(x - 15)}^{2}} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{3 x^{3} (x - 20)}{{(x - 15)}^{2}} = 0$

Paso 3.2

Establece el numerador igual a cero.

$3 x^{3} (x - 20) = 0$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación en $x$ .

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Paso 3.3.1

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$x^{3} = 0$

$x - 20 = 0$

Paso 3.3.2

Establece $x^{3}$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.3.2.1

Establece $x^{3}$ igual a $0$ .

$x^{3} = 0$

Paso 3.3.2.2

Resuelve $x^{3} = 0$ en $x$ .

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Paso 3.3.2.2.1

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \sqrt[3]{0}$

Paso 3.3.2.2.2

Simplifica $\sqrt[3]{0}$ .

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Paso 3.3.2.2.2.1

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$x = \sqrt[3]{0^{3}}$

Paso 3.3.2.2.2.2

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales.

$x = 0$

Paso 3.3.3

Establece $x - 20$ igual a $0$ y resuelve $x$ .

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Paso 3.3.3.1

Establece $x - 20$ igual a $0$ .

$x - 20 = 0$

Paso 3.3.3.2

Suma $20$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 20$

Paso 3.3.4

La solución final comprende todos los valores que hacen $3 x^{3} (x - 20) = 0$ verdadera.

$x = 0, 20$

Paso 4

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0, 20$ .

$0, 20$

Paso 5

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 5.1

Establece el denominador en $\frac{3 x^{3} (x - 20)}{{(x - 15)}^{2}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

${(x - 15)}^{2} = 0$

Paso 5.2

Resuelve $x$

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Paso 5.2.1

Establece $x - 15$ igual a $0$ .

$x - 15 = 0$

Paso 5.2.2

Suma $15$ a ambos lados de la ecuación.

$x = 15$

Paso 6

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, 0) \cup (0, 15) \cup (15, 20) \cup (20, \infty)$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 1$ en la expresión.

$f' (- 1) = \frac{3 {(- 1)}^{3} ((- 1) - 20)}{{((- 1) - 15)}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 7.2.1.1

Resta $20$ de $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{3 {(- 1)}^{3} \cdot - 21}{{(- 1 - 15)}^{2}}$

Paso 7.2.1.2

Multiplica $- 21$ por $3$ .

$f' (- 1) = \frac{- 63 {(- 1)}^{3}}{{(- 1 - 15)}^{2}}$

Paso 7.2.1.3

Eleva $- 1$ a la potencia de $3$ .

$f' (- 1) = \frac{- 63 \cdot - 1}{{(- 1 - 15)}^{2}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.2.1

Resta $15$ de $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{- 63 \cdot - 1}{{(- 16)}^{2}}$

Paso 7.2.2.2

Eleva $- 16$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 1) = \frac{- 63 \cdot - 1}{256}$

Paso 7.2.3

Multiplica $- 63$ por $- 1$ .

$f' (- 1) = \frac{63}{256}$

Paso 7.2.4

La respuesta final es $\frac{63}{256}$ .

$\frac{63}{256}$

Paso 7.3

En $x = - 1$ la derivada es $\frac{63}{256}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, 0)$ .

Incremento en $(- \infty, 0)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(0, 15)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{15}{2}$ en la expresión.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{3 {(\frac{15}{2})}^{3} ((\frac{15}{2}) - 20)}{{((\frac{15}{2}) - 15)}^{2}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{15}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{3 (\frac{15^{3}}{2^{3}}) \cdot (\frac{15}{2} - 20)}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Paso 8.2.1.2

Combina $3$ y $\frac{15^{3}}{2^{3}}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}} \cdot (\frac{15}{2} - 20)}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Paso 8.2.1.3

Para escribir $- 20$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}} \cdot (\frac{15}{2} - 20 \cdot \frac{2}{2})}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Paso 8.2.1.4

Combina $- 20$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}} \cdot (\frac{15}{2} + \frac{- 20 \cdot 2}{2})}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Paso 8.2.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}} \cdot \frac{15 - 20 \cdot 2}{2}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Paso 8.2.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.1.6.1

Multiplica $- 20$ por $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}} \cdot \frac{15 - 40}{2}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Paso 8.2.1.6.2

Resta $40$ de $15$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}} \cdot \frac{- 25}{2}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Paso 8.2.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}} \cdot (- 1 (\frac{25}{2}))}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Paso 8.2.1.8

Combina exponentes.

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Paso 8.2.1.8.1

Factoriza el negativo.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- (\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}} \cdot \frac{25}{2})}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Paso 8.2.1.8.2

Multiplica $\frac{3 \cdot 15^{3}}{2^{3}}$ por $\frac{25}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{3 \cdot 15^{3} \cdot 25}{2^{3} \cdot 2}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Paso 8.2.1.8.3

Multiplica $25$ por $3$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{75 \cdot 15^{3}}{2^{3} \cdot 2}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Paso 8.2.1.8.4

Multiplica $2^{3}$ por $2$ sumando los exponentes.

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Paso 8.2.1.8.4.1

Multiplica $2^{3}$ por $2$ .

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Paso 8.2.1.8.4.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{75 \cdot 15^{3}}{2^{3} \cdot 2}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Paso 8.2.1.8.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{75 \cdot 15^{3}}{2^{3 + 1}}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Paso 8.2.1.8.4.2

Suma $3$ y $1$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{75 \cdot 15^{3}}{2^{4}}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Paso 8.2.1.9

Eleva $15$ a la potencia de $3$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{75 \cdot 3375}{2^{4}}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Paso 8.2.1.10

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{75 \cdot 3375}{16}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Paso 8.2.1.11

Multiplica $75$ por $3375$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{{(\frac{15}{2} - 15)}^{2}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.2.1

Para escribir $- 15$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{{(\frac{15}{2} - 15 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.2.2

Combina $- 15$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{{(\frac{15}{2} + \frac{- 15 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{{(\frac{15 - 15 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.2.4.1

Multiplica $- 15$ por $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{{(\frac{15 - 30}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.2.4.2

Resta $30$ de $15$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{{(\frac{- 15}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.2.5

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{{(- \frac{15}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.2.6

Aplica la regla del producto a $- \frac{15}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{{(- 1)}^{2} {(\frac{15}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.2.7

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{1 {(\frac{15}{2})}^{2}}$

Paso 8.2.2.8

Aplica la regla del producto a $\frac{15}{2}$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{1 (\frac{15^{2}}{2^{2}})}$

Paso 8.2.2.9

Eleva $15$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{1 (\frac{225}{2^{2}})}$

Paso 8.2.2.10

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{1 (\frac{225}{4})}$

Paso 8.2.2.11

Multiplica $\frac{225}{4}$ por $1$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- \frac{253125}{16}}{\frac{225}{4}}$

Paso 8.2.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f' (\frac{15}{2}) = - \frac{253125}{16} \cdot \frac{4}{225}$

Paso 8.2.4

Cancela el factor común de $225$ .

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Paso 8.2.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{253125}{16}$ al numerador.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- 253125}{16} \cdot \frac{4}{225}$

Paso 8.2.4.2

Factoriza $225$ de $- 253125$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{225 (- 1125)}{16} \cdot \frac{4}{225}$

Paso 8.2.4.3

Cancela el factor común.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{225 \cdot - 1125}{16} \cdot \frac{4}{225}$

Paso 8.2.4.4

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- 1125}{16} \cdot 4$

Paso 8.2.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 8.2.5.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- 1125}{4 (4)} \cdot 4$

Paso 8.2.5.2

Cancela el factor común.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- 1125}{4 \cdot 4} \cdot 4$

Paso 8.2.5.3

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{15}{2}) = \frac{- 1125}{4}$

Paso 8.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (\frac{15}{2}) = - \frac{1125}{4}$

Paso 8.2.7

La respuesta final es $- \frac{1125}{4}$ .

$- \frac{1125}{4}$

Paso 8.3

En $x = \frac{15}{2}$ la derivada es $- \frac{1125}{4}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, 15)$ .

Decrecimiento en $(0, 15)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 9

Sustituye un valor del intervalo $(15, 20)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{35}{2}$ en la expresión.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{3 {(\frac{35}{2})}^{3} ((\frac{35}{2}) - 20)}{{((\frac{35}{2}) - 15)}^{2}}$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

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Paso 9.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{35}{2}$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{3 (\frac{35^{3}}{2^{3}}) \cdot (\frac{35}{2} - 20)}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Paso 9.2.1.2

Combina $3$ y $\frac{35^{3}}{2^{3}}$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}} \cdot (\frac{35}{2} - 20)}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Paso 9.2.1.3

Para escribir $- 20$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}} \cdot (\frac{35}{2} - 20 \cdot \frac{2}{2})}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Paso 9.2.1.4

Combina $- 20$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}} \cdot (\frac{35}{2} + \frac{- 20 \cdot 2}{2})}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Paso 9.2.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}} \cdot \frac{35 - 20 \cdot 2}{2}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Paso 9.2.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.1.6.1

Multiplica $- 20$ por $2$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}} \cdot \frac{35 - 40}{2}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Paso 9.2.1.6.2

Resta $40$ de $35$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}} \cdot \frac{- 5}{2}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Paso 9.2.1.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}} \cdot (- 1 (\frac{5}{2}))}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Paso 9.2.1.8

Combina exponentes.

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Paso 9.2.1.8.1

Factoriza el negativo.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- (\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}} \cdot \frac{5}{2})}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Paso 9.2.1.8.2

Multiplica $\frac{3 \cdot 35^{3}}{2^{3}}$ por $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{3 \cdot 35^{3} \cdot 5}{2^{3} \cdot 2}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Paso 9.2.1.8.3

Multiplica $5$ por $3$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{15 \cdot 35^{3}}{2^{3} \cdot 2}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Paso 9.2.1.8.4

Multiplica $2^{3}$ por $2$ sumando los exponentes.

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Paso 9.2.1.8.4.1

Multiplica $2^{3}$ por $2$ .

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Paso 9.2.1.8.4.1.1

Eleva $2$ a la potencia de $1$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{15 \cdot 35^{3}}{2^{3} \cdot 2}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Paso 9.2.1.8.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{15 \cdot 35^{3}}{2^{3 + 1}}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Paso 9.2.1.8.4.2

Suma $3$ y $1$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{15 \cdot 35^{3}}{2^{4}}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Paso 9.2.1.9

Eleva $35$ a la potencia de $3$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{15 \cdot 42875}{2^{4}}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Paso 9.2.1.10

Eleva $2$ a la potencia de $4$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{15 \cdot 42875}{16}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Paso 9.2.1.11

Multiplica $15$ por $42875$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{{(\frac{35}{2} - 15)}^{2}}$

Paso 9.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.2.1

Para escribir $- 15$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{{(\frac{35}{2} - 15 \cdot \frac{2}{2})}^{2}}$

Paso 9.2.2.2

Combina $- 15$ y $\frac{2}{2}$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{{(\frac{35}{2} + \frac{- 15 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Paso 9.2.2.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{{(\frac{35 - 15 \cdot 2}{2})}^{2}}$

Paso 9.2.2.4

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.2.4.1

Multiplica $- 15$ por $2$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{{(\frac{35 - 30}{2})}^{2}}$

Paso 9.2.2.4.2

Resta $30$ de $35$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{{(\frac{5}{2})}^{2}}$

Paso 9.2.2.5

Aplica la regla del producto a $\frac{5}{2}$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{\frac{5^{2}}{2^{2}}}$

Paso 9.2.2.6

Eleva $5$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{\frac{25}{2^{2}}}$

Paso 9.2.2.7

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- \frac{643125}{16}}{\frac{25}{4}}$

Paso 9.2.3

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f' (\frac{35}{2}) = - \frac{643125}{16} \cdot \frac{4}{25}$

Paso 9.2.4

Cancela el factor común de $25$ .

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Paso 9.2.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{643125}{16}$ al numerador.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- 643125}{16} \cdot \frac{4}{25}$

Paso 9.2.4.2

Factoriza $25$ de $- 643125$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{25 (- 25725)}{16} \cdot \frac{4}{25}$

Paso 9.2.4.3

Cancela el factor común.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{25 \cdot - 25725}{16} \cdot \frac{4}{25}$

Paso 9.2.4.4

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- 25725}{16} \cdot 4$

Paso 9.2.5

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 9.2.5.1

Factoriza $4$ de $16$ .

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- 25725}{4 (4)} \cdot 4$

Paso 9.2.5.2

Cancela el factor común.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- 25725}{4 \cdot 4} \cdot 4$

Paso 9.2.5.3

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{35}{2}) = \frac{- 25725}{4}$

Paso 9.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (\frac{35}{2}) = - \frac{25725}{4}$

Paso 9.2.7

La respuesta final es $- \frac{25725}{4}$ .

$- \frac{25725}{4}$

Paso 9.3

En $x = \frac{35}{2}$ la derivada es $- \frac{25725}{4}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(15, 20)$ .

Decrecimiento en $(15, 20)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 10

Sustituye un valor del intervalo $(20, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 10.1

Reemplaza la variable $x$ con $21$ en la expresión.

$f' (21) = \frac{3 {(21)}^{3} ((21) - 20)}{{((21) - 15)}^{2}}$

Paso 10.2

Simplifica el resultado.

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Paso 10.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 10.2.1.1

Resta $20$ de $21$ .

$f' (21) = \frac{3 \cdot 21^{3} \cdot 1}{{(21 - 15)}^{2}}$

Paso 10.2.1.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$f' (21) = \frac{3 \cdot 21^{3}}{{(21 - 15)}^{2}}$

Paso 10.2.1.3

Eleva $21$ a la potencia de $3$ .

$f' (21) = \frac{3 \cdot 9261}{{(21 - 15)}^{2}}$

Paso 10.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 10.2.2.1

Resta $15$ de $21$ .

$f' (21) = \frac{3 \cdot 9261}{6^{2}}$

Paso 10.2.2.2

Eleva $6$ a la potencia de $2$ .

$f' (21) = \frac{3 \cdot 9261}{36}$

Paso 10.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 10.2.3.1

Multiplica $3$ por $9261$ .

$f' (21) = \frac{27783}{36}$

Paso 10.2.3.2

Cancela el factor común de $27783$ y $36$ .

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Paso 10.2.3.2.1

Factoriza $9$ de $27783$ .

$f' (21) = \frac{9 (3087)}{36}$

Paso 10.2.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 10.2.3.2.2.1

Factoriza $9$ de $36$ .

$f' (21) = \frac{9 \cdot 3087}{9 \cdot 4}$

Paso 10.2.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$f' (21) = \frac{9 \cdot 3087}{9 \cdot 4}$

Paso 10.2.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (21) = \frac{3087}{4}$

Paso 10.2.4

La respuesta final es $\frac{3087}{4}$ .

$\frac{3087}{4}$

Paso 10.3

En $x = 21$ la derivada es $\frac{3087}{4}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(20, \infty)$ .

Incremento en $(20, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 11

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, 0), (20, \infty)$

Decrecimiento en: $(0, 15), (15, 20)$

Paso 12