Cálculo Ejemplos

${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}} + 5$

Paso 1

Escribe ${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}} + 5$ como una función.

$f (x) = {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}} + 5$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de ${(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}} + 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$ .

$\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [{(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3}}]$ .

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Paso 2.1.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ y $g (x) = x^{2} - 1$ .

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Paso 2.1.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x^{2} - 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{2}{3}}] \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.1.2.1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} u^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.1.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x^{2} - 1$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} - 1] + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.1.2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x^{2} - 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.1.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (2 x + \frac{d}{d x} [- 1]) + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.1.2.4

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.1.2.5

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.1.2.6

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.1.2.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.1.2.8

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.2.8.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{2 - 3}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.1.2.8.2

Resta $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{\frac{- 1}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.1.2.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}} (2 x + 0) + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.1.2.10

Suma $2 x$ y $0$ .

$\frac{2}{3} {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}} (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.1.2.11

Combina $\frac{2}{3}$ y ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ .

$\frac{2 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} (2 x) + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.1.2.12

Combina $2$ y $\frac{2 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ .

$\frac{2 (2 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}})}{3} x + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.1.2.13

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3} x + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.1.2.14

Combina $\frac{4 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}}{3}$ y $x$ .

$\frac{4 {(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}} x}{3} + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.1.2.15

Mueve ${(x^{2} - 1)}^{- \frac{1}{3}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} + \frac{d}{d x} [5]$

Paso 2.1.3

Diferencia con la regla de la constante.

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Paso 2.1.3.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} + 0$

Paso 2.1.3.2

Suma $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ y $0$ .

$f' (x) = \frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$ .

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Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$\frac{4 x}{3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}} = 0$

Paso 3.2

Establece el numerador igual a cero.

$4 x = 0$

Paso 3.3

Divide cada término en $4 x = 0$ por $4$ y simplifica.

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Paso 3.3.1

Divide cada término en $4 x = 0$ por $4$ .

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 3.3.2.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4 x}{4} = \frac{0}{4}$

Paso 3.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{4}$

Paso 3.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 3.3.3.1

Divide $0$ por $4$ .

$x = 0$

Paso 4

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $0$ .

$0$

Paso 5

Obtén dónde la derivada es indefinida.

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Paso 5.1

Convierte las expresiones con exponentes fraccionarios en radicales.

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Paso 5.1.1

Aplica la regla $x^{\frac{m}{n}} = \sqrt[n]{x^{m}}$ para reescribir la exponenciación como un radical.

$\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{{(x^{2} - 1)}^{1}}}$

Paso 5.1.2

Cualquier número elevado a la potencia de $1$ es la misma base.

$\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{x^{2} - 1}}$

Paso 5.2

Establece el denominador en $\frac{4 x}{3 \sqrt[3]{x^{2} - 1}}$ igual que $0$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$3 \sqrt[3]{x^{2} - 1} = 0$

Paso 5.3

Resuelve $x$

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Paso 5.3.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${(3 \sqrt[3]{x^{2} - 1})}^{3} = 0^{3}$

Paso 5.3.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 5.3.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x^{2} - 1}$ como ${(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

${(3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 5.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.2.2.1

Simplifica ${(3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 5.3.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $3 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}$ .

$3^{3} {({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 5.3.2.2.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$27 {({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 5.3.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${({(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 5.3.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$27 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 5.3.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 5.3.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$27 {(x^{2} - 1)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 5.3.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$27 {(x^{2} - 1)}^{1} = 0^{3}$

Paso 5.3.2.2.1.4

Simplifica.

$27 (x^{2} - 1) = 0^{3}$

Paso 5.3.2.2.1.5

Aplica la propiedad distributiva.

$27 x^{2} + 27 \cdot - 1 = 0^{3}$

Paso 5.3.2.2.1.6

Multiplica $27$ por $- 1$ .

$27 x^{2} - 27 = 0^{3}$

Paso 5.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$27 x^{2} - 27 = 0$

Paso 5.3.3

Resuelve $x$

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Paso 5.3.3.1

Suma $27$ a ambos lados de la ecuación.

$27 x^{2} = 27$

Paso 5.3.3.2

Divide cada término en $27 x^{2} = 27$ por $27$ y simplifica.

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Paso 5.3.3.2.1

Divide cada término en $27 x^{2} = 27$ por $27$ .

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{27}{27}$

Paso 5.3.3.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.3.2.2.1

Cancela el factor común de $27$ .

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Paso 5.3.3.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{27 x^{2}}{27} = \frac{27}{27}$

Paso 5.3.3.2.2.1.2

Divide $x^{2}$ por $1$ .

$x^{2} = \frac{27}{27}$

Paso 5.3.3.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.3.2.3.1

Divide $27$ por $27$ .

$x^{2} = 1$

Paso 5.3.3.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$x = \pm \sqrt{1}$

Paso 5.3.3.4

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$x = \pm 1$

Paso 5.3.3.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 5.3.3.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = 1$

Paso 5.3.3.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - 1$

Paso 5.3.3.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = 1, - 1$

Paso 5.4

La ecuación es indefinida cuando el denominador es igual a $0$ , el argumento de una raíz cuadrada es menor que $0$ o el argumento de un logaritmo es menor o igual que $0$ .

$x = - 1, x = 1$

Paso 6

Divide $(- \infty, \infty)$ en intervalos separados alrededor de los valores de $x$ que hacen que la derivada sea $0$ o indefinida.

$(- \infty, - 1) \cup (- 1, 0) \cup (0, 1) \cup (1, \infty)$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, - 1)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 7.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 2$ en la expresión.

$f' (- 2) = \frac{4 (- 2)}{3 {({(- 2)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

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Paso 7.2.1

Multiplica $4$ por $- 2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3 {({(- 2)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 7.2.2.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3 {(4 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 7.2.2.2

Resta $1$ de $4$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}$

Paso 7.2.3

Multiplica $3$ por $3^{\frac{1}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 7.2.3.1

Multiplica $3$ por $3^{\frac{1}{3}}$ .

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Paso 7.2.3.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}$

Paso 7.2.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3^{1 + \frac{1}{3}}}$

Paso 7.2.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}$

Paso 7.2.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3^{\frac{3 + 1}{3}}}$

Paso 7.2.3.4

Suma $3$ y $1$ .

$f' (- 2) = \frac{- 8}{3^{\frac{4}{3}}}$

Paso 7.2.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- 2) = - \frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$

Paso 7.2.5

La respuesta final es $- \frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$- \frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$

Paso 7.3

En $x = - 2$ la derivada es $- \frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(- \infty, - 1)$ .

Decrecimiento en $(- \infty, - 1)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 8

Sustituye un valor del intervalo $(- 1, 0)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 8.1

Reemplaza la variable $x$ con $- \frac{1}{2}$ en la expresión.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{4 (- \frac{1}{2})}{3 {({(- \frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 8.2

Simplifica el resultado.

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Paso 8.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 4 (\frac{1}{2})}{3 {({(- \frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 8.2.1.2

Combina $- 4$ y $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {({(- \frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 8.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 8.2.2.1.1

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 8.2.2.1.1.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {({(- 1)}^{2} {(\frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 8.2.2.1.1.2

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {({(- 1)}^{2} (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 8.2.2.1.2

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(1 (\frac{1^{2}}{2^{2}}) - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 8.2.2.1.3

Multiplica $\frac{1^{2}}{2^{2}}$ por $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1^{2}}{2^{2}} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 8.2.2.1.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1}{2^{2}} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 8.2.2.1.5

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 8.2.2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 8.2.2.3

Combina $- 1$ y $\frac{4}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 8.2.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1 - 1 \cdot 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 8.2.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{1 - 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 8.2.2.5.2

Resta $4$ de $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(\frac{- 3}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 8.2.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 {(- \frac{3}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 8.2.2.7

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 8.2.2.7.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ({(- 1)}^{\frac{1}{3}} {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{3}})}$

Paso 8.2.2.7.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{4}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ({(- 1)}^{\frac{1}{3}} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Paso 8.2.2.8

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ({({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Paso 8.2.2.9

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ({(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Paso 8.2.2.10

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 8.2.2.10.1

Cancela el factor común.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ({(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Paso 8.2.2.10.2

Reescribe la expresión.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 ((- 1) (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Paso 8.2.2.11

Evalúa el exponente.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{\frac{- 4}{2}}{3 (- \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}})}$

Paso 8.2.3

Divide $- 4$ por $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{3 (- \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}})}$

Paso 8.2.4

Simplifica el denominador.

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Paso 8.2.4.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{- 3 \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Paso 8.2.4.2

Combina $- 3$ y $\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- 3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Paso 8.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 8.2.5.1

Factoriza el negativo.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- (3 \cdot 3^{\frac{1}{3}})}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Paso 8.2.5.2

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- (3 \cdot 3^{\frac{1}{3}})}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Paso 8.2.5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- 3^{1 + \frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Paso 8.2.5.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- 3^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Paso 8.2.5.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- 3^{\frac{3 + 1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Paso 8.2.5.6

Suma $3$ y $1$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{\frac{- 3^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Paso 8.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{- 2}{- \frac{3^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Paso 8.2.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f' (- \frac{1}{2}) = - 2 (- \frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}})$

Paso 8.2.8

Multiplica $- 2 (- \frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}})$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.8.1

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = 2 (\frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}})$

Paso 8.2.8.2

Combina $2$ y $\frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Paso 8.2.8.3

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Paso 8.2.8.4

Multiplica los exponentes en ${(2^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 8.2.8.4.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{3})}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Paso 8.2.8.4.2

Combina $2$ y $\frac{1}{3}$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2 \cdot 2^{\frac{2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Paso 8.2.8.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2^{1 + \frac{2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Paso 8.2.8.6

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Paso 8.2.8.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{3 + 2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Paso 8.2.8.8

Suma $3$ y $2$ .

$f' (- \frac{1}{2}) = \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Paso 8.2.9

La respuesta final es $\frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Paso 8.3

En $x = - \frac{1}{2}$ la derivada es $\frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- 1, 0)$ .

Incremento en $(- 1, 0)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 9

Sustituye un valor del intervalo $(0, 1)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 9.1

Reemplaza la variable $x$ con $\frac{1}{2}$ en la expresión.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{4 (\frac{1}{2})}{3 {({(\frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 9.2

Simplifica el resultado.

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Paso 9.2.1

Combina $4$ y $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {({(\frac{1}{2})}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 9.2.2

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.2.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1^{2}}{2^{2}} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 9.2.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1}{2^{2}} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 9.2.2.1.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 9.2.2.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} - 1 \cdot \frac{4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 9.2.2.3

Combina $- 1$ y $\frac{4}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1}{4} + \frac{- 1 \cdot 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 9.2.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1 - 1 \cdot 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 9.2.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.2.5.1

Multiplica $- 1$ por $4$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{1 - 4}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 9.2.2.5.2

Resta $4$ de $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(\frac{- 3}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 9.2.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 {(- \frac{3}{4})}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 9.2.2.7

Usa la regla de la potencia ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ para distribuir el exponente.

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Paso 9.2.2.7.1

Aplica la regla del producto a $- \frac{3}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ({(- 1)}^{\frac{1}{3}} {(\frac{3}{4})}^{\frac{1}{3}})}$

Paso 9.2.2.7.2

Aplica la regla del producto a $\frac{3}{4}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ({(- 1)}^{\frac{1}{3}} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Paso 9.2.2.8

Reescribe $- 1$ como ${(- 1)}^{3}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ({({(- 1)}^{3})}^{\frac{1}{3}} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Paso 9.2.2.9

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ({(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Paso 9.2.2.10

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 9.2.2.10.1

Cancela el factor común.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ({(- 1)}^{3 (\frac{1}{3})} (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Paso 9.2.2.10.2

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 ((- 1) (\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}))}$

Paso 9.2.2.11

Evalúa el exponente.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{\frac{4}{2}}{3 (- \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}})}$

Paso 9.2.3

Divide $4$ por $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{3 (- \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}})}$

Paso 9.2.4

Simplifica el denominador.

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Paso 9.2.4.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{- 3 \frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Paso 9.2.4.2

Combina $- 3$ y $\frac{3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- 3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Paso 9.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.5.1

Factoriza el negativo.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- (3 \cdot 3^{\frac{1}{3}})}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Paso 9.2.5.2

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- (3 \cdot 3^{\frac{1}{3}})}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Paso 9.2.5.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- 3^{1 + \frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Paso 9.2.5.4

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- 3^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Paso 9.2.5.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- 3^{\frac{3 + 1}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Paso 9.2.5.6

Suma $3$ y $1$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{\frac{- 3^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Paso 9.2.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{2}{- \frac{3^{\frac{4}{3}}}{4^{\frac{1}{3}}}}$

Paso 9.2.7

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$f' (\frac{1}{2}) = 2 (- \frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}})$

Paso 9.2.8

Multiplica $2 (- \frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}})$ .

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Paso 9.2.8.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = - 2 \frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9.2.8.2

Combina $- 2$ y $\frac{4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 2 \cdot 4^{\frac{1}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9.2.8.3

Factoriza el negativo.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- (2 \cdot 4^{\frac{1}{3}})}{3^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9.2.8.4

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- (2 \cdot {(2^{2})}^{\frac{1}{3}})}{3^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9.2.8.5

Multiplica los exponentes en ${(2^{2})}^{\frac{1}{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 9.2.8.5.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- (2 \cdot 2^{2 (\frac{1}{3})})}{3^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9.2.8.5.2

Combina $2$ y $\frac{1}{3}$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- (2 \cdot 2^{\frac{2}{3}})}{3^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9.2.8.6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 2^{1 + \frac{2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9.2.8.7

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 2^{\frac{3}{3} + \frac{2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9.2.8.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 2^{\frac{3 + 2}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9.2.8.9

Suma $3$ y $2$ .

$f' (\frac{1}{2}) = \frac{- 2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9.2.9

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (\frac{1}{2}) = - \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9.2.10

La respuesta final es $- \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$- \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$

Paso 9.3

En $x = \frac{1}{2}$ la derivada es $- \frac{2^{\frac{5}{3}}}{3^{\frac{4}{3}}}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(0, 1)$ .

Decrecimiento en $(0, 1)$ desde $f' (x) < 0$

Paso 10

Sustituye un valor del intervalo $(1, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

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Paso 10.1

Reemplaza la variable $x$ con $2$ en la expresión.

$f' (2) = \frac{4 (2)}{3 {({(2)}^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 10.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.1

Multiplica $4$ por $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{3 {(2^{2} - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 10.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.2.1

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (2) = \frac{8}{3 {(4 - 1)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 10.2.2.2

Resta $1$ de $4$ .

$f' (2) = \frac{8}{3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}$

Paso 10.2.3

Multiplica $3$ por $3^{\frac{1}{3}}$ sumando los exponentes.

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Paso 10.2.3.1

Multiplica $3$ por $3^{\frac{1}{3}}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 10.2.3.1.1

Eleva $3$ a la potencia de $1$ .

$f' (2) = \frac{8}{3 \cdot 3^{\frac{1}{3}}}$

Paso 10.2.3.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$f' (2) = \frac{8}{3^{1 + \frac{1}{3}}}$

Paso 10.2.3.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$f' (2) = \frac{8}{3^{\frac{3}{3} + \frac{1}{3}}}$

Paso 10.2.3.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$f' (2) = \frac{8}{3^{\frac{3 + 1}{3}}}$

Paso 10.2.3.4

Suma $3$ y $1$ .

$f' (2) = \frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$

Paso 10.2.4

La respuesta final es $\frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$ .

$\frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$

Paso 10.3

En $x = 2$ la derivada es $\frac{8}{3^{\frac{4}{3}}}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(1, \infty)$ .

Incremento en $(1, \infty)$ ya que $f' (x) > 0$

Paso 11

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- 1, 0), (1, \infty)$

Decrecimiento en: $(- \infty, - 1), (0, 1)$

Paso 12