Cálculo Ejemplos

$\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}} + 28$

Paso 1

Escribe $\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}} + 28$ como una función.

$f (t) = \frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}} + 28$

Paso 2

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1

Obtén la primera derivada.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}} + 28$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [28]$ .

$\frac{d}{d t} [\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [28]$

Paso 2.1.2

Evalúa $\frac{d}{d t} [\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.1

Como $136$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $\frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}$ con respecto a $t$ es $136 \frac{d}{d t} [\frac{1}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}]$ .

$136 \frac{d}{d t} [\frac{1}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}] + \frac{d}{d t} [28]$

Paso 2.1.2.2

Reescribe $\frac{1}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}}$ como ${(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 1}$ .

$136 \frac{d}{d t} [{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 1}] + \frac{d}{d t} [28]$

Paso 2.1.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{- 1}$ y $g (t) = 1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}$ .

$136 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{- 1}] \frac{d}{d t} [1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}]) + \frac{d}{d t} [28]$

Paso 2.1.2.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = - 1$ .

$136 (- {u_{1}}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}]) + \frac{d}{d t} [28]$

Paso 2.1.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} \frac{d}{d t} [1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}]) + \frac{d}{d t} [28]$

Paso 2.1.2.4

Según la regla de la suma, la derivada de $1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [0.25 {(t - 4.5)}^{2}]$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (\frac{d}{d t} [1] + \frac{d}{d t} [0.25 {(t - 4.5)}^{2}])) + \frac{d}{d t} [28]$

Paso 2.1.2.5

Como $1$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $1$ con respecto a $t$ es $0$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + \frac{d}{d t} [0.25 {(t - 4.5)}^{2}])) + \frac{d}{d t} [28]$

Paso 2.1.2.6

Como $0.25$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $0.25 {(t - 4.5)}^{2}$ con respecto a $t$ es $0.25 \frac{d}{d t} [{(t - 4.5)}^{2}]$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 \frac{d}{d t} [{(t - 4.5)}^{2}])) + \frac{d}{d t} [28]$

Paso 2.1.2.7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{2}$ y $g (t) = t - 4.5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.2.7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $t - 4.5$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d t} [t - 4.5]))) + \frac{d}{d t} [28]$

Paso 2.1.2.7.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ es $n {u_{2}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 u_{2} \frac{d}{d t} [t - 4.5]))) + \frac{d}{d t} [28]$

Paso 2.1.2.7.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $t - 4.5$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 (t - 4.5) \frac{d}{d t} [t - 4.5]))) + \frac{d}{d t} [28]$

Paso 2.1.2.8

Según la regla de la suma, la derivada de $t - 4.5$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 4.5]$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 (t - 4.5) (\frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 4.5])))) + \frac{d}{d t} [28]$

Paso 2.1.2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 (t - 4.5) (1 + \frac{d}{d t} [- 4.5])))) + \frac{d}{d t} [28]$

Paso 2.1.2.10

Como $- 4.5$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 4.5$ con respecto a $t$ es $0$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 (t - 4.5) (1 + 0)))) + \frac{d}{d t} [28]$

Paso 2.1.2.11

Suma $1$ y $0$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 (t - 4.5) \cdot 1))) + \frac{d}{d t} [28]$

Paso 2.1.2.12

Multiplica $2$ por $1$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.25 (2 (t - 4.5)))) + \frac{d}{d t} [28]$

Paso 2.1.2.13

Multiplica $2$ por $0.25$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0 + 0.5 (t - 4.5))) + \frac{d}{d t} [28]$

Paso 2.1.2.14

Suma $0$ y $0.5 (t - 4.5)$ .

$136 (- {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (0.5 (t - 4.5))) + \frac{d}{d t} [28]$

Paso 2.1.2.15

Multiplica $0.5$ por $- 1$ .

$136 (- 0.5 {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (t - 4.5)) + \frac{d}{d t} [28]$

Paso 2.1.2.16

Multiplica $- 0.5$ por $136$ .

$- 68 {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (t - 4.5) + \frac{d}{d t} [28]$

Paso 2.1.3

Como $28$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $28$ con respecto a $t$ es $0$ .

$- 68 {(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{- 2} (t - 4.5) + 0$

Paso 2.1.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.4.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$- 68 \frac{1}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}} (t - 4.5) + 0$

Paso 2.1.4.2

Combina los términos.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.4.2.1

Combina $- 68$ y $\frac{1}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}}$ .

$\frac{- 68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}} (t - 4.5) + 0$

Paso 2.1.4.2.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}} (t - 4.5) + 0$

Paso 2.1.4.2.3

Suma $- \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}} (t - 4.5)$ y $0$ .

$- \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}} (t - 4.5)$

Paso 2.1.4.3

Reordena los factores de $- \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}} (t - 4.5)$ .

$- (t - 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.4.4

Aplica la propiedad distributiva.

$(- t - - 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.4.5

Multiplica $- 1$ por $- 4.5$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2})}^{2}}$

Paso 2.1.4.6

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.4.6.1

Reescribe ${(t - 4.5)}^{2}$ como $(t - 4.5) (t - 4.5)$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 ((t - 4.5) (t - 4.5)))}^{2}}$

Paso 2.1.4.6.2

Expande $(t - 4.5) (t - 4.5)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.4.6.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t (t - 4.5) - 4.5 (t - 4.5)))}^{2}}$

Paso 2.1.4.6.2.2

Aplica la propiedad distributiva.

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t \cdot t + t \cdot - 4.5 - 4.5 (t - 4.5)))}^{2}}$

Paso 2.1.4.6.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t \cdot t + t \cdot - 4.5 - 4.5 t - 4.5 \cdot - 4.5))}^{2}}$

Paso 2.1.4.6.3

Simplifica y combina los términos similares.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.4.6.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.4.6.3.1.1

Multiplica $t$ por $t$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t^{2} + t \cdot - 4.5 - 4.5 t - 4.5 \cdot - 4.5))}^{2}}$

Paso 2.1.4.6.3.1.2

Mueve $- 4.5$ a la izquierda de $t$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t^{2} - 4.5 \cdot t - 4.5 t - 4.5 \cdot - 4.5))}^{2}}$

Paso 2.1.4.6.3.1.3

Multiplica $- 4.5$ por $- 4.5$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t^{2} - 4.5 t - 4.5 t + 20.25))}^{2}}$

Paso 2.1.4.6.3.2

Resta $4.5 t$ de $- 4.5 t$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 (t^{2} - 9 t + 20.25))}^{2}}$

Paso 2.1.4.6.4

Aplica la propiedad distributiva.

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 t^{2} + 0.25 (- 9 t) + 0.25 \cdot 20.25)}^{2}}$

Paso 2.1.4.6.5

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.4.6.5.1

Multiplica $- 9$ por $0.25$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 t^{2} - 2.25 t + 0.25 \cdot 20.25)}^{2}}$

Paso 2.1.4.6.5.2

Multiplica $0.25$ por $20.25$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(1 + 0.25 t^{2} - 2.25 t + 5.0625)}^{2}}$

Paso 2.1.4.6.6

Suma $1$ y $5.0625$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(0.25 t^{2} - 2.25 t + 6.0625)}^{2}}$

Paso 2.1.4.6.7

Factoriza $0.0625$ de $0.25 t^{2} - 2.25 t + 6.0625$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.4.6.7.1

Factoriza $0.0625$ de $0.25 t^{2}$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(0.0625 (4 t^{2}) - 2.25 t + 6.0625)}^{2}}$

Paso 2.1.4.6.7.2

Factoriza $0.0625$ de $- 2.25 t$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(0.0625 (4 t^{2}) + 0.0625 (- 36 t) + 6.0625)}^{2}}$

Paso 2.1.4.6.7.3

Factoriza $0.0625$ de $6.0625$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(0.0625 (4 t^{2}) + 0.0625 (- 36 t) + 0.0625 (97))}^{2}}$

Paso 2.1.4.6.7.4

Factoriza $0.0625$ de $0.0625 (4 t^{2}) + 0.0625 (- 36 t)$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(0.0625 (4 t^{2} - 36 t) + 0.0625 (97))}^{2}}$

Paso 2.1.4.6.7.5

Factoriza $0.0625$ de $0.0625 (4 t^{2} - 36 t) + 0.0625 (97)$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{(0.0625 (4 t^{2} - 36 t + 97))}^{2}}$

Paso 2.1.4.6.8

Aplica la regla del producto a $0.0625 (4 t^{2} - 36 t + 97)$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{{0.0625}^{2} {(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Paso 2.1.4.6.9

Eleva $0.0625$ a la potencia de $2$ .

$(- t + 4.5) \frac{68}{0.00390625 {(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Paso 2.1.4.7

Factoriza $68$ de $68$ .

$(- t + 4.5) \frac{68 (1)}{0.00390625 {(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Paso 2.1.4.8

Factoriza $0.00390625$ de $0.00390625 {(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}$ .

$(- t + 4.5) \frac{68 (1)}{0.00390625 ({(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2})}$

Paso 2.1.4.9

Separa las fracciones.

$(- t + 4.5) (\frac{68}{0.00390625} \cdot \frac{1}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}})$

Paso 2.1.4.10

Divide $68$ por $0.00390625$ .

$(- t + 4.5) (17408 \frac{1}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}})$

Paso 2.1.4.11

Combina $17408$ y $\frac{1}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$ .

$(- t + 4.5) \frac{17408}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Paso 2.1.4.12

Multiplica $- t + 4.5$ por $\frac{17408}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$ .

$\frac{(- t + 4.5) \cdot 17408}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Paso 2.1.4.13

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.4.13.1

Factoriza $0.5$ de $- t + 4.5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 2.1.4.13.1.1

Factoriza $0.5$ de $- t$ .

$\frac{(0.5 (- 2 t) + 4.5) \cdot 17408}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Paso 2.1.4.13.1.2

Factoriza $0.5$ de $4.5$ .

$\frac{(0.5 (- 2 t) + 0.5 (9)) \cdot 17408}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Paso 2.1.4.13.1.3

Factoriza $0.5$ de $0.5 (- 2 t) + 0.5 (9)$ .

$\frac{0.5 (- 2 t + 9) \cdot 17408}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Paso 2.1.4.13.2

Multiplica $17408$ por $0.5$ .

$\frac{8704 (- 2 t + 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Paso 2.1.4.14

Factoriza $- 1$ de $- 2 t$ .

$\frac{8704 (- (2 t) + 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Paso 2.1.4.15

Reescribe $9$ como $- 1 (- 9)$ .

$\frac{8704 (- (2 t) - 1 (- 9))}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Paso 2.1.4.16

Factoriza $- 1$ de $- (2 t) - 1 (- 9)$ .

$\frac{8704 (- (2 t - 9))}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Paso 2.1.4.17

Reescribe $- (2 t - 9)$ como $- 1 (2 t - 9)$ .

$\frac{8704 (- 1 (2 t - 9))}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Paso 2.1.4.18

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (t) = - \frac{8704 (2 t - 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Paso 2.2

La primera derivada de $f (t)$ con respecto a $t$ es $- \frac{8704 (2 t - 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$ .

$- \frac{8704 (2 t - 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$

Paso 3

Establece la primera derivada igual a $0$ , luego resuelve la ecuación $- \frac{8704 (2 t - 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}} = 0$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.1

Establece la primera derivada igual a $0$ .

$- \frac{8704 (2 t - 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}} = 0$

Paso 3.2

Establece el numerador igual a cero.

$8704 (2 t - 9) = 0$

Paso 3.3

Resuelve la ecuación en $t$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1

Divide cada término en $8704 (2 t - 9) = 0$ por $8704$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1.1

Divide cada término en $8704 (2 t - 9) = 0$ por $8704$ .

$\frac{8704 (2 t - 9)}{8704} = \frac{0}{8704}$

Paso 3.3.1.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1.2.1

Cancela el factor común de $8704$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{8704 (2 t - 9)}{8704} = \frac{0}{8704}$

Paso 3.3.1.2.1.2

Divide $2 t - 9$ por $1$ .

$2 t - 9 = \frac{0}{8704}$

Paso 3.3.1.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.1.3.1

Divide $0$ por $8704$ .

$2 t - 9 = 0$

Paso 3.3.2

Suma $9$ a ambos lados de la ecuación.

$2 t = 9$

Paso 3.3.3

Divide cada término en $2 t = 9$ por $2$ y simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.1

Divide cada término en $2 t = 9$ por $2$ .

$\frac{2 t}{2} = \frac{9}{2}$

Paso 3.3.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.3.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 t}{2} = \frac{9}{2}$

Paso 3.3.3.2.1.2

Divide $t$ por $1$ .

$t = \frac{9}{2}$

Paso 4

Los valores que hacen que la derivada sea igual a $0$ son $\frac{9}{2}$ .

$\frac{9}{2}$

Paso 5

Después de buscar el punto que hace que la derivada $f' (t) = - \frac{8704 (2 t - 9)}{{(4 t^{2} - 36 t + 97)}^{2}}$ sea igual a $0$ o indefinida, el intervalo para verificar dónde $f (t) = \frac{136}{1 + 0.25 {(t - 4.5)}^{2}} + 28$ está aumentando y dónde está disminuyendo es $(- \infty, \frac{9}{2}) \cup (\frac{9}{2}, \infty)$ .

$(- \infty, \frac{9}{2}) \cup (\frac{9}{2}, \infty)$

Paso 6

Sustituye un valor del intervalo $(- \infty, \frac{9}{2})$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.1

Reemplaza la variable $t$ con $\frac{7}{2}$ en la expresión.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{8704 (2 (\frac{7}{2}) - 9)}{{(4 {(\frac{7}{2})}^{2} - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1

Multiplica $8704$ por $2 (\frac{7}{2}) - 9$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(4 {(\frac{7}{2})}^{2} - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

Paso 6.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{7}{2}$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(4 (\frac{7^{2}}{2^{2}}) - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

Paso 6.2.2.2

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(4 (\frac{49}{2^{2}}) - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

Paso 6.2.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(4 (\frac{49}{4}) - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

Paso 6.2.2.4

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.4.1

Cancela el factor común.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(4 (\frac{49}{4}) - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

Paso 6.2.2.4.2

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(49 - 36 (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

Paso 6.2.2.5

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.5.1

Factoriza $2$ de $- 36$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(49 + 2 (- 18) (\frac{7}{2}) + 97)}^{2}}$

Paso 6.2.2.5.2

Cancela el factor común.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(49 + 2 \cdot (- 18 (\frac{7}{2})) + 97)}^{2}}$

Paso 6.2.2.5.3

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(49 - 18 \cdot 7 + 97)}^{2}}$

Paso 6.2.2.6

Multiplica $- 18$ por $7$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(49 - 126 + 97)}^{2}}$

Paso 6.2.2.7

Resta $126$ de $49$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{{(- 77 + 97)}^{2}}$

Paso 6.2.2.8

Suma $- 77$ y $97$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{20^{2}}$

Paso 6.2.2.9

Eleva $20$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 17408}{400}$

Paso 6.2.3

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.1

Cancela el factor común de $- 17408$ y $400$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.1.1

Factoriza $16$ de $- 17408$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{16 (- 1088)}{400}$

Paso 6.2.3.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.3.1.2.1

Factoriza $16$ de $400$ .

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{16 \cdot - 1088}{16 \cdot 25}$

Paso 6.2.3.1.2.2

Cancela el factor común.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{16 \cdot - 1088}{16 \cdot 25}$

Paso 6.2.3.1.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{7}{2}) = - \frac{- 1088}{25}$

Paso 6.2.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$f' (\frac{7}{2}) = \frac{1088}{25}$

Paso 6.2.4

La respuesta final es $\frac{1088}{25}$ .

$\frac{1088}{25}$

Paso 6.3

En $t = \frac{7}{2}$ la derivada es $\frac{1088}{25}$ . Dado que es positivo, la función aumenta en $(- \infty, \frac{9}{2})$ .

Incremento en $(- \infty, \frac{9}{2})$ ya que $f' (t) > 0$

Paso 7

Sustituye un valor del intervalo $(\frac{9}{2}, \infty)$ en la derivada para determinar si la función está aumentando o disminuyendo.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.1

Reemplaza la variable $t$ con $\frac{11}{2}$ en la expresión.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{8704 (2 (\frac{11}{2}) - 9)}{{(4 {(\frac{11}{2})}^{2} - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

Paso 7.2

Simplifica el resultado.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.1

Multiplica $8704$ por $2 (\frac{11}{2}) - 9$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(4 {(\frac{11}{2})}^{2} - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

Paso 7.2.2

Simplifica el denominador.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.1

Aplica la regla del producto a $\frac{11}{2}$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(4 (\frac{11^{2}}{2^{2}}) - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

Paso 7.2.2.2

Eleva $11$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(4 (\frac{121}{2^{2}}) - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

Paso 7.2.2.3

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(4 (\frac{121}{4}) - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

Paso 7.2.2.4

Cancela el factor común de $4$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.4.1

Cancela el factor común.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(4 (\frac{121}{4}) - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

Paso 7.2.2.4.2

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(121 - 36 (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

Paso 7.2.2.5

Cancela el factor común de $2$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.2.5.1

Factoriza $2$ de $- 36$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(121 + 2 (- 18) (\frac{11}{2}) + 97)}^{2}}$

Paso 7.2.2.5.2

Cancela el factor común.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(121 + 2 \cdot (- 18 (\frac{11}{2})) + 97)}^{2}}$

Paso 7.2.2.5.3

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(121 - 18 \cdot 11 + 97)}^{2}}$

Paso 7.2.2.6

Multiplica $- 18$ por $11$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(121 - 198 + 97)}^{2}}$

Paso 7.2.2.7

Resta $198$ de $121$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{{(- 77 + 97)}^{2}}$

Paso 7.2.2.8

Suma $- 77$ y $97$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{20^{2}}$

Paso 7.2.2.9

Eleva $20$ a la potencia de $2$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{17408}{400}$

Paso 7.2.3

Cancela el factor común de $17408$ y $400$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.3.1

Factoriza $16$ de $17408$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{16 (1088)}{400}$

Paso 7.2.3.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 7.2.3.2.1

Factoriza $16$ de $400$ .

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{16 \cdot 1088}{16 \cdot 25}$

Paso 7.2.3.2.2

Cancela el factor común.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{16 \cdot 1088}{16 \cdot 25}$

Paso 7.2.3.2.3

Reescribe la expresión.

$f' (\frac{11}{2}) = - \frac{1088}{25}$

Paso 7.2.4

La respuesta final es $- \frac{1088}{25}$ .

$- \frac{1088}{25}$

Paso 7.3

En $t = \frac{11}{2}$ la derivada es $- \frac{1088}{25}$ . Dado que esto es negativo, la función está disminuyendo en $(\frac{9}{2}, \infty)$ .

Decrecimiento en $(\frac{9}{2}, \infty)$ desde $f' (t) < 0$

Paso 8

Enumera los intervalos en los que la función aumenta y disminuye.

Incremento en: $(- \infty, \frac{9}{2})$

Decrecimiento en: $(\frac{9}{2}, \infty)$

Paso 9