Cálculo Ejemplos

$y = \frac{\sec (x) + \csc (x)}{\csc (x)}$

Paso 1

Esta derivada no pudo completarse mediante la regla de la cadena. Mathway usará otro método.

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = \sec (x) + \csc (x)$ y $g (x) = \csc (x)$ .

$\frac{\csc (x) \frac{d}{d x} [\sec (x) + \csc (x)] - (\sec (x) + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{\csc^{2} (x)}$

Paso 3

Según la regla de la suma, la derivada de $\sec (x) + \csc (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\csc (x)]$ .

$\frac{\csc (x) (\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\csc (x)]) - (\sec (x) + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{\csc^{2} (x)}$

Paso 4

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$\frac{\csc (x) (\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\csc (x)]) - (\sec (x) + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{\csc^{2} (x)}$

Paso 5

La derivada de $\csc (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{\csc (x) (\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x)) - (\sec (x) + \csc (x)) \frac{d}{d x} [\csc (x)]}{\csc^{2} (x)}$

Paso 6

La derivada de $\csc (x)$ con respecto a $x$ es $- \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{\csc (x) (\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x)) - (\sec (x) + \csc (x)) (- \csc (x) \cot (x))}{\csc^{2} (x)}$

Paso 7

Simplifica con la obtención del factor común.

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Paso 7.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{\csc (x) (\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x)) + 1 (\sec (x) + \csc (x)) (\csc (x) \cot (x))}{\csc^{2} (x)}$

Paso 7.2

Multiplica $\sec (x) + \csc (x)$ por $1$ .

$\frac{\csc (x) (\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x)) + (\sec (x) + \csc (x)) (\csc (x) \cot (x))}{\csc^{2} (x)}$

Paso 7.3

Factoriza $\csc (x)$ de $\csc (x) (\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x)) + (\sec (x) + \csc (x)) \csc (x) \cot (x)$ .

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Paso 7.3.1

Factoriza $\csc (x)$ de $(\sec (x) + \csc (x)) \csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{\csc (x) (\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) ((\sec (x) + \csc (x)) \cot (x))}{\csc^{2} (x)}$

Paso 7.3.2

Factoriza $\csc (x)$ de $\csc (x) (\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x)) + \csc (x) ((\sec (x) + \csc (x)) \cot (x))$ .

$\frac{\csc (x) (\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x) + (\sec (x) + \csc (x)) \cot (x))}{\csc^{2} (x)}$

Paso 8

Cancela los factores comunes.

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Paso 8.1

Factoriza $\csc (x)$ de $\csc^{2} (x)$ .

$\frac{\csc (x) (\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x) + (\sec (x) + \csc (x)) \cot (x))}{\csc (x) \csc (x)}$

Paso 8.2

Cancela el factor común.

$\frac{\csc (x) (\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x) + (\sec (x) + \csc (x)) \cot (x))}{\csc (x) \csc (x)}$

Paso 8.3

Reescribe la expresión.

$\frac{\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x) + (\sec (x) + \csc (x)) \cot (x)}{\csc (x)}$

Paso 9

Simplifica.

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Paso 9.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x) + \sec (x) \cot (x) + \csc (x) \cot (x)}{\csc (x)}$

Paso 9.2

Simplifica el numerador.

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Paso 9.2.1

Combina los términos opuestos en $\sec (x) \tan (x) - \csc (x) \cot (x) + \sec (x) \cot (x) + \csc (x) \cot (x)$ .

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Paso 9.2.1.1

Suma $- \csc (x) \cot (x)$ y $\csc (x) \cot (x)$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cot (x) + 0}{\csc (x)}$

Paso 9.2.1.2

Suma $\sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cot (x)$ y $0$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \sec (x) \cot (x)}{\csc (x)}$

Paso 9.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 9.2.2.1

Reescribe en términos de senos y cosenos, luego, cancela los factores comunes.

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Paso 9.2.2.1.1

Reordena $\sec (x)$ y $\cot (x)$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \cot (x) \sec (x)}{\csc (x)}$

Paso 9.2.2.1.2

Reescribe $\sec (x) \cot (x)$ en términos de senos y cosenos.

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1}{\cos (x)}}{\csc (x)}$

Paso 9.2.2.1.3

Cancela los factores comunes.

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \frac{1}{\sin (x)}}{\csc (x)}$

Paso 9.2.2.2

Convierte de $\frac{1}{\sin (x)}$ a $\csc (x)$ .

$\frac{\sec (x) \tan (x) + \csc (x)}{\csc (x)}$