Cálculo Ejemplos

$y = \frac{4 x^{2}}{{(7 - 5 x)}^{3}}$

Paso 1

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{4 x^{2}}{{(7 - 5 x)}^{3}}$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(7 - 5 x)}^{3}}]$ .

$4 \frac{d}{d x} [\frac{x^{2}}{{(7 - 5 x)}^{3}}]$

Paso 2

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = {(7 - 5 x)}^{3}$ .

$4 \frac{{(7 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(7 - 5 x)}^{3}]}{{({(7 - 5 x)}^{3})}^{2}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 3.1

Multiplica los exponentes en ${({(7 - 5 x)}^{3})}^{2}$ .

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Paso 3.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$4 \frac{{(7 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(7 - 5 x)}^{3}]}{{(7 - 5 x)}^{3 \cdot 2}}$

Paso 3.1.2

Multiplica $3$ por $2$ .

$4 \frac{{(7 - 5 x)}^{3} \frac{d}{d x} [x^{2}] - x^{2} \frac{d}{d x} [{(7 - 5 x)}^{3}]}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$4 \frac{{(7 - 5 x)}^{3} (2 x) - x^{2} \frac{d}{d x} [{(7 - 5 x)}^{3}]}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 3.3

Mueve $2$ a la izquierda de ${(7 - 5 x)}^{3}$ .

$4 \frac{2 \cdot {(7 - 5 x)}^{3} x - x^{2} \frac{d}{d x} [{(7 - 5 x)}^{3}]}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{3}$ y $g (x) = 7 - 5 x$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $7 - 5 x$ .

$4 \frac{2 {(7 - 5 x)}^{3} x - x^{2} (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [7 - 5 x])}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$4 \frac{2 {(7 - 5 x)}^{3} x - x^{2} (3 u^{2} \frac{d}{d x} [7 - 5 x])}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $7 - 5 x$ .

$4 \frac{2 {(7 - 5 x)}^{3} x - x^{2} (3 {(7 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [7 - 5 x])}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 5

Diferencia.

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Paso 5.1

Multiplica $3$ por $- 1$ .

$4 \frac{2 {(7 - 5 x)}^{3} x - 3 x^{2} ({(7 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [7 - 5 x])}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 5.2

Según la regla de la suma, la derivada de $7 - 5 x$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$4 \frac{2 {(7 - 5 x)}^{3} x - 3 x^{2} ({(7 - 5 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [7] + \frac{d}{d x} [- 5 x]))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 5.3

Como $7$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $7$ con respecto a $x$ es $0$ .

$4 \frac{2 {(7 - 5 x)}^{3} x - 3 x^{2} ({(7 - 5 x)}^{2} (0 + \frac{d}{d x} [- 5 x]))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 5.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d x} [- 5 x]$ .

$4 \frac{2 {(7 - 5 x)}^{3} x - 3 x^{2} ({(7 - 5 x)}^{2} \frac{d}{d x} [- 5 x])}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 5.5

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5 x$ con respecto a $x$ es $- 5 \frac{d}{d x} [x]$ .

$4 \frac{2 {(7 - 5 x)}^{3} x - 3 x^{2} ({(7 - 5 x)}^{2} (- 5 \frac{d}{d x} [x]))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 5.6

Multiplica $- 5$ por $- 3$ .

$4 \frac{2 {(7 - 5 x)}^{3} x + 15 x^{2} ({(7 - 5 x)}^{2} (\frac{d}{d x} [x]))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 5.7

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$4 \frac{2 {(7 - 5 x)}^{3} x + 15 x^{2} ({(7 - 5 x)}^{2} \cdot 1)}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 5.8

Combina fracciones.

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Paso 5.8.1

Multiplica ${(7 - 5 x)}^{2}$ por $1$ .

$4 \frac{2 {(7 - 5 x)}^{3} x + 15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2}}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 5.8.2

Combina $4$ y $\frac{2 {(7 - 5 x)}^{3} x + 15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2}}{{(7 - 5 x)}^{6}}$ .

$\frac{4 (2 {(7 - 5 x)}^{3} x + 15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6

Simplifica.

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Paso 6.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (2 {(7 - 5 x)}^{3} x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2

Simplifica el numerador.

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Paso 6.2.1

Usa el teorema del binomio.

$\frac{4 (2 (7^{3} + 3 \cdot 7^{2} (- 5 x) + 3 \cdot 7 {(- 5 x)}^{2} + {(- 5 x)}^{3}) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.2.1

Eleva $7$ a la potencia de $3$ .

$\frac{4 (2 (343 + 3 \cdot 7^{2} (- 5 x) + 3 \cdot 7 {(- 5 x)}^{2} + {(- 5 x)}^{3}) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.2.2

Eleva $7$ a la potencia de $2$ .

$\frac{4 (2 (343 + 3 \cdot 49 (- 5 x) + 3 \cdot 7 {(- 5 x)}^{2} + {(- 5 x)}^{3}) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.2.3

Multiplica $3$ por $49$ .

$\frac{4 (2 (343 + 147 (- 5 x) + 3 \cdot 7 {(- 5 x)}^{2} + {(- 5 x)}^{3}) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.2.4

Multiplica $- 5$ por $147$ .

$\frac{4 (2 (343 - 735 x + 3 \cdot 7 {(- 5 x)}^{2} + {(- 5 x)}^{3}) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.2.5

Multiplica $3$ por $7$ .

$\frac{4 (2 (343 - 735 x + 21 {(- 5 x)}^{2} + {(- 5 x)}^{3}) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.2.6

Aplica la regla del producto a $- 5 x$ .

$\frac{4 (2 (343 - 735 x + 21 ({(- 5)}^{2} x^{2}) + {(- 5 x)}^{3}) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.2.7

Eleva $- 5$ a la potencia de $2$ .

$\frac{4 (2 (343 - 735 x + 21 (25 x^{2}) + {(- 5 x)}^{3}) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.2.8

Multiplica $25$ por $21$ .

$\frac{4 (2 (343 - 735 x + 525 x^{2} + {(- 5 x)}^{3}) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.2.9

Aplica la regla del producto a $- 5 x$ .

$\frac{4 (2 (343 - 735 x + 525 x^{2} + {(- 5)}^{3} x^{3}) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.2.10

Eleva $- 5$ a la potencia de $3$ .

$\frac{4 (2 (343 - 735 x + 525 x^{2} - 125 x^{3}) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 ((2 \cdot 343 + 2 (- 735 x) + 2 (525 x^{2}) + 2 (- 125 x^{3})) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.4

Simplifica.

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Paso 6.2.4.1

Multiplica $2$ por $343$ .

$\frac{4 ((686 + 2 (- 735 x) + 2 (525 x^{2}) + 2 (- 125 x^{3})) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.4.2

Multiplica $- 735$ por $2$ .

$\frac{4 ((686 - 1470 x + 2 (525 x^{2}) + 2 (- 125 x^{3})) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.4.3

Multiplica $525$ por $2$ .

$\frac{4 ((686 - 1470 x + 1050 x^{2} + 2 (- 125 x^{3})) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.4.4

Multiplica $- 125$ por $2$ .

$\frac{4 ((686 - 1470 x + 1050 x^{2} - 250 x^{3}) x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.5

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (686 x - 1470 x \cdot x + 1050 x^{2} x - 250 x^{3} x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.6

Simplifica.

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Paso 6.2.6.1

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.6.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{4 (686 x - 1470 (x \cdot x) + 1050 x^{2} x - 250 x^{3} x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.6.1.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{4 (686 x - 1470 x^{2} + 1050 x^{2} x - 250 x^{3} x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.6.2

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.6.2.1

Mueve $x$ .

$\frac{4 (686 x - 1470 x^{2} + 1050 (x \cdot x^{2}) - 250 x^{3} x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.6.2.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 6.2.6.2.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 (686 x - 1470 x^{2} + 1050 (x^{1} x^{2}) - 250 x^{3} x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.6.2.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 (686 x - 1470 x^{2} + 1050 x^{1 + 2} - 250 x^{3} x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.6.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{4 (686 x - 1470 x^{2} + 1050 x^{3} - 250 x^{3} x) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.6.3

Multiplica $x^{3}$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.6.3.1

Mueve $x$ .

$\frac{4 (686 x - 1470 x^{2} + 1050 x^{3} - 250 (x \cdot x^{3})) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.6.3.2

Multiplica $x$ por $x^{3}$ .

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Paso 6.2.6.3.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 (686 x - 1470 x^{2} + 1050 x^{3} - 250 (x^{1} x^{3})) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.6.3.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 (686 x - 1470 x^{2} + 1050 x^{3} - 250 x^{1 + 3}) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.6.3.3

Suma $1$ y $3$ .

$\frac{4 (686 x - 1470 x^{2} + 1050 x^{3} - 250 x^{4}) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.7

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 (686 x) + 4 (- 1470 x^{2}) + 4 (1050 x^{3}) + 4 (- 250 x^{4}) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.8

Simplifica.

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Paso 6.2.8.1

Multiplica $686$ por $4$ .

$\frac{2744 x + 4 (- 1470 x^{2}) + 4 (1050 x^{3}) + 4 (- 250 x^{4}) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.8.2

Multiplica $- 1470$ por $4$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4 (1050 x^{3}) + 4 (- 250 x^{4}) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.8.3

Multiplica $1050$ por $4$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} + 4 (- 250 x^{4}) + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.8.4

Multiplica $- 250$ por $4$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} {(7 - 5 x)}^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.9

Reescribe ${(7 - 5 x)}^{2}$ como $(7 - 5 x) (7 - 5 x)$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} ((7 - 5 x) (7 - 5 x)))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.10

Expande $(7 - 5 x) (7 - 5 x)$ con el método PEIU (primero, exterior, interior, ultimo).

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Paso 6.2.10.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} (7 (7 - 5 x) - 5 x (7 - 5 x)))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.10.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} (7 \cdot 7 + 7 (- 5 x) - 5 x (7 - 5 x)))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.10.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} (7 \cdot 7 + 7 (- 5 x) - 5 x \cdot 7 - 5 x (- 5 x)))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.11

Simplifica y combina los términos similares.

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Paso 6.2.11.1

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.11.1.1

Multiplica $7$ por $7$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} (49 + 7 (- 5 x) - 5 x \cdot 7 - 5 x (- 5 x)))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.11.1.2

Multiplica $- 5$ por $7$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} (49 - 35 x - 5 x \cdot 7 - 5 x (- 5 x)))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.11.1.3

Multiplica $7$ por $- 5$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} (49 - 35 x - 35 x - 5 x (- 5 x)))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.11.1.4

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} (49 - 35 x - 35 x - 5 \cdot - 5 x \cdot x))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.11.1.5

Multiplica $x$ por $x$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.11.1.5.1

Mueve $x$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} (49 - 35 x - 35 x - 5 \cdot - 5 (x \cdot x)))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.11.1.5.2

Multiplica $x$ por $x$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} (49 - 35 x - 35 x - 5 \cdot - 5 x^{2}))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.11.1.6

Multiplica $- 5$ por $- 5$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} (49 - 35 x - 35 x + 25 x^{2}))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.11.2

Resta $35 x$ de $- 35 x$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} (49 - 70 x + 25 x^{2}))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.12

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (15 x^{2} \cdot 49 + 15 x^{2} (- 70 x) + 15 x^{2} (25 x^{2}))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.13

Simplifica.

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Paso 6.2.13.1

Multiplica $49$ por $15$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2} + 15 x^{2} (- 70 x) + 15 x^{2} (25 x^{2}))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.13.2

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2} + 15 \cdot - 70 x^{2} x + 15 x^{2} (25 x^{2}))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.13.3

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2} + 15 \cdot - 70 x^{2} x + 15 \cdot 25 x^{2} x^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.14

Simplifica cada término.

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Paso 6.2.14.1

Multiplica $x^{2}$ por $x$ sumando los exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.14.1.1

Mueve $x$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2} + 15 \cdot - 70 (x \cdot x^{2}) + 15 \cdot 25 x^{2} x^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.14.1.2

Multiplica $x$ por $x^{2}$ .

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Paso 6.2.14.1.2.1

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2} + 15 \cdot - 70 (x^{1} x^{2}) + 15 \cdot 25 x^{2} x^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.14.1.2.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2} + 15 \cdot - 70 x^{1 + 2} + 15 \cdot 25 x^{2} x^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.14.1.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2} + 15 \cdot - 70 x^{3} + 15 \cdot 25 x^{2} x^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.14.2

Multiplica $15$ por $- 70$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2} - 1050 x^{3} + 15 \cdot 25 x^{2} x^{2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.14.3

Multiplica $x^{2}$ por $x^{2}$ sumando los exponentes.

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Paso 6.2.14.3.1

Mueve $x^{2}$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2} - 1050 x^{3} + 15 \cdot 25 (x^{2} x^{2}))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.14.3.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2} - 1050 x^{3} + 15 \cdot 25 x^{2 + 2})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.14.3.3

Suma $2$ y $2$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2} - 1050 x^{3} + 15 \cdot 25 x^{4})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.14.4

Multiplica $15$ por $25$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2} - 1050 x^{3} + 375 x^{4})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.15

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 4 (735 x^{2}) + 4 (- 1050 x^{3}) + 4 (375 x^{4})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.16

Simplifica.

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Paso 6.2.16.1

Multiplica $735$ por $4$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 2940 x^{2} + 4 (- 1050 x^{3}) + 4 (375 x^{4})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.16.2

Multiplica $- 1050$ por $4$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 2940 x^{2} - 4200 x^{3} + 4 (375 x^{4})}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.16.3

Multiplica $375$ por $4$ .

$\frac{2744 x - 5880 x^{2} + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} + 2940 x^{2} - 4200 x^{3} + 1500 x^{4}}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.17

Suma $- 5880 x^{2}$ y $2940 x^{2}$ .

$\frac{2744 x + 4200 x^{3} - 1000 x^{4} - 2940 x^{2} - 4200 x^{3} + 1500 x^{4}}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.18

Resta $4200 x^{3}$ de $4200 x^{3}$ .

$\frac{2744 x - 1000 x^{4} - 2940 x^{2} + 0 + 1500 x^{4}}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.19

Suma $2744 x$ y $0$ .

$\frac{- 1000 x^{4} - 2940 x^{2} + 2744 x + 1500 x^{4}}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.20

Suma $- 1000 x^{4}$ y $1500 x^{4}$ .

$\frac{500 x^{4} - 2940 x^{2} + 2744 x}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.21

Reescribe $500 x^{4} - 2940 x^{2} + 2744 x$ en forma factorizada.

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Paso 6.2.21.1

Factoriza $4 x$ de $500 x^{4} - 2940 x^{2} + 2744 x$ .

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Paso 6.2.21.1.1

Factoriza $4 x$ de $500 x^{4}$ .

$\frac{4 x (125 x^{3}) - 2940 x^{2} + 2744 x}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.21.1.2

Factoriza $4 x$ de $- 2940 x^{2}$ .

$\frac{4 x (125 x^{3}) + 4 x (- 735 x) + 2744 x}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.21.1.3

Factoriza $4 x$ de $2744 x$ .

$\frac{4 x (125 x^{3}) + 4 x (- 735 x) + 4 x (686)}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.21.1.4

Factoriza $4 x$ de $4 x (125 x^{3}) + 4 x (- 735 x)$ .

$\frac{4 x (125 x^{3} - 735 x) + 4 x (686)}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.21.1.5

Factoriza $4 x$ de $4 x (125 x^{3} - 735 x) + 4 x (686)$ .

$\frac{4 x (125 x^{3} - 735 x + 686)}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.21.2

Factoriza $125 x^{3} - 735 x + 686$ mediante la prueba de raíces racionales.

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Paso 6.2.21.2.1

Si una función polinomial tiene coeficientes enteros, entonces todo cero racional tendrá la forma $\frac{p}{q}$ , donde $p$ es un factor de la constante y $q$ es un factor del coeficiente principal.

$p = \pm 1, \pm 686, \pm 2, \pm 343, \pm 7, \pm 98, \pm 14, \pm 49$

$q = \pm 1, \pm 125, \pm 5, \pm 25$

Paso 6.2.21.2.2

Obtén todas las combinaciones de $\pm \frac{p}{q}$ . Estas son las posibles raíces de la función polinomial.

$\pm 1, \pm 0.008, \pm 0.2, \pm 0.04, \pm 686, \pm 5.488, \pm 137.2, \pm 27.44, \pm 2, \pm 0.016, \pm 0.4, \pm 0.08, \pm 343, \pm 2.744, \pm 68.6, \pm 13.72, \pm 7, \pm 0.056, \pm 1.4, \pm 0.28, \pm 98, \pm 0.784, \pm 19.6, \pm 3.92, \pm 14, \pm 0.112, \pm 2.8, \pm 0.56, \pm 49, \pm 0.392, \pm 9.8, \pm 1.96$

Paso 6.2.21.2.3

Sustituye $1.4$ y simplifica la expresión. En este caso, la expresión es igual a $0$ , por lo que $1.4$ es una raíz del polinomio.

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Paso 6.2.21.2.3.1

Sustituye $1.4$ en el polinomio.

$125 \cdot {1.4}^{3} - 735 \cdot 1.4 + 686$

Paso 6.2.21.2.3.2

Eleva $1.4$ a la potencia de $3$ .

$125 \cdot 2.744 - 735 \cdot 1.4 + 686$

Paso 6.2.21.2.3.3

Multiplica $125$ por $2.744$ .

$343 - 735 \cdot 1.4 + 686$

Paso 6.2.21.2.3.4

Multiplica $- 735$ por $1.4$ .

$343 - 1029 + 686$

Paso 6.2.21.2.3.5

Resta $1029$ de $343$ .

$- 686 + 686$

Paso 6.2.21.2.3.6

Suma $- 686$ y $686$ .

$0$

Paso 6.2.21.2.4

Como $1.4$ es una raíz conocida, divide el polinomio por $5 x - 7$ para obtener el polinomio del cociente. Este polinomio luego se puede usar para obtener las raíces restantes.

$\frac{125 x^{3} - 735 x + 686}{5 x - 7}$

Paso 6.2.21.2.5

Divide $125 x^{3} - 735 x + 686$ por $5 x - 7$ .

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Paso 6.2.21.2.5.1

Establece los polinomios que se dividirán. Si no hay un término para cada exponente, inserta uno con un valor de $0$ .

$5 x$

$7$

$125 x^{3}$

$0 x^{2}$

$735 x$

$686$

Paso 6.2.21.2.5.2

Divide el término de mayor orden en el dividendo $125 x^{3}$ por el término de mayor orden en el divisor $5 x$ .

					$25 x^{2}$
	$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$

Paso 6.2.21.2.5.3

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$25 x^{2}$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			+	$125 x^{3}$	-	$175 x^{2}$

Paso 6.2.21.2.5.4

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $125 x^{3} - 175 x^{2}$ .

				$25 x^{2}$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			-	$125 x^{3}$	+	$175 x^{2}$

Paso 6.2.21.2.5.5

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$25 x^{2}$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			-	$125 x^{3}$	+	$175 x^{2}$
					+	$175 x^{2}$

Paso 6.2.21.2.5.6

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$25 x^{2}$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			-	$125 x^{3}$	+	$175 x^{2}$
					+	$175 x^{2}$	-	$735 x$

Paso 6.2.21.2.5.7

Divide el término de mayor orden en el dividendo $175 x^{2}$ por el término de mayor orden en el divisor $5 x$ .

				$25 x^{2}$	+	$35 x$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			-	$125 x^{3}$	+	$175 x^{2}$
					+	$175 x^{2}$	-	$735 x$

Paso 6.2.21.2.5.8

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$25 x^{2}$	+	$35 x$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			-	$125 x^{3}$	+	$175 x^{2}$
					+	$175 x^{2}$	-	$735 x$
					+	$175 x^{2}$	-	$245 x$

Paso 6.2.21.2.5.9

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $175 x^{2} - 245 x$ .

				$25 x^{2}$	+	$35 x$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			-	$125 x^{3}$	+	$175 x^{2}$
					+	$175 x^{2}$	-	$735 x$
					-	$175 x^{2}$	+	$245 x$

Paso 6.2.21.2.5.10

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$25 x^{2}$	+	$35 x$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			-	$125 x^{3}$	+	$175 x^{2}$
					+	$175 x^{2}$	-	$735 x$
					-	$175 x^{2}$	+	$245 x$
							-	$490 x$

Paso 6.2.21.2.5.11

Retira los próximos términos del dividendo original hacia el dividendo actual.

				$25 x^{2}$	+	$35 x$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			-	$125 x^{3}$	+	$175 x^{2}$
					+	$175 x^{2}$	-	$735 x$
					-	$175 x^{2}$	+	$245 x$
							-	$490 x$	+	$686$

Paso 6.2.21.2.5.12

Divide el término de mayor orden en el dividendo $- 490 x$ por el término de mayor orden en el divisor $5 x$ .

				$25 x^{2}$	+	$35 x$	-	$98$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			-	$125 x^{3}$	+	$175 x^{2}$
					+	$175 x^{2}$	-	$735 x$
					-	$175 x^{2}$	+	$245 x$
							-	$490 x$	+	$686$

Paso 6.2.21.2.5.13

Multiplica el nuevo término del cociente por el divisor.

				$25 x^{2}$	+	$35 x$	-	$98$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			-	$125 x^{3}$	+	$175 x^{2}$
					+	$175 x^{2}$	-	$735 x$
					-	$175 x^{2}$	+	$245 x$
							-	$490 x$	+	$686$
							-	$490 x$	+	$686$

Paso 6.2.21.2.5.14

La expresión debe restarse del dividendo, así es que cambia todos los signos en $- 490 x + 686$ .

				$25 x^{2}$	+	$35 x$	-	$98$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			-	$125 x^{3}$	+	$175 x^{2}$
					+	$175 x^{2}$	-	$735 x$
					-	$175 x^{2}$	+	$245 x$
							-	$490 x$	+	$686$
							+	$490 x$	-	$686$

Paso 6.2.21.2.5.15

Después de cambiar los signos, agrega el último dividendo del polinomio multiplicado para buscar el nuevo dividendo.

				$25 x^{2}$	+	$35 x$	-	$98$
$5 x$	-	$7$		$125 x^{3}$	+	$0 x^{2}$	-	$735 x$	+	$686$
			-	$125 x^{3}$	+	$175 x^{2}$
					+	$175 x^{2}$	-	$735 x$
					-	$175 x^{2}$	+	$245 x$
							-	$490 x$	+	$686$
							+	$490 x$	-	$686$
										$0$

Paso 6.2.21.2.5.16

Como el resto es $0$ , la respuesta final es el cociente.

$25 x^{2} + 35 x - 98$

Paso 6.2.21.2.6

Escribe $125 x^{3} - 735 x + 686$ como un conjunto de factores.

$\frac{4 x ((5 x - 7) (25 x^{2} + 35 x - 98))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.21.3

Factoriza por agrupación.

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Paso 6.2.21.3.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 25 \cdot - 98 = - 2450$ y cuya suma es $b = 35$ .

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Paso 6.2.21.3.1.1

Factoriza $35$ de $35 x$ .

$\frac{4 x ((5 x - 7) (25 x^{2} + 35 (x) - 98))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.21.3.1.2

Reescribe $35$ como $- 35$ más $70$

$\frac{4 x ((5 x - 7) (25 x^{2} + (- 35 + 70) x - 98))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.21.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x ((5 x - 7) (25 x^{2} - 35 x + 70 x - 98))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.21.3.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 6.2.21.3.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$\frac{4 x ((5 x - 7) ((25 x^{2} - 35 x) + 70 x - 98))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.21.3.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$\frac{4 x ((5 x - 7) (5 x (5 x - 7) + 14 (5 x - 7)))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.21.3.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $5 x - 7$ .

$\frac{4 x ((5 x - 7) ((5 x - 7) (5 x + 14)))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

$\frac{4 x ((5 x - 7) (5 x - 7) (5 x + 14))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.21.4

Combina factores semejantes.

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Paso 6.2.21.4.1

Eleva $5 x - 7$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 x ({(5 x - 7)}^{1} (5 x - 7) (5 x + 14))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.21.4.2

Eleva $5 x - 7$ a la potencia de $1$ .

$\frac{4 x ({(5 x - 7)}^{1} {(5 x - 7)}^{1} (5 x + 14))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.21.4.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{4 x ({(5 x - 7)}^{1 + 1} (5 x + 14))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.2.21.4.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{4 x ({(5 x - 7)}^{2} (5 x + 14))}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

$\frac{4 x {(5 x - 7)}^{2} (5 x + 14)}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.3

Cancela el factor común de ${(5 x - 7)}^{2}$ y ${(7 - 5 x)}^{6}$ .

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Paso 6.3.1

Factoriza $- 1$ de $5 x$ .

$\frac{4 x {(- (- 5 x) - 7)}^{2} (5 x + 14)}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.3.2

Reescribe $- 7$ como $- 1 (7)$ .

$\frac{4 x {(- (- 5 x) - 1 (7))}^{2} (5 x + 14)}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.3.3

Factoriza $- 1$ de $- (- 5 x) - 1 (7)$ .

$\frac{4 x {(- (- 5 x + 7))}^{2} (5 x + 14)}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.3.4

Reescribe $- (- 5 x + 7)$ como $- 1 (- 5 x + 7)$ .

$\frac{4 x {(- 1 (- 5 x + 7))}^{2} (5 x + 14)}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.3.5

Aplica la regla del producto a $- 1 (- 5 x + 7)$ .

$\frac{4 x ({(- 1)}^{2} {(- 5 x + 7)}^{2}) (5 x + 14)}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.3.6

Eleva $- 1$ a la potencia de $2$ .

$\frac{4 x (1 {(- 5 x + 7)}^{2}) (5 x + 14)}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.3.7

Multiplica ${(- 5 x + 7)}^{2}$ por $1$ .

$\frac{4 x {(- 5 x + 7)}^{2} (5 x + 14)}{{(7 - 5 x)}^{6}}$

Paso 6.3.8

Reordena los términos.

$\frac{4 x {(- 5 x + 7)}^{2} (5 x + 14)}{{(- 5 x + 7)}^{6}}$

Paso 6.3.9

Factoriza ${(- 5 x + 7)}^{2}$ de $4 x {(- 5 x + 7)}^{2} (5 x + 14)$ .

$\frac{{(- 5 x + 7)}^{2} (4 x (5 x + 14))}{{(- 5 x + 7)}^{6}}$

Paso 6.3.10

Cancela los factores comunes.

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Paso 6.3.10.1

Factoriza ${(- 5 x + 7)}^{2}$ de ${(- 5 x + 7)}^{6}$ .

$\frac{{(- 5 x + 7)}^{2} (4 x (5 x + 14))}{{(- 5 x + 7)}^{2} {(- 5 x + 7)}^{4}}$

Paso 6.3.10.2

Cancela el factor común.

$\frac{{(- 5 x + 7)}^{2} (4 x (5 x + 14))}{{(- 5 x + 7)}^{2} {(- 5 x + 7)}^{4}}$

Paso 6.3.10.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 x (5 x + 14)}{{(- 5 x + 7)}^{4}}$