Cálculo Ejemplos

${(2 x + e^{- z^{2}})}^{3}$

Paso 1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ es $f' (g (z)) g' (z)$ donde $f (z) = z^{3}$ y $g (z) = 2 x + e^{- z^{2}}$ .

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Paso 1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $2 x + e^{- z^{2}}$ .

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{3}] \frac{d}{d z} [2 x + e^{- z^{2}}]$

Paso 1.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$3 {u_{1}}^{2} \frac{d}{d z} [2 x + e^{- z^{2}}]$

Paso 1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $2 x + e^{- z^{2}}$ .

$3 {(2 x + e^{- z^{2}})}^{2} \frac{d}{d z} [2 x + e^{- z^{2}}]$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $2 x + e^{- z^{2}}$ con respecto a $z$ es $\frac{d}{d z} [2 x] + \frac{d}{d z} [e^{- z^{2}}]$ .

$3 {(2 x + e^{- z^{2}})}^{2} (\frac{d}{d z} [2 x] + \frac{d}{d z} [e^{- z^{2}}])$

Paso 2.2

Como $2 x$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $2 x$ con respecto a $z$ es $0$ .

$3 {(2 x + e^{- z^{2}})}^{2} (0 + \frac{d}{d z} [e^{- z^{2}}])$

Paso 3

Evalúa $\frac{d}{d z} [e^{- z^{2}}]$ .

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Paso 3.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d z} [f (g (z))]$ es $f' (g (z)) g' (z)$ donde $f (z) = e^{z}$ y $g (z) = - z^{2}$ .

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Paso 3.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $- z^{2}$ .

$3 {(2 x + e^{- z^{2}})}^{2} (0 + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d z} [- z^{2}])$

Paso 3.1.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ es $a^{u_{2}} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$3 {(2 x + e^{- z^{2}})}^{2} (0 + e^{u_{2}} \frac{d}{d z} [- z^{2}])$

Paso 3.1.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $- z^{2}$ .

$3 {(2 x + e^{- z^{2}})}^{2} (0 + e^{- z^{2}} \frac{d}{d z} [- z^{2}])$

Paso 3.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $z$ , la derivada de $- z^{2}$ con respecto a $z$ es $- \frac{d}{d z} [z^{2}]$ .

$3 {(2 x + e^{- z^{2}})}^{2} (0 + e^{- z^{2}} (- \frac{d}{d z} [z^{2}]))$

Paso 3.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d z} [z^{n}]$ es $n z^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 {(2 x + e^{- z^{2}})}^{2} (0 + e^{- z^{2}} (- (2 z)))$

Paso 3.4

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$3 {(2 x + e^{- z^{2}})}^{2} (0 + e^{- z^{2}} (- 2 z))$

Paso 4

Simplifica.

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Paso 4.1

Suma $0$ y $e^{- z^{2}} (- 2 z)$ .

$3 {(2 x + e^{- z^{2}})}^{2} (e^{- z^{2}} (- 2 z))$

Paso 4.2

Reordena los factores de $e^{- z^{2}} (- 2 z)$ .

$3 {(2 x + e^{- z^{2}})}^{2} (- 2 e^{- z^{2}} z)$

Paso 4.3

Reordena los factores en $- 2 e^{- z^{2}} z$ .

$3 {(2 x + e^{- z^{2}})}^{2} (- 2 z e^{- z^{2}})$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$- 6 {(2 x + e^{- z^{2}})}^{2} (z e^{- z^{2}})$

Paso 5.2

Reordena los factores de $- 6 {(2 x + e^{- z^{2}})}^{2} (z e^{- z^{2}})$ .

$- 6 e^{- z^{2}} z {(2 x + e^{- z^{2}})}^{2}$