Cálculo Ejemplos

$y = 5 \cot^{2} (\sin (t))$

Paso 1

Como $5$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $5 \cot^{2} (\sin (t))$ con respecto a $t$ es $5 \frac{d}{d t} [\cot^{2} (\sin (t))]$ .

$5 \frac{d}{d t} [\cot^{2} (\sin (t))]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{2}$ y $g (t) = \cot (\sin (t))$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $\cot (\sin (t))$ .

$5 (\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d t} [\cot (\sin (t))])$

Paso 2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ es $n {u_{1}}^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$5 (2 u_{1} \frac{d}{d t} [\cot (\sin (t))])$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $\cot (\sin (t))$ .

$5 (2 \cot (\sin (t)) \frac{d}{d t} [\cot (\sin (t))])$

Paso 3

Multiplica $2$ por $5$ .

$10 (\cot (\sin (t)) \frac{d}{d t} [\cot (\sin (t))])$

Paso 4

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \cot (t)$ y $g (t) = \sin (t)$ .

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Paso 4.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $\sin (t)$ .

$10 \cot (\sin (t)) (\frac{d}{d u_{2}} [\cot (u_{2})] \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Paso 4.2

La derivada de $\cot (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $- \csc^{2} (u_{2})$ .

$10 \cot (\sin (t)) (- \csc^{2} (u_{2}) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Paso 4.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $\sin (t)$ .

$10 \cot (\sin (t)) (- \csc^{2} (\sin (t)) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Paso 5

Multiplica $- 1$ por $10$ .

$- 10 \cot (\sin (t)) (\csc^{2} (\sin (t)) \frac{d}{d t} [\sin (t)])$

Paso 6

La derivada de $\sin (t)$ con respecto a $t$ es $\cos (t)$ .

$- 10 \cot (\sin (t)) \csc^{2} (\sin (t)) \cos (t)$

Paso 7

Simplifica.

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Paso 7.1

Reordena los factores de $- 10 \cot (\sin (t)) \csc^{2} (\sin (t)) \cos (t)$ .

$- 10 \csc^{2} (\sin (t)) \cos (t) \cot (\sin (t))$

Paso 7.2

Reescribe $\csc (\sin (t))$ en términos de senos y cosenos.

$- 10 {(\frac{1}{\sin (\sin (t))})}^{2} \cos (t) \cot (\sin (t))$

Paso 7.3

Aplica la regla del producto a $\frac{1}{\sin (\sin (t))}$ .

$- 10 \frac{1^{2}}{\sin^{2} (\sin (t))} \cos (t) \cot (\sin (t))$

Paso 7.4

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$- 10 \frac{1}{\sin^{2} (\sin (t))} \cos (t) \cot (\sin (t))$

Paso 7.5

Combina $- 10$ y $\frac{1}{\sin^{2} (\sin (t))}$ .

$\frac{- 10}{\sin^{2} (\sin (t))} \cos (t) \cot (\sin (t))$

Paso 7.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{10}{\sin^{2} (\sin (t))} \cos (t) \cot (\sin (t))$

Paso 7.7

Combina $\cos (t)$ y $\frac{10}{\sin^{2} (\sin (t))}$ .

$- \frac{\cos (t) \cdot 10}{\sin^{2} (\sin (t))} \cot (\sin (t))$

Paso 7.8

Mueve $10$ a la izquierda de $\cos (t)$ .

$- \frac{10 \cdot \cos (t)}{\sin^{2} (\sin (t))} \cot (\sin (t))$

Paso 7.9

Reescribe $\cot (\sin (t))$ en términos de senos y cosenos.

$- \frac{10 \cos (t)}{\sin^{2} (\sin (t))} \cdot \frac{\cos (\sin (t))}{\sin (\sin (t))}$

Paso 7.10

Multiplica $- \frac{10 \cos (t)}{\sin^{2} (\sin (t))} \cdot \frac{\cos (\sin (t))}{\sin (\sin (t))}$ .

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Paso 7.10.1

Multiplica $\frac{\cos (\sin (t))}{\sin (\sin (t))}$ por $\frac{10 \cos (t)}{\sin^{2} (\sin (t))}$ .

$- \frac{\cos (\sin (t)) (10 \cos (t))}{\sin (\sin (t)) \sin^{2} (\sin (t))}$

Paso 7.10.2

Multiplica $\sin (\sin (t))$ por $\sin^{2} (\sin (t))$ sumando los exponentes.

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Paso 7.10.2.1

Multiplica $\sin (\sin (t))$ por $\sin^{2} (\sin (t))$ .

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Paso 7.10.2.1.1

Eleva $\sin (\sin (t))$ a la potencia de $1$ .

$- \frac{\cos (\sin (t)) (10 \cos (t))}{\sin^{1} (\sin (t)) \sin^{2} (\sin (t))}$

Paso 7.10.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- \frac{\cos (\sin (t)) (10 \cos (t))}{{\sin (\sin (t))}^{1 + 2}}$

Paso 7.10.2.2

Suma $1$ y $2$ .

$- \frac{\cos (\sin (t)) (10 \cos (t))}{\sin^{3} (\sin (t))}$

Paso 7.11

Mueve $10$ a la izquierda de $\cos (\sin (t))$ .

$- \frac{10 \cdot \cos (\sin (t)) \cos (t)}{\sin^{3} (\sin (t))}$

Paso 7.12

Factoriza $\sin (\sin (t))$ de $\sin^{3} (\sin (t))$ .

$- \frac{10 \cos (\sin (t)) \cos (t)}{\sin (\sin (t)) \sin^{2} (\sin (t))}$

Paso 7.13

Separa las fracciones.

$- (\frac{10 \cos (t)}{\sin^{2} (\sin (t))} \cdot \frac{\cos (\sin (t))}{\sin (\sin (t))})$

Paso 7.14

Convierte de $\frac{\cos (\sin (t))}{\sin (\sin (t))}$ a $\cot (\sin (t))$ .

$- (\frac{10 \cos (t)}{\sin^{2} (\sin (t))} \cot (\sin (t)))$

Paso 7.15

Factoriza $\sin (\sin (t))$ de $\sin^{2} (\sin (t))$ .

$- (\frac{10 \cos (t)}{\sin (\sin (t)) \sin (\sin (t))} \cot (\sin (t)))$

Paso 7.16

Separa las fracciones.

$- (\frac{10}{\sin (\sin (t))} \cdot \frac{\cos (t)}{\sin (\sin (t))} \cot (\sin (t)))$

Paso 7.17

Reescribe $\frac{\cos (t)}{\sin (\sin (t))}$ como un producto.

$- (\frac{10}{\sin (\sin (t))} (\cos (t) \frac{1}{\sin (\sin (t))}) \cot (\sin (t)))$

Paso 7.18

Escribe $\cos (t)$ como una fracción con el denominador $1$ .

$- (\frac{10}{\sin (\sin (t))} (\frac{\cos (t)}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\sin (t))}) \cot (\sin (t)))$

Paso 7.19

Simplifica.

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Paso 7.19.1

Divide $\cos (t)$ por $1$ .

$- (\frac{10}{\sin (\sin (t))} (\cos (t) \frac{1}{\sin (\sin (t))}) \cot (\sin (t)))$

Paso 7.19.2

Convierte de $\frac{1}{\sin (\sin (t))}$ a $\csc (\sin (t))$ .

$- (\frac{10}{\sin (\sin (t))} (\cos (t) \csc (\sin (t))) \cot (\sin (t)))$

Paso 7.20

Separa las fracciones.

$- (\frac{10}{1} \cdot \frac{1}{\sin (\sin (t))} (\cos (t) \csc (\sin (t))) \cot (\sin (t)))$

Paso 7.21

Convierte de $\frac{1}{\sin (\sin (t))}$ a $\csc (\sin (t))$ .

$- (\frac{10}{1} \csc (\sin (t)) (\cos (t) \csc (\sin (t))) \cot (\sin (t)))$

Paso 7.22

Divide $10$ por $1$ .

$- (10 \csc (\sin (t)) (\cos (t) \csc (\sin (t))) \cot (\sin (t)))$

Paso 7.23

Multiplica $10 \csc (\sin (t)) (\cos (t) \csc (\sin (t)))$ .

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Paso 7.23.1

Eleva $\csc (\sin (t))$ a la potencia de $1$ .

$- (10 (\csc^{1} (\sin (t)) \csc (\sin (t))) \cos (t) \cot (\sin (t)))$

Paso 7.23.2

Eleva $\csc (\sin (t))$ a la potencia de $1$ .

$- (10 (\csc^{1} (\sin (t)) \csc^{1} (\sin (t))) \cos (t) \cot (\sin (t)))$

Paso 7.23.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- (10 {\csc (\sin (t))}^{1 + 1} \cos (t) \cot (\sin (t)))$

Paso 7.23.4

Suma $1$ y $1$ .

$- (10 \csc^{2} (\sin (t)) \cos (t) \cot (\sin (t)))$

Paso 7.24

Multiplica $10$ por $- 1$ .

$- 10 \csc^{2} (\sin (t)) \cos (t) \cot (\sin (t))$