Cálculo Ejemplos

$t^{3} \log_{2} (e^{t})$

Paso 1

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d t} [f (t) g (t)]$ es $f (t) \frac{d}{d t} [g (t)] + g (t) \frac{d}{d t} [f (t)]$ donde $f (t) = t^{3}$ y $g (t) = \log_{2} (e^{t})$ .

$t^{3} \frac{d}{d t} [\log_{2} (e^{t})] + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = \log_{2} (t)$ y $g (t) = e^{t}$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $e^{t}$ .

$t^{3} (\frac{d}{d u} [\log_{2} (u)] \frac{d}{d t} [e^{t}]) + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Paso 2.2

La derivada de $\log_{2} (u)$ con respecto a $u$ es $\frac{1}{u \ln (2)}$ .

$t^{3} (\frac{1}{u \ln (2)} \frac{d}{d t} [e^{t}]) + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $e^{t}$ .

$t^{3} (\frac{1}{e^{t} \ln (2)} \frac{d}{d t} [e^{t}]) + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Paso 3

Combina $\frac{1}{e^{t} \ln (2)}$ y $t^{3}$ .

$\frac{t^{3}}{e^{t} \ln (2)} \frac{d}{d t} [e^{t}] + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Paso 4

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d t} [a^{t}]$ es $a^{t} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$\frac{t^{3}}{e^{t} \ln (2)} e^{t} + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Paso 5

Diferencia con la regla de la potencia.

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Paso 5.1

Combina $\frac{t^{3}}{e^{t} \ln (2)}$ y $e^{t}$ .

$\frac{t^{3} e^{t}}{e^{t} \ln (2)} + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Paso 5.2

Cancela el factor común de $e^{t}$ .

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Paso 5.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{t^{3} e^{t}}{e^{t} \ln (2)} + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Paso 5.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{t^{3}}{\ln (2)} + \log_{2} (e^{t}) \frac{d}{d t} [t^{3}]$

Paso 5.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 3$ .

$\frac{t^{3}}{\ln (2)} + \log_{2} (e^{t}) (3 t^{2})$

Paso 5.4

Reordena los términos.

$\frac{t^{3}}{\ln (2)} + 3 t^{2} \log_{2} (e^{t})$