Cálculo Ejemplos

$\frac{d}{d t} (\frac{t^{2} + 8}{{(3 t - 2)}^{6}})$

Paso 1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d t} [\frac{f (t)}{g (t)}]$ es $\frac{g (t) \frac{d}{d t} [f (t)] - f (t) \frac{d}{d t} [g (t)]}{{g (t)}^{2}}$ donde $f (t) = t^{2} + 8$ y $g (t) = {(3 t - 2)}^{6}$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{6} \frac{d}{d t} [t^{2} + 8] - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [{(3 t - 2)}^{6}]}{{({(3 t - 2)}^{6})}^{2}}$

Paso 2

Diferencia.

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Paso 2.1

Multiplica los exponentes en ${({(3 t - 2)}^{6})}^{2}$ .

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Paso 2.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{6} \frac{d}{d t} [t^{2} + 8] - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [{(3 t - 2)}^{6}]}{{(3 t - 2)}^{6 \cdot 2}}$

Paso 2.1.2

Multiplica $6$ por $2$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{6} \frac{d}{d t} [t^{2} + 8] - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [{(3 t - 2)}^{6}]}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Paso 2.2

Según la regla de la suma, la derivada de $t^{2} + 8$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [8]$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{6} (\frac{d}{d t} [t^{2}] + \frac{d}{d t} [8]) - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [{(3 t - 2)}^{6}]}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Paso 2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{6} (2 t + \frac{d}{d t} [8]) - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [{(3 t - 2)}^{6}]}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Paso 2.4

Como $8$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $8$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{6} (2 t + 0) - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [{(3 t - 2)}^{6}]}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Paso 2.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.5.1

Suma $2 t$ y $0$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{6} (2 t) - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [{(3 t - 2)}^{6}]}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Paso 2.5.2

Mueve $2$ a la izquierda de ${(3 t - 2)}^{6}$ .

$\frac{2 \cdot {(3 t - 2)}^{6} t - (t^{2} + 8) \frac{d}{d t} [{(3 t - 2)}^{6}]}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Paso 3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d t} [f (g (t))]$ es $f' (g (t)) g' (t)$ donde $f (t) = t^{6}$ y $g (t) = 3 t - 2$ .

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Paso 3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 t - 2$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - (t^{2} + 8) (\frac{d}{d u} [u^{6}] \frac{d}{d t} [3 t - 2])}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Paso 3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 6$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - (t^{2} + 8) (6 u^{5} \frac{d}{d t} [3 t - 2])}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Paso 3.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 t - 2$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - (t^{2} + 8) (6 {(3 t - 2)}^{5} \frac{d}{d t} [3 t - 2])}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Paso 4

Diferencia.

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Paso 4.1

Multiplica $6$ por $- 1$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 6 (t^{2} + 8) ({(3 t - 2)}^{5} \frac{d}{d t} [3 t - 2])}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Paso 4.2

Según la regla de la suma, la derivada de $3 t - 2$ con respecto a $t$ es $\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 2]$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 6 (t^{2} + 8) ({(3 t - 2)}^{5} (\frac{d}{d t} [3 t] + \frac{d}{d t} [- 2]))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Paso 4.3

Como $3$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $3 t$ con respecto a $t$ es $3 \frac{d}{d t} [t]$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 6 (t^{2} + 8) ({(3 t - 2)}^{5} (3 \frac{d}{d t} [t] + \frac{d}{d t} [- 2]))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Paso 4.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d t} [t^{n}]$ es $n t^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 6 (t^{2} + 8) ({(3 t - 2)}^{5} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d t} [- 2]))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Paso 4.5

Multiplica $3$ por $1$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 6 (t^{2} + 8) ({(3 t - 2)}^{5} (3 + \frac{d}{d t} [- 2]))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Paso 4.6

Como $- 2$ es constante con respecto a $t$ , la derivada de $- 2$ con respecto a $t$ es $0$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 6 (t^{2} + 8) ({(3 t - 2)}^{5} (3 + 0))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Paso 4.7

Simplifica la expresión.

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Paso 4.7.1

Suma $3$ y $0$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 6 (t^{2} + 8) ({(3 t - 2)}^{5} \cdot 3)}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Paso 4.7.2

Mueve $3$ a la izquierda de ${(3 t - 2)}^{5}$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 6 (t^{2} + 8) (3 \cdot {(3 t - 2)}^{5})}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Paso 4.7.3

Multiplica $3$ por $- 6$ .

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t - 18 (t^{2} + 8) {(3 t - 2)}^{5}}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Paso 5

Simplifica.

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Paso 5.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{2 {(3 t - 2)}^{6} t + (- 18 t^{2} - 18 \cdot 8) {(3 t - 2)}^{5}}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Paso 5.2

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.1

Factoriza ${(3 t - 2)}^{5}$ de $2 {(3 t - 2)}^{6} t + (- 18 t^{2} - 18 \cdot 8) {(3 t - 2)}^{5}$ .

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Paso 5.2.1.1

Factoriza ${(3 t - 2)}^{5}$ de $2 {(3 t - 2)}^{6} t$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (3 t - 2) t) + (- 18 t^{2} - 18 \cdot 8) {(3 t - 2)}^{5}}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Paso 5.2.1.2

Factoriza ${(3 t - 2)}^{5}$ de $(- 18 t^{2} - 18 \cdot 8) {(3 t - 2)}^{5}$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (3 t - 2) t) + {(3 t - 2)}^{5} (- 18 t^{2} - 18 \cdot 8)}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Paso 5.2.1.3

Factoriza ${(3 t - 2)}^{5}$ de ${(3 t - 2)}^{5} (2 (3 t - 2) t) + {(3 t - 2)}^{5} (- 18 t^{2} - 18 \cdot 8)$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (3 t - 2) t - 18 t^{2} - 18 \cdot 8)}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Paso 5.2.2

Factoriza $2$ de $2 (3 t - 2) t - 18 t^{2} - 18 \cdot 8$ .

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Paso 5.2.2.1

Factoriza $2$ de $2 (3 t - 2) t$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 ((3 t - 2) t) - 18 t^{2} - 18 \cdot 8)}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Paso 5.2.2.2

Factoriza $2$ de $- 18 t^{2}$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 ((3 t - 2) t) + 2 (- 9 t^{2}) - 18 \cdot 8)}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Paso 5.2.2.3

Factoriza $2$ de $- 18 \cdot 8$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 ((3 t - 2) t) + 2 (- 9 t^{2}) + 2 (- 9 \cdot 8))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Paso 5.2.2.4

Factoriza $2$ de $2 ((3 t - 2) t) + 2 (- 9 t^{2})$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 ((3 t - 2) t - 9 t^{2}) + 2 (- 9 \cdot 8))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Paso 5.2.2.5

Factoriza $2$ de $2 ((3 t - 2) t - 9 t^{2}) + 2 (- 9 \cdot 8)$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 ((3 t - 2) t - 9 t^{2} - 9 \cdot 8))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Paso 5.2.3

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (3 t \cdot t - 2 t - 9 t^{2} - 9 \cdot 8))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Paso 5.2.4

Multiplica $t$ por $t$ sumando los exponentes.

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Paso 5.2.4.1

Mueve $t$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (3 (t \cdot t) - 2 t - 9 t^{2} - 9 \cdot 8))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Paso 5.2.4.2

Multiplica $t$ por $t$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (3 t^{2} - 2 t - 9 t^{2} - 9 \cdot 8))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Paso 5.2.5

Multiplica $- 9$ por $8$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (3 t^{2} - 2 t - 9 t^{2} - 72))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Paso 5.2.6

Resta $9 t^{2}$ de $3 t^{2}$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (- 6 t^{2} - 2 t - 72))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Paso 5.2.7

Factoriza $2$ de $- 6 t^{2} - 2 t - 72$ .

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Paso 5.2.7.1

Factoriza $2$ de $- 6 t^{2}$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (2 (- 3 t^{2}) - 2 t - 72))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Paso 5.2.7.2

Factoriza $2$ de $- 2 t$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (2 (- 3 t^{2}) + 2 (- t) - 72))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Paso 5.2.7.3

Factoriza $2$ de $- 72$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (2 (- 3 t^{2}) + 2 (- t) + 2 (- 36)))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Paso 5.2.7.4

Factoriza $2$ de $2 (- 3 t^{2}) + 2 (- t)$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (2 (- 3 t^{2} - t) + 2 (- 36)))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Paso 5.2.7.5

Factoriza $2$ de $2 (- 3 t^{2} - t) + 2 (- 36)$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 (2 (- 3 t^{2} - t - 36)))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (2 \cdot 2 (- 3 t^{2} - t - 36))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Paso 5.2.8

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} \cdot 4 (- 3 t^{2} - t - 36)}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Paso 5.3

Combina los términos.

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Paso 5.3.1

Mueve $4$ a la izquierda de ${(3 t - 2)}^{5}$ .

$\frac{4 \cdot {(3 t - 2)}^{5} (- 3 t^{2} - t - 36)}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Paso 5.3.2

Cancela el factor común de ${(3 t - 2)}^{5}$ y ${(3 t - 2)}^{12}$ .

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Paso 5.3.2.1

Factoriza ${(3 t - 2)}^{5}$ de $4 {(3 t - 2)}^{5} (- 3 t^{2} - t - 36)$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (4 (- 3 t^{2} - t - 36))}{{(3 t - 2)}^{12}}$

Paso 5.3.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 5.3.2.2.1

Factoriza ${(3 t - 2)}^{5}$ de ${(3 t - 2)}^{12}$ .

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (4 (- 3 t^{2} - t - 36))}{{(3 t - 2)}^{5} {(3 t - 2)}^{7}}$

Paso 5.3.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{{(3 t - 2)}^{5} (4 (- 3 t^{2} - t - 36))}{{(3 t - 2)}^{5} {(3 t - 2)}^{7}}$

Paso 5.3.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{4 (- 3 t^{2} - t - 36)}{{(3 t - 2)}^{7}}$

Paso 5.4

Factoriza $- 1$ de $- 3 t^{2}$ .

$\frac{4 (- (3 t^{2}) - t - 36)}{{(3 t - 2)}^{7}}$

Paso 5.5

Factoriza $- 1$ de $- t$ .

$\frac{4 (- (3 t^{2}) - (t) - 36)}{{(3 t - 2)}^{7}}$

Paso 5.6

Factoriza $- 1$ de $- (3 t^{2}) - (t)$ .

$\frac{4 (- (3 t^{2} + t) - 36)}{{(3 t - 2)}^{7}}$

Paso 5.7

Reescribe $- 36$ como $- 1 (36)$ .

$\frac{4 (- (3 t^{2} + t) - 1 (36))}{{(3 t - 2)}^{7}}$

Paso 5.8

Factoriza $- 1$ de $- (3 t^{2} + t) - 1 (36)$ .

$\frac{4 (- (3 t^{2} + t + 36))}{{(3 t - 2)}^{7}}$

Paso 5.9

Reescribe $- (3 t^{2} + t + 36)$ como $- 1 (3 t^{2} + t + 36)$ .

$\frac{4 (- 1 (3 t^{2} + t + 36))}{{(3 t - 2)}^{7}}$

Paso 5.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{4 (3 t^{2} + t + 36)}{{(3 t - 2)}^{7}}$