Cálculo Ejemplos

$C x (1 - e^{- k x})$

Paso 1

Diferencia.

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Paso 1.1

Como $C x$ es constante con respecto a $k$ , la derivada de $C x (1 - e^{- k x})$ con respecto a $k$ es $C x \frac{d}{d k} [1 - e^{- k x}]$ .

$C x \frac{d}{d k} [1 - e^{- k x}]$

Paso 1.2

Según la regla de la suma, la derivada de $1 - e^{- k x}$ con respecto a $k$ es $\frac{d}{d k} [1] + \frac{d}{d k} [- e^{- k x}]$ .

$C x (\frac{d}{d k} [1] + \frac{d}{d k} [- e^{- k x}])$

Paso 1.3

Como $1$ es constante con respecto a $k$ , la derivada de $1$ con respecto a $k$ es $0$ .

$C x (0 + \frac{d}{d k} [- e^{- k x}])$

Paso 1.4

Suma $0$ y $\frac{d}{d k} [- e^{- k x}]$ .

$C x \frac{d}{d k} [- e^{- k x}]$

Paso 1.5

Como $- 1$ es constante con respecto a $k$ , la derivada de $- e^{- k x}$ con respecto a $k$ es $- \frac{d}{d k} [e^{- k x}]$ .

$C x (- \frac{d}{d k} [e^{- k x}])$

Paso 2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d k} [f (g (k))]$ es $f' (g (k)) g' (k)$ donde $f (k) = e^{k}$ y $g (k) = - k x$ .

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Paso 2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $- k x$ .

$C x (- (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d k} [- k x]))$

Paso 2.2

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ es $a^{u} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$C x (- (e^{u} \frac{d}{d k} [- k x]))$

Paso 2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $- k x$ .

$C x (- (e^{- k x} \frac{d}{d k} [- k x]))$

Paso 3

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 3.1

Como $- x$ es constante con respecto a $k$ , la derivada de $- k x$ con respecto a $k$ es $- x \frac{d}{d k} [k]$ .

$C x (- e^{- k x} (- x \frac{d}{d k} [k]))$

Paso 3.2

Multiplica.

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Paso 3.2.1

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$C x (1 e^{- k x} (x \frac{d}{d k} [k]))$

Paso 3.2.2

Multiplica $e^{- k x}$ por $1$ .

$C x (e^{- k x} (x \frac{d}{d k} [k]))$

Paso 4

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$C (x^{1} x) (e^{- k x} (\frac{d}{d k} [k]))$

Paso 5

Eleva $x$ a la potencia de $1$ .

$C (x^{1} x^{1}) (e^{- k x} (\frac{d}{d k} [k]))$

Paso 6

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$C x^{1 + 1} (e^{- k x} (\frac{d}{d k} [k]))$

Paso 7

Suma $1$ y $1$ .

$C x^{2} (e^{- k x} (\frac{d}{d k} [k]))$

Paso 8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d k} [k^{n}]$ es $n k^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$C x^{2} (e^{- k x} \cdot 1)$

Paso 9

Multiplica $e^{- k x}$ por $1$ .

$C x^{2} e^{- k x}$

Paso 10

Simplifica.

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Paso 10.1

Reordena los factores de $C x^{2} e^{- k x}$ .

$e^{- k x} x^{2} C$

Paso 10.2

Reordena los factores en $e^{- k x} x^{2} C$ .

$x^{2} C e^{- k x}$