Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{x}$ , $y = \frac{1}{x^{2}}$ , $x = 2$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$\frac{1}{x} = \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.2

Resuelve $\frac{1}{x} = \frac{1}{x^{2}}$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Obtén el mcd de los términos en la ecuación.

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Paso 1.2.1.1

La obtención del mcd de una lista de valores es lo mismo que obtener el MCM de los denominadores de esos valores.

$x, x^{2} + y = \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.2.1.2

Since $x, x^{2}$ contains both numbers and variables, there are two steps to find the LCM. Find LCM for the numeric part $1, 1$ then find LCM for the variable part $x^{1}, x^{2}$ .

Paso 1.2.1.3

El MCM es el número positivo más pequeño en el que se dividen uniformemente todos los números.

$1$ Enumera los factores primos de cada número.

Paso 1.2.1.4

El número $1$ no es un número primo porque solo tiene un factor positivo, que es sí mismo.

No es primo

Paso 1.2.1.5

El MCM de $1, 1$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los números.

$1 + y = \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.2.1.6

El factor para $x^{1}$ es $x$ en sí mismo.

$x = x$

Paso 1.2.1.7

Los factores para $x^{2}$ son $x \cdot x$ , que es $x$ multiplicada una por la otra $2$ veces.

$x^{2} = x \cdot x$

Paso 1.2.1.8

El MCM de $x^{1}, x^{2}$ es el resultado de la multiplicación de todos los factores primos la mayor cantidad de veces que ocurran en cualquiera de los términos.

$x \cdot x + y = \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.2.1.9

Multiplica $x$ por $x$ .

$x^{2} + y = \frac{1}{x^{2}}$

Paso 1.2.2

Multiplica cada término en $\frac{1}{x} = \frac{1}{x^{2}}$ por $x^{2}$ para eliminar las fracciones.

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Paso 1.2.2.1

Multiplica cada término en $\frac{1}{x} = \frac{1}{x^{2}}$ por $x^{2}$ .

$\frac{1}{x} x^{2} = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Paso 1.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.2.1

Cancela el factor común de $x$ .

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Paso 1.2.2.2.1.1

Factoriza $x$ de $x^{2}$ .

$\frac{1}{x} (x \cdot x) = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Paso 1.2.2.2.1.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{x} (x \cdot x) = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Paso 1.2.2.2.1.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Paso 1.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.2.3.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 1.2.2.3.1.1

Cancela el factor común.

$x = \frac{1}{x^{2}} x^{2}$

Paso 1.2.2.3.1.2

Reescribe la expresión.

$x = 1$

Paso 1.3

Evalúa $y$ cuando $x = 1$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye $1$ por $x$ .

$y = \frac{1}{{(1)}^{2}}$

Paso 1.3.2

Sustituye $1$ por $x$ en $y = \frac{1}{{(1)}^{2}}$ , y resuelve $y$ .

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Paso 1.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{1}{1^{2}}$

Paso 1.3.2.2

Simplifica $\frac{1}{1^{2}}$ .

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Paso 1.3.2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$y = \frac{1}{1}$

Paso 1.3.2.2.2

Divide $1$ por $1$ .

$y = 1$

Paso 1.4

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(1, 1)$

Paso 2

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x - \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 3

Integra para obtener el área entre $1$ y $2$ .

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Paso 3.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x} - (\frac{1}{x^{2}}) d x$

Paso 3.2

Multiplica $- 1$ por $\frac{1}{x^{2}}$ .

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 3.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{2} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 3.4

La integral de $\frac{1}{x}$ con respecto a $x$ es $\ln (| x |)$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 3.5

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} \frac{1}{x^{2}} d x$

Paso 3.6

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 3.6.1

Mueve $x^{2}$ fuera del denominador mediante su elevación a la potencia $- 1$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} {(x^{2})}^{- 1} d x$

Paso 3.6.2

Multiplica los exponentes en ${(x^{2})}^{- 1}$ .

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Paso 3.6.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} x^{2 \cdot - 1} d x$

Paso 3.6.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - \int_{1}^{2} x^{- 2} d x$

Paso 3.7

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{- 2}$ con respecto a $x$ es $- x^{- 1}$ .

$\ln (| x |)]_{1}^{2} - (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Paso 3.8

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.8.1

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.8.1.1

Evalúa $\ln (| x |)$ en $2$ y en $1$ .

$(\ln (| 2 |)) - \ln (| 1 |) - (- x^{- 1}]_{1}^{2})$

Paso 3.8.1.2

Evalúa $- x^{- 1}$ en $2$ y en $1$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - (- 2^{- 1} + 1^{- 1})$

Paso 3.8.1.3

Simplifica.

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Paso 3.8.1.3.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{2} + 1^{- 1})$

Paso 3.8.1.3.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{2} + 1)$

Paso 3.8.1.3.3

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - (- \frac{1}{2} + \frac{2}{2})$

Paso 3.8.1.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{- 1 + 2}{2}$

Paso 3.8.1.3.5

Suma $- 1$ y $2$ .

$\ln (| 2 |) - \ln (| 1 |) - \frac{1}{2}$

Paso 3.8.2

Usa la propiedad del cociente de los logaritmos, $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ .

$\ln (\frac{| 2 |}{| 1 |}) - \frac{1}{2}$

Paso 3.8.3

Simplifica.

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Paso 3.8.3.1

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $2$ es $2$ .

$\ln (\frac{2}{| 1 |}) - \frac{1}{2}$

Paso 3.8.3.2

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\ln (\frac{2}{1}) - \frac{1}{2}$

Paso 3.8.3.3

Divide $2$ por $1$ .

$\ln (2) - \frac{1}{2}$

Paso 4