Cálculo Ejemplos

$y = 5 \sqrt[3]{x}$ , $y = 0$ , $x = 1$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$5 \sqrt[3]{x} = 0$

Paso 1.2

Resuelve $5 \sqrt[3]{x} = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cubo ambos lados de la ecuación.

${(5 \sqrt[3]{x})}^{3} = 0^{3}$

Paso 1.2.2

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 1.2.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

${(5 x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 1.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.2.2.1

Simplifica ${(5 x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 1.2.2.2.1.1

Aplica la regla del producto a $5 x^{\frac{1}{3}}$ .

$5^{3} {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 1.2.2.2.1.2

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$125 {(x^{\frac{1}{3}})}^{3} = 0^{3}$

Paso 1.2.2.2.1.3

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Paso 1.2.2.2.1.3.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$125 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 1.2.2.2.1.3.2

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.2.2.2.1.3.2.1

Cancela el factor común.

$125 x^{\frac{1}{3} \cdot 3} = 0^{3}$

Paso 1.2.2.2.1.3.2.2

Reescribe la expresión.

$125 x^{1} = 0^{3}$

Paso 1.2.2.2.1.4

Simplifica.

$125 x = 0^{3}$

Paso 1.2.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.2.3.1

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$125 x = 0$

Paso 1.2.3

Divide cada término en $125 x = 0$ por $125$ y simplifica.

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Paso 1.2.3.1

Divide cada término en $125 x = 0$ por $125$ .

$\frac{125 x}{125} = \frac{0}{125}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.1

Cancela el factor común de $125$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{125 x}{125} = \frac{0}{125}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{0}{125}$

Paso 1.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.3.1

Divide $0$ por $125$ .

$x = 0$

Paso 1.3

Sustituye $0$ por $x$ .

$y = 0$

Paso 1.4

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(0, 0)$

Paso 2

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{1} 5 \sqrt[3]{x} d x - \int_{0}^{1} 0 d x$

Paso 3

Integra para obtener el área entre $0$ y $1$ .

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Paso 3.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{0}^{1} 5 \sqrt[3]{x} - (0) d x$

Paso 3.2

Resta $0$ de $5 \sqrt[3]{x}$ .

$\int_{0}^{1} 5 \sqrt[3]{x} d x$

Paso 3.3

Dado que $5$ es constante con respecto a $x$ , mueve $5$ fuera de la integral.

$5 \int_{0}^{1} \sqrt[3]{x} d x$

Paso 3.4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt[3]{x}$ como $x^{\frac{1}{3}}$ .

$5 \int_{0}^{1} x^{\frac{1}{3}} d x$

Paso 3.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{3}}$ con respecto a $x$ es $\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}$ .

$5 (\frac{3}{4} x^{\frac{4}{3}}]_{0}^{1})$

Paso 3.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.6.1

Combina $\frac{3}{4}$ y $x^{\frac{4}{3}}$ .

$5 (\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}]_{0}^{1})$

Paso 3.6.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.6.2.1

Evalúa $\frac{3 x^{\frac{4}{3}}}{4}$ en $1$ y en $0$ .

$5 ((\frac{3 \cdot 1^{\frac{4}{3}}}{4}) - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Paso 3.6.2.2

Simplifica.

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Paso 3.6.2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$5 (\frac{3 \cdot 1}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Paso 3.6.2.2.2

Multiplica $3$ por $1$ .

$5 (\frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 0^{\frac{4}{3}}}{4})$

Paso 3.6.2.2.3

Reescribe $0$ como $0^{3}$ .

$5 (\frac{3}{4} - \frac{3 \cdot {(0^{3})}^{\frac{4}{3}}}{4})$

Paso 3.6.2.2.4

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$5 (\frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}{4})$

Paso 3.6.2.2.5

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 3.6.2.2.5.1

Cancela el factor común.

$5 (\frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 0^{3 (\frac{4}{3})}}{4})$

Paso 3.6.2.2.5.2

Reescribe la expresión.

$5 (\frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 0^{4}}{4})$

Paso 3.6.2.2.6

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$5 (\frac{3}{4} - \frac{3 \cdot 0}{4})$

Paso 3.6.2.2.7

Multiplica $3$ por $0$ .

$5 (\frac{3}{4} - \frac{0}{4})$

Paso 3.6.2.2.8

Cancela el factor común de $0$ y $4$ .

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Paso 3.6.2.2.8.1

Factoriza $4$ de $0$ .

$5 (\frac{3}{4} - \frac{4 (0)}{4})$

Paso 3.6.2.2.8.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.6.2.2.8.2.1

Factoriza $4$ de $4$ .

$5 (\frac{3}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Paso 3.6.2.2.8.2.2

Cancela el factor común.

$5 (\frac{3}{4} - \frac{4 \cdot 0}{4 \cdot 1})$

Paso 3.6.2.2.8.2.3

Reescribe la expresión.

$5 (\frac{3}{4} - \frac{0}{1})$

Paso 3.6.2.2.8.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$5 (\frac{3}{4} - 0)$

Paso 3.6.2.2.9

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$5 (\frac{3}{4} + 0)$

Paso 3.6.2.2.10

Suma $\frac{3}{4}$ y $0$ .

$5 (\frac{3}{4})$

Paso 3.6.2.2.11

Combina $5$ y $\frac{3}{4}$ .

$\frac{5 \cdot 3}{4}$

Paso 3.6.2.2.12

Multiplica $5$ por $3$ .

$\frac{15}{4}$

Paso 4