Cálculo Ejemplos

$y = 8$ , $y = \sqrt{x}$ , $x = 0$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$8 = \sqrt{x}$

Paso 1.2

Resuelve $8 = \sqrt{x}$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Reescribe la ecuación como $\sqrt{x} = 8$ .

$\sqrt{x} = 8$

Paso 1.2.2

Para eliminar el radical en el lazo izquierdo de la ecuación, eleva al cuadrado ambos lados de la ecuación.

${\sqrt{x}}^{2} = 8^{2}$

Paso 1.2.3

Simplifica cada lado de la ecuación.

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Paso 1.2.3.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

${(x^{\frac{1}{2}})}^{2} = 8^{2}$

Paso 1.2.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.2.3.2.1

Simplifica ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1

Multiplica los exponentes en ${(x^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 8^{2}$

Paso 1.2.3.2.1.1.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.3.2.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$x^{\frac{1}{2} \cdot 2} = 8^{2}$

Paso 1.2.3.2.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$x^{1} = 8^{2}$

Paso 1.2.3.2.1.2

Simplifica.

$x = 8^{2}$

Paso 1.2.3.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.2.3.3.1

Eleva $8$ a la potencia de $2$ .

$x = 64$

Paso 1.3

Evalúa $y$ cuando $x = 64$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye $64$ por $x$ .

$y = \sqrt{64}$

Paso 1.3.2

Simplifica $\sqrt{64}$ .

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Paso 1.3.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = \sqrt{64}$

Paso 1.3.2.2

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$y = \sqrt{8^{2}}$

Paso 1.3.2.3

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$y = 8$

Paso 1.4

La solución del sistema es el conjunto completo de pares ordenados que son soluciones válidas.

$(64, 8)$

Paso 2

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{64} 8 d x - \int_{0}^{64} \sqrt{x} d x$

Paso 3

Integra para obtener el área entre $0$ y $64$ .

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Paso 3.1

Integra para obtener el área entre $0$ y $64$ .

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Paso 3.1.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{0}^{64} \sqrt{x} - (8) d x$

Paso 3.1.2

Multiplica $- 1$ por $8$ .

$\int_{0}^{64} \sqrt{x} - 8 d x$

Paso 3.1.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{64} \sqrt{x} d x + \int_{0}^{64} - 8 d x$

Paso 3.1.4

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\int_{0}^{64} x^{\frac{1}{2}} d x + \int_{0}^{64} - 8 d x$

Paso 3.1.5

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64} + \int_{0}^{64} - 8 d x$

Paso 3.1.6

Aplica la regla de la constante.

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64} + - 8 x]_{0}^{64}$

Paso 3.1.7

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.1.7.1

Combina $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64}$ y $- 8 x]_{0}^{64}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 8 x]_{0}^{64}$

Paso 3.1.7.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.1.7.2.1

Evalúa $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}} - 8 x$ en $64$ y en $0$ .

$(\frac{2}{3} \cdot 64^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 64) - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Paso 3.1.7.2.2

Simplifica.

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Paso 3.1.7.2.2.1

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$\frac{2}{3} \cdot {(8^{2})}^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Paso 3.1.7.2.2.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Paso 3.1.7.2.2.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.7.2.2.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{3} \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Paso 3.1.7.2.2.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{3} \cdot 8^{3} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Paso 3.1.7.2.2.4

Eleva $8$ a la potencia de $3$ .

$\frac{2}{3} \cdot 512 - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Paso 3.1.7.2.2.5

Combina $\frac{2}{3}$ y $512$ .

$\frac{2 \cdot 512}{3} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Paso 3.1.7.2.2.6

Multiplica $2$ por $512$ .

$\frac{1024}{3} - 8 \cdot 64 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Paso 3.1.7.2.2.7

Multiplica $- 8$ por $64$ .

$\frac{1024}{3} - 512 - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Paso 3.1.7.2.2.8

Para escribir $- 512$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1024}{3} - 512 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Paso 3.1.7.2.2.9

Combina $- 512$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1024}{3} + \frac{- 512 \cdot 3}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Paso 3.1.7.2.2.10

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1024 - 512 \cdot 3}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Paso 3.1.7.2.2.11

Simplifica el numerador.

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Paso 3.1.7.2.2.11.1

Multiplica $- 512$ por $3$ .

$\frac{1024 - 1536}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Paso 3.1.7.2.2.11.2

Resta $1536$ de $1024$ .

$\frac{- 512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Paso 3.1.7.2.2.12

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Paso 3.1.7.2.2.13

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}} - 8 \cdot 0)$

Paso 3.1.7.2.2.14

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - 8 \cdot 0)$

Paso 3.1.7.2.2.15

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.1.7.2.2.15.1

Cancela el factor común.

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})} - 8 \cdot 0)$

Paso 3.1.7.2.2.15.2

Reescribe la expresión.

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0^{3} - 8 \cdot 0)$

Paso 3.1.7.2.2.16

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$- \frac{512}{3} - (\frac{2}{3} \cdot 0 - 8 \cdot 0)$

Paso 3.1.7.2.2.17

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $0$ .

$- \frac{512}{3} - (0 - 8 \cdot 0)$

Paso 3.1.7.2.2.18

Multiplica $- 8$ por $0$ .

$- \frac{512}{3} - (0 + 0)$

Paso 3.1.7.2.2.19

Suma $0$ y $0$ .

$- \frac{512}{3} - 0$

Paso 3.1.7.2.2.20

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$- \frac{512}{3} + 0$

Paso 3.1.7.2.2.21

Suma $- \frac{512}{3}$ y $0$ .

$- \frac{512}{3}$

Paso 3.2

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{0}^{64} 8 - (\sqrt{x}) d x$

Paso 3.3

Multiplica $- 1$ por $\sqrt{x}$ .

$\int_{0}^{64} 8 - \sqrt{x} d x$

Paso 3.4

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{64} 8 d x + \int_{0}^{64} - \sqrt{x} d x$

Paso 3.5

Aplica la regla de la constante.

$8 x]_{0}^{64} + \int_{0}^{64} - \sqrt{x} d x$

Paso 3.6

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$8 x]_{0}^{64} - \int_{0}^{64} \sqrt{x} d x$

Paso 3.7

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x}$ como $x^{\frac{1}{2}}$ .

$8 x]_{0}^{64} - \int_{0}^{64} x^{\frac{1}{2}} d x$

Paso 3.8

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 x]_{0}^{64} - (\frac{2}{3} x^{\frac{3}{2}}]_{0}^{64})$

Paso 3.9

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.9.1

Combina $\frac{2}{3}$ y $x^{\frac{3}{2}}$ .

$8 x]_{0}^{64} - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{64})$

Paso 3.9.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.9.2.1

Evalúa $8 x$ en $64$ y en $0$ .

$(8 \cdot 64) - 8 \cdot 0 - (\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}]_{0}^{64})$

Paso 3.9.2.2

Evalúa $\frac{2 x^{\frac{3}{2}}}{3}$ en $64$ y en $0$ .

$8 \cdot 64 - 8 \cdot 0 - (\frac{2 \cdot 64^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 3.9.2.3

Simplifica.

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Paso 3.9.2.3.1

Multiplica $8$ por $64$ .

$512 - 8 \cdot 0 - (\frac{2 \cdot 64^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 3.9.2.3.2

Multiplica $- 8$ por $0$ .

$512 + 0 - (\frac{2 \cdot 64^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 3.9.2.3.3

Suma $512$ y $0$ .

$512 - (\frac{2 \cdot 64^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 3.9.2.3.4

Reescribe $64$ como $8^{2}$ .

$512 - (\frac{2 \cdot {(8^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 3.9.2.3.5

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$512 - (\frac{2 \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 3.9.2.3.6

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.9.2.3.6.1

Cancela el factor común.

$512 - (\frac{2 \cdot 8^{2 (\frac{3}{2})}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 3.9.2.3.6.2

Reescribe la expresión.

$512 - (\frac{2 \cdot 8^{3}}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 3.9.2.3.7

Eleva $8$ a la potencia de $3$ .

$512 - (\frac{2 \cdot 512}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 3.9.2.3.8

Multiplica $2$ por $512$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 0^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 3.9.2.3.9

Reescribe $0$ como $0^{2}$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot {(0^{2})}^{\frac{3}{2}}}{3})$

Paso 3.9.2.3.10

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Paso 3.9.2.3.11

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.9.2.3.11.1

Cancela el factor común.

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 0^{2 (\frac{3}{2})}}{3})$

Paso 3.9.2.3.11.2

Reescribe la expresión.

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 0^{3}}{3})$

Paso 3.9.2.3.12

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{2 \cdot 0}{3})$

Paso 3.9.2.3.13

Multiplica $2$ por $0$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{0}{3})$

Paso 3.9.2.3.14

Cancela el factor común de $0$ y $3$ .

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Paso 3.9.2.3.14.1

Factoriza $3$ de $0$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{3 (0)}{3})$

Paso 3.9.2.3.14.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.9.2.3.14.2.1

Factoriza $3$ de $3$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Paso 3.9.2.3.14.2.2

Cancela el factor común.

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{3 \cdot 0}{3 \cdot 1})$

Paso 3.9.2.3.14.2.3

Reescribe la expresión.

$512 - (\frac{1024}{3} - \frac{0}{1})$

Paso 3.9.2.3.14.2.4

Divide $0$ por $1$ .

$512 - (\frac{1024}{3} - 0)$

Paso 3.9.2.3.15

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$512 - (\frac{1024}{3} + 0)$

Paso 3.9.2.3.16

Suma $\frac{1024}{3}$ y $0$ .

$512 - \frac{1024}{3}$

Paso 3.9.2.3.17

Para escribir $512$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$512 \cdot \frac{3}{3} - \frac{1024}{3}$

Paso 3.9.2.3.18

Combina $512$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{512 \cdot 3}{3} - \frac{1024}{3}$

Paso 3.9.2.3.19

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{512 \cdot 3 - 1024}{3}$

Paso 3.9.2.3.20

Simplifica el numerador.

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Paso 3.9.2.3.20.1

Multiplica $512$ por $3$ .

$\frac{1536 - 1024}{3}$

Paso 3.9.2.3.20.2

Resta $1024$ de $1536$ .

$\frac{512}{3}$

Paso 4