Cálculo Ejemplos

$y = x^{2}$ , $y = 2 x - 2$ , $x = 1$ , $x = 2$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$x^{2} = 2 x - 2$

Paso 1.2

Resuelve $x^{2} = 2 x - 2$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Resta $2 x$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 2 x = - 2$

Paso 1.2.2

Suma $2$ a ambos lados de la ecuación.

$x^{2} - 2 x + 2 = 0$

Paso 1.2.3

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a} + y = 2 x - 2$

Paso 1.2.4

Sustituye los valores $a = 1$ , $b = - 2$ y $c = 2$ en la fórmula cuadrática y resuelve $x$ .

$\frac{2 \pm \sqrt{{(- 2)}^{2} - 4 \cdot (1 \cdot 2)}}{2 \cdot 1} + y = 2 x - 2$

Paso 1.2.5

Simplifica.

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Paso 1.2.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.5.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Paso 1.2.5.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.1.3

Resta $8$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.1.4

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.1.7

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.5.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Paso 1.2.5.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Paso 1.2.6

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.6.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.6.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Paso 1.2.6.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.1.3

Resta $8$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.1.4

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.1.7

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.6.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Paso 1.2.6.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Paso 1.2.6.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$x = 1 + i$

Paso 1.2.7

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 1.2.7.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.2.7.1.1

Eleva $- 2$ a la potencia de $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 1 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.1.2

Multiplica $- 4 \cdot 1 \cdot 2$ .

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Paso 1.2.7.1.2.1

Multiplica $- 4$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 4 \cdot 2}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.1.2.2

Multiplica $- 4$ por $2$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 8}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.1.3

Resta $8$ de $4$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.1.4

Reescribe $- 4$ como $- 1 (4)$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1 \cdot 4}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.1.5

Reescribe $\sqrt{- 1 (4)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}$ .

$x = \frac{2 \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.1.6

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{4}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.1.7

Reescribe $4$ como $2^{2}$ .

$x = \frac{2 \pm i \cdot \sqrt{2^{2}}}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.1.8

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$x = \frac{2 \pm i \cdot 2}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.1.9

Mueve $2$ a la izquierda de $i$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2 \cdot 1}$

Paso 1.2.7.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$x = \frac{2 \pm 2 i}{2}$

Paso 1.2.7.3

Simplifica $\frac{2 \pm 2 i}{2}$ .

$x = 1 \pm i$

Paso 1.2.7.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$x = 1 - i$

Paso 1.2.8

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$x = 1 + i, 1 - i$

Paso 1.3

Evalúa $y$ cuando $x = 1 + i$ .

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Paso 1.3.1

Sustituye $1 + i$ por $x$ .

$y = 2 (1 + i) - 2$

Paso 1.3.2

Simplifica $2 (1 + i) - 2$ .

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Paso 1.3.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 2 \cdot 1 + 2 i - 2$

Paso 1.3.2.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = 2 + 2 i - 2$

Paso 1.3.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 1.3.2.2.1

Resta $2$ de $2$ .

$y = 0 + 2 i$

Paso 1.3.2.2.2

Suma $0$ y $2 i$ .

$y = 2 i$

Paso 1.4

Evalúa $y$ cuando $x = 1 - i$ .

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Paso 1.4.1

Sustituye $1 - i$ por $x$ .

$y = 2 (1 - i) - 2$

Paso 1.4.2

Simplifica $2 (1 - i) - 2$ .

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Paso 1.4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.4.2.1.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = 2 \cdot 1 + 2 (- i) - 2$

Paso 1.4.2.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$y = 2 + 2 (- i) - 2$

Paso 1.4.2.1.3

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$y = 2 - 2 i - 2$

Paso 1.4.2.2

Simplifica mediante la resta de números.

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Paso 1.4.2.2.1

Resta $2$ de $2$ .

$y = 0 - 2 i$

Paso 1.4.2.2.2

Resta $2 i$ de $0$ .

$y = - 2 i$

Paso 1.5

Enumera todas las soluciones.

$y = 2 i, x = 1 + i$

$y = - 2 i, x = 1 - i$

$y = 2 i, x = 1 + i$

$y = - 2 i, x = 1 - i$

Paso 2

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{1}^{2} x^{2} d x - \int_{1}^{2} 2 x - 2 d x$

Paso 3

Integra para obtener el área entre $1$ y $2$ .

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Paso 3.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{1}^{2} x^{2} - (2 x - 2) d x$

Paso 3.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$x^{2} - (2 x) - - 2$

Paso 3.2.2

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$x^{2} - 2 x - - 2$

Paso 3.2.3

Multiplica $- 1$ por $- 2$ .

$x^{2} - 2 x + 2$

$\int_{1}^{2} x^{2} - 2 x + 2 d x$

Paso 3.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{1}^{2} x^{2} d x + \int_{1}^{2} - 2 x d x + \int_{1}^{2} 2 d x$

Paso 3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} + \int_{1}^{2} - 2 x d x + \int_{1}^{2} 2 d x$

Paso 3.5

Dado que $- 2$ es constante con respecto a $x$ , mueve $- 2$ fuera de la integral.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} - 2 \int_{1}^{2} x d x + \int_{1}^{2} 2 d x$

Paso 3.6

Según la regla de la potencia, la integral de $x$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} - 2 (\frac{1}{2} x^{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 2 d x$

Paso 3.7

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) + \int_{1}^{2} 2 d x$

Paso 3.8

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2}) + 2 x]_{1}^{2}$

Paso 3.9

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.9.1

Combina $\frac{1}{3} x^{3}]_{1}^{2}$ y $2 x]_{1}^{2}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 2 x]_{1}^{2} - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2})$

Paso 3.9.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.9.2.1

Evalúa $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x$ en $2$ y en $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 2 \cdot 2) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1) - 2 (\frac{x^{2}}{2}]_{1}^{2})$

Paso 3.9.2.2

Evalúa $\frac{x^{2}}{2}$ en $2$ y en $1$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 2^{3} + 2 \cdot 2) - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 3.9.2.3

Simplifica.

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Paso 3.9.2.3.1

Eleva $2$ a la potencia de $3$ .

$\frac{1}{3} \cdot 8 + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 3.9.2.3.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $8$ .

$\frac{8}{3} + 2 \cdot 2 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 3.9.2.3.3

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{8}{3} + 4 - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 3.9.2.3.4

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 3.9.2.3.5

Combina $4$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 3.9.2.3.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{8 + 4 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 3.9.2.3.7

Simplifica el numerador.

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Paso 3.9.2.3.7.1

Multiplica $4$ por $3$ .

$\frac{8 + 12}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 3.9.2.3.7.2

Suma $8$ y $12$ .

$\frac{20}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 3.9.2.3.8

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{20}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \cdot 1) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 3.9.2.3.9

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{20}{3} - (\frac{1}{3} + 2 \cdot 1) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 3.9.2.3.10

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{20}{3} - (\frac{1}{3} + 2) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 3.9.2.3.11

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20}{3} - (\frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 3.9.2.3.12

Combina $2$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{20}{3} - (\frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3}) - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 3.9.2.3.13

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{20}{3} - \frac{1 + 2 \cdot 3}{3} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 3.9.2.3.14

Simplifica el numerador.

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Paso 3.9.2.3.14.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{20}{3} - \frac{1 + 6}{3} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 3.9.2.3.14.2

Suma $1$ y $6$ .

$\frac{20}{3} - \frac{7}{3} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 3.9.2.3.15

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{20 - 7}{3} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 3.9.2.3.16

Resta $7$ de $20$ .

$\frac{13}{3} - 2 ((\frac{2^{2}}{2}) - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 3.9.2.3.17

Eleva $2$ a la potencia de $2$ .

$\frac{13}{3} - 2 (\frac{4}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 3.9.2.3.18

Cancela el factor común de $4$ y $2$ .

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Paso 3.9.2.3.18.1

Factoriza $2$ de $4$ .

$\frac{13}{3} - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 3.9.2.3.18.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.9.2.3.18.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{13}{3} - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 (1)} - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 3.9.2.3.18.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{13}{3} - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2 \cdot 1} - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 3.9.2.3.18.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{13}{3} - 2 (\frac{2}{1} - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 3.9.2.3.18.2.4

Divide $2$ por $1$ .

$\frac{13}{3} - 2 (2 - \frac{1^{2}}{2})$

Paso 3.9.2.3.19

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{13}{3} - 2 (2 - \frac{1}{2})$

Paso 3.9.2.3.20

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{13}{3} - 2 (2 \cdot \frac{2}{2} - \frac{1}{2})$

Paso 3.9.2.3.21

Combina $2$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{13}{3} - 2 (\frac{2 \cdot 2}{2} - \frac{1}{2})$

Paso 3.9.2.3.22

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{13}{3} - 2 \frac{2 \cdot 2 - 1}{2}$

Paso 3.9.2.3.23

Simplifica el numerador.

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Paso 3.9.2.3.23.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{13}{3} - 2 \frac{4 - 1}{2}$

Paso 3.9.2.3.23.2

Resta $1$ de $4$ .

$\frac{13}{3} - 2 (\frac{3}{2})$

Paso 3.9.2.3.24

Combina $- 2$ y $\frac{3}{2}$ .

$\frac{13}{3} + \frac{- 2 \cdot 3}{2}$

Paso 3.9.2.3.25

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$\frac{13}{3} + \frac{- 6}{2}$

Paso 3.9.2.3.26

Cancela el factor común de $- 6$ y $2$ .

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Paso 3.9.2.3.26.1

Factoriza $2$ de $- 6$ .

$\frac{13}{3} + \frac{2 \cdot - 3}{2}$

Paso 3.9.2.3.26.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.9.2.3.26.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{13}{3} + \frac{2 \cdot - 3}{2 (1)}$

Paso 3.9.2.3.26.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{13}{3} + \frac{2 \cdot - 3}{2 \cdot 1}$

Paso 3.9.2.3.26.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{13}{3} + \frac{- 3}{1}$

Paso 3.9.2.3.26.2.4

Divide $- 3$ por $1$ .

$\frac{13}{3} - 3$

Paso 3.9.2.3.27

Para escribir $- 3$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{13}{3} - 3 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 3.9.2.3.28

Combina $- 3$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{13}{3} + \frac{- 3 \cdot 3}{3}$

Paso 3.9.2.3.29

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{13 - 3 \cdot 3}{3}$

Paso 3.9.2.3.30

Simplifica el numerador.

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Paso 3.9.2.3.30.1

Multiplica $- 3$ por $3$ .

$\frac{13 - 9}{3}$

Paso 3.9.2.3.30.2

Resta $9$ de $13$ .

$\frac{4}{3}$

Paso 4