Cálculo Ejemplos

$\sqrt{x - 9}$

Paso 1

Escribe $\sqrt{x - 9}$ como una función.

$f (x) = \sqrt{x - 9}$

Paso 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 2.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x - 9}$ como ${(x - 9)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{\frac{1}{2}}]$

Paso 2.1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x - 9$ .

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Paso 2.1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 9$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 9]$

Paso 2.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Paso 2.1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 9$ .

$\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Paso 2.1.1.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Paso 2.1.1.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Paso 2.1.1.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Paso 2.1.1.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.1.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Paso 2.1.1.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Paso 2.1.1.7

Combina fracciones.

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Paso 2.1.1.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(x - 9)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Paso 2.1.1.7.2

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x - 9)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Paso 2.1.1.7.3

Mueve ${(x - 9)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Paso 2.1.1.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Paso 2.1.1.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 9])$

Paso 2.1.1.10

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)$

Paso 2.1.1.11

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.1.11.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

Paso 2.1.1.11.2

Multiplica $\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ por $1$ .

$f' (x) = \frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.2.1

Diferencia con la regla del múltiplo constante.

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Paso 2.1.2.1.1

Como $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 9)}^{\frac{1}{2}}}]$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [\frac{1}{{(x - 9)}^{\frac{1}{2}}}]$

Paso 2.1.2.1.2

Aplica reglas básicas de exponentes.

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Paso 2.1.2.1.2.1

Reescribe $\frac{1}{{(x - 9)}^{\frac{1}{2}}}$ como ${({(x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{({(x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}]$

Paso 2.1.2.1.2.2

Multiplica los exponentes en ${({(x - 9)}^{\frac{1}{2}})}^{- 1}$ .

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Paso 2.1.2.1.2.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{\frac{1}{2} \cdot - 1}]$

Paso 2.1.2.1.2.2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $- 1$ .

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{\frac{- 1}{2}}]$

Paso 2.1.2.1.2.2.3

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [{(x - 9)}^{- \frac{1}{2}}]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{- \frac{1}{2}}$ y $g (x) = x - 9$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - 9$ .

$\frac{1}{2} (\frac{d}{d u} [u^{- \frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x - 9])$

Paso 2.1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = - \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} u^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Paso 2.1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - 9$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x - 9)}^{- \frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Paso 2.1.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x - 9)}^{- \frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Paso 2.1.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x - 9)}^{- \frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Paso 2.1.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{- 1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Paso 2.1.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.1.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{- 1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Paso 2.1.2.6.2

Resta $2$ de $- 1$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x - 9)}^{\frac{- 3}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Paso 2.1.2.7

Combina fracciones.

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Paso 2.1.2.7.1

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2} {(x - 9)}^{- \frac{3}{2}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Paso 2.1.2.7.2

Combina ${(x - 9)}^{- \frac{3}{2}}$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{{(x - 9)}^{- \frac{3}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Paso 2.1.2.7.3

Mueve ${(x - 9)}^{- \frac{3}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2} (- \frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 9])$

Paso 2.1.2.7.4

Multiplica $\frac{1}{2}$ por $\frac{1}{2 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{2 (2 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}})} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Paso 2.1.2.7.5

Multiplica $2$ por $2$ .

$- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}} \frac{d}{d x} [x - 9]$

Paso 2.1.2.8

Según la regla de la suma, la derivada de $x - 9$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9]$ .

$- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 9])$

Paso 2.1.2.9

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [- 9])$

Paso 2.1.2.10

Como $- 9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 9$ con respecto a $x$ es $0$ .

$- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}} (1 + 0)$

Paso 2.1.2.11

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.2.11.1

Suma $1$ y $0$ .

$- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}} \cdot 1$

Paso 2.1.2.11.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$f'' (x) = - \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 2.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}} = 0$ .

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Paso 2.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- \frac{1}{4 {(x - 9)}^{\frac{3}{2}}} = 0$

Paso 2.2.2

Establece el numerador igual a cero.

$1 = 0$

Paso 2.2.3

Como $1 \neq 0$ , no hay soluciones.

No hay solución

Paso 3

Obtén el dominio de $f (x) = \sqrt{x - 9}$ .

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Paso 3.1

Establece el radicando en $\sqrt{x - 9}$ mayor o igual que $0$ para obtener el lugar donde está definida la expresión.

$x - 9 \geq 0$

Paso 3.2

Suma $9$ a ambos lados de la desigualdad.

$x \geq 9$

Paso 3.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación de intervalo:

$[9, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \geq 9}$

Notación de intervalo:

$[9, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \geq 9}$

Paso 4

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$[9, \infty)$

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $[9, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $12$ en la expresión.

$f'' (12) = - \frac{1}{4 {((12) - 9)}^{\frac{3}{2}}}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Resta $9$ de $12$ .

$f'' (12) = - \frac{1}{4 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}$

Paso 5.2.2

La respuesta final es $- \frac{1}{4 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}$ .

$- \frac{1}{4 \cdot 3^{\frac{3}{2}}}$

Paso 5.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $[9, \infty)$ porque $f'' (12)$ es negativa.

Cóncavo en $[9, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 6