Cálculo Ejemplos

$3 \cos^{2} (x) - 6 \sin (x)$

Paso 1

Escribe $3 \cos^{2} (x) - 6 \sin (x)$ como una función.

$f (x) = 3 \cos^{2} (x) - 6 \sin (x)$

Paso 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 2.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $3 \cos^{2} (x) - 6 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

Paso 2.1.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [3 \cos^{2} (x)]$ .

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Paso 2.1.1.2.1

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 \cos^{2} (x)$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)]$ .

$3 \frac{d}{d x} [\cos^{2} (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

Paso 2.1.1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = \cos (x)$ .

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Paso 2.1.1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $\cos (x)$ .

$3 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

Paso 2.1.1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$3 (2 u \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

Paso 2.1.1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $\cos (x)$ .

$3 (2 \cos (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

Paso 2.1.1.2.3

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$3 (2 \cos (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

Paso 2.1.1.2.4

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$3 (- 2 \cos (x) \sin (x)) + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

Paso 2.1.1.2.5

Multiplica $- 2$ por $3$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) + \frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$

Paso 2.1.1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 \sin (x)]$ .

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Paso 2.1.1.3.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 2.1.1.3.2

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$f' (x) = - 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$

Paso 2.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 6 \cos (x) \sin (x) - 6 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 6 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [- 6 \cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Paso 2.1.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 \cos (x) \sin (x)]$ .

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Paso 2.1.2.2.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 \cos (x) \sin (x)$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)]$ .

$- 6 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (x)] + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Paso 2.1.2.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \cos (x)$ y $g (x) = \sin (x)$ .

$- 6 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Paso 2.1.2.2.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$- 6 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Paso 2.1.2.2.4

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- 6 (\cos (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Paso 2.1.2.2.5

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$- 6 (\cos^{1} (x) \cos (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Paso 2.1.2.2.6

Eleva $\cos (x)$ a la potencia de $1$ .

$- 6 (\cos^{1} (x) \cos^{1} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Paso 2.1.2.2.7

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 6 ({\cos (x)}^{1 + 1} + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Paso 2.1.2.2.8

Suma $1$ y $1$ .

$- 6 (\cos^{2} (x) + \sin (x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Paso 2.1.2.2.9

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$- 6 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Paso 2.1.2.2.10

Eleva $\sin (x)$ a la potencia de $1$ .

$- 6 (\cos^{2} (x) - (\sin^{1} (x) \sin^{1} (x))) + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Paso 2.1.2.2.11

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$- 6 (\cos^{2} (x) - {\sin (x)}^{1 + 1}) + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Paso 2.1.2.2.12

Suma $1$ y $1$ .

$- 6 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + \frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$

Paso 2.1.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 6 \cos (x)]$ .

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Paso 2.1.2.3.1

Como $- 6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 6 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- 6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$- 6 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 6 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 2.1.2.3.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$- 6 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) - 6 (- \sin (x))$

Paso 2.1.2.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$- 6 (\cos^{2} (x) - \sin^{2} (x)) + 6 \sin (x)$

Paso 2.1.2.4

Simplifica.

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Paso 2.1.2.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 6 \cos^{2} (x) - 6 (- \sin^{2} (x)) + 6 \sin (x)$

Paso 2.1.2.4.2

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$f'' (x) = - 6 \cos^{2} (x) + 6 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x)$

Paso 2.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $- 6 \cos^{2} (x) + 6 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x)$ .

$- 6 \cos^{2} (x) + 6 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x)$

Paso 2.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- 6 \cos^{2} (x) + 6 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x) = 0$ .

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Paso 2.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$- 6 \cos^{2} (x) + 6 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x) = 0$

Paso 2.2.2

Reemplaza $- 6 \cos^{2} (x)$ con $- 6 (1 - \sin^{2} (x))$ según la identidad de $\sin^{2} (x) + \cos^{2} (x) = 1$ .

$- 6 (1 - \sin^{2} (x)) + 6 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x) = 0$

Paso 2.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$- 6 \cdot 1 - 6 (- \sin^{2} (x)) + 6 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x) = 0$

Paso 2.2.3.2

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$- 6 - 6 (- \sin^{2} (x)) + 6 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x) = 0$

Paso 2.2.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 6$ .

$- 6 + 6 \sin^{2} (x) + 6 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x) = 0$

Paso 2.2.4

Suma $6 \sin^{2} (x)$ y $6 \sin^{2} (x)$ .

$- 6 + 12 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x) = 0$

Paso 2.2.5

Reordena el polinomio.

$12 \sin^{2} (x) + 6 \sin (x) - 6 = 0$

Paso 2.2.6

Sustituye $u$ por $\sin (x)$ .

$12 {(u)}^{2} + 6 (u) - 6 = 0$

Paso 2.2.7

Factoriza el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 2.2.7.1

Factoriza $6$ de $12 u^{2} + 6 u - 6$ .

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Paso 2.2.7.1.1

Factoriza $6$ de $12 u^{2}$ .

$6 (2 u^{2}) + 6 u - 6 = 0$

Paso 2.2.7.1.2

Factoriza $6$ de $6 u$ .

$6 (2 u^{2}) + 6 u - 6 = 0$

Paso 2.2.7.1.3

Factoriza $6$ de $- 6$ .

$6 (2 u^{2}) + 6 u + 6 (- 1) = 0$

Paso 2.2.7.1.4

Factoriza $6$ de $6 (2 u^{2}) + 6 u$ .

$6 (2 u^{2} + u) + 6 (- 1) = 0$

Paso 2.2.7.1.5

Factoriza $6$ de $6 (2 u^{2} + u) + 6 (- 1)$ .

$6 (2 u^{2} + u - 1) = 0$

Paso 2.2.7.2

Factoriza.

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Paso 2.2.7.2.1

Factoriza por agrupación.

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Paso 2.2.7.2.1.1

Para un polinomio de la forma $a x^{2} + b x + c$ , reescribe el término medio como una suma de dos términos cuyo producto es $a \cdot c = 2 \cdot - 1 = - 2$ y cuya suma es $b = 1$ .

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Paso 2.2.7.2.1.1.1

Multiplica por $1$ .

$6 (2 u^{2} + 1 u - 1) = 0$

Paso 2.2.7.2.1.1.2

Reescribe $1$ como $- 1$ más $2$

$6 (2 u^{2} + (- 1 + 2) u - 1) = 0$

Paso 2.2.7.2.1.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$6 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Paso 2.2.7.2.1.2

Factoriza el máximo común divisor de cada grupo.

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Paso 2.2.7.2.1.2.1

Agrupa los dos primeros términos y los dos últimos términos.

$6 (2 u^{2} - 1 u + 2 u - 1) = 0$

Paso 2.2.7.2.1.2.2

Factoriza el máximo común divisor (MCD) de cada grupo.

$6 (u (2 u - 1) + 1 (2 u - 1)) = 0$

Paso 2.2.7.2.1.3

Factoriza el polinomio mediante la factorización del máximo común divisor, $2 u - 1$ .

$6 ((2 u - 1) (u + 1)) = 0$

Paso 2.2.7.2.2

Elimina los paréntesis innecesarios.

$6 (2 u - 1) (u + 1) = 0$

Paso 2.2.8

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

$u + 1 = 0$

Paso 2.2.9

Establece $2 u - 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 2.2.9.1

Establece $2 u - 1$ igual a $0$ .

$2 u - 1 = 0$

Paso 2.2.9.2

Resuelve $2 u - 1 = 0$ en $u$ .

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Paso 2.2.9.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$2 u = 1$

Paso 2.2.9.2.2

Divide cada término en $2 u = 1$ por $2$ y simplifica.

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Paso 2.2.9.2.2.1

Divide cada término en $2 u = 1$ por $2$ .

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 2.2.9.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.9.2.2.2.1

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.9.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{2 u}{2} = \frac{1}{2}$

Paso 2.2.9.2.2.2.1.2

Divide $u$ por $1$ .

$u = \frac{1}{2}$

Paso 2.2.10

Establece $u + 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 2.2.10.1

Establece $u + 1$ igual a $0$ .

$u + 1 = 0$

Paso 2.2.10.2

Resta $1$ de ambos lados de la ecuación.

$u = - 1$

Paso 2.2.11

La solución final comprende todos los valores que hacen $6 (2 u - 1) (u + 1) = 0$ verdadera.

$u = \frac{1}{2}, - 1$

Paso 2.2.12

Sustituye $\sin (x)$ por $u$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}, - 1$

Paso 2.2.13

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\sin (x) = \frac{1}{2}$

$\sin (x) = - 1$

Paso 2.2.14

Resuelve $x$ en $\sin (x) = \frac{1}{2}$ .

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Paso 2.2.14.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (\frac{1}{2})$

Paso 2.2.14.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.14.2.1

El valor exacto de $\arcsin (\frac{1}{2})$ es $\frac{π}{6}$ .

$x = \frac{π}{6}$

Paso 2.2.14.3

La función seno es positiva en el primer y el segundo cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta el ángulo de referencia de $π$ para obtener la solución en el segundo cuadrante.

$x = π - \frac{π}{6}$

Paso 2.2.14.4

Simplifica $π - \frac{π}{6}$ .

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Paso 2.2.14.4.1

Para escribir $π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{6}{6}$ .

$x = π \cdot \frac{6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 2.2.14.4.2

Combina fracciones.

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Paso 2.2.14.4.2.1

Combina $π$ y $\frac{6}{6}$ .

$x = \frac{π \cdot 6}{6} - \frac{π}{6}$

Paso 2.2.14.4.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = \frac{π \cdot 6 - π}{6}$

Paso 2.2.14.4.3

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.14.4.3.1

Mueve $6$ a la izquierda de $π$ .

$x = \frac{6 \cdot π - π}{6}$

Paso 2.2.14.4.3.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$x = \frac{5 π}{6}$

Paso 2.2.14.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 2.2.14.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.2.14.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 2.2.14.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 2.2.14.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 2.2.14.6

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.2.15

Resuelve $x$ en $\sin (x) = - 1$ .

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Paso 2.2.15.1

Resta la inversa de seno de ambos lados de la ecuación para extraer $x$ del interior de seno.

$x = \arcsin (- 1)$

Paso 2.2.15.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 2.2.15.2.1

El valor exacto de $\arcsin (- 1)$ es $- \frac{π}{2}$ .

$x = - \frac{π}{2}$

Paso 2.2.15.3

La función seno es negativa en el tercer y el cuarto cuadrante. Para obtener la segunda solución, resta la solución de $2 π$ para obtener un ángulo de referencia. A continuación, suma este ángulo de referencia a $π$ para obtener la solución en el tercer cuadrante.

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π$

Paso 2.2.15.4

Simplifica la expresión para obtener la segunda solución.

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Paso 2.2.15.4.1

Resta $2 π$ de $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = 2 π + \frac{π}{2} + π - 2 π$

Paso 2.2.15.4.2

El ángulo resultante de $\frac{3 π}{2}$ es positivo, menor que $2 π$ y coterminal con $2 π + \frac{π}{2} + π$ .

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 2.2.15.5

Obtén el período de $\sin (x)$ .

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Paso 2.2.15.5.1

El período de la función puede calcularse mediante $\frac{2 π}{| b |}$ .

$\frac{2 π}{| b |}$

Paso 2.2.15.5.2

Reemplaza $b$ con $1$ en la fórmula para el período.

$\frac{2 π}{| 1 |}$

Paso 2.2.15.5.3

El valor absoluto es la distancia entre un número y cero. La distancia entre $0$ y $1$ es $1$ .

$\frac{2 π}{1}$

Paso 2.2.15.5.4

Divide $2 π$ por $1$ .

$2 π$

Paso 2.2.15.6

Suma $2 π$ a todos los ángulos negativos para obtener ángulos positivos.

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Paso 2.2.15.6.1

Suma $2 π$ y $- \frac{π}{2}$ para obtener el ángulo positivo.

$- \frac{π}{2} + 2 π$

Paso 2.2.15.6.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$2 π \cdot \frac{2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 2.2.15.6.3

Combina fracciones.

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Paso 2.2.15.6.3.1

Combina $2 π$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{2 π \cdot 2}{2} - \frac{π}{2}$

Paso 2.2.15.6.3.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2 π \cdot 2 - π}{2}$

Paso 2.2.15.6.4

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.15.6.4.1

Multiplica $2$ por $2$ .

$\frac{4 π - π}{2}$

Paso 2.2.15.6.4.2

Resta $π$ de $4 π$ .

$\frac{3 π}{2}$

Paso 2.2.15.6.5

Enumera los nuevos ángulos.

$x = \frac{3 π}{2}$

Paso 2.2.15.7

El período de la función $\sin (x)$ es $2 π$ , por lo que los valores se repetirán cada $2 π$ radianes en ambas direcciones.

$x = \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.2.16

Enumera todas las soluciones.

$x = \frac{π}{6} + 2 π n, \frac{5 π}{6} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n, \frac{3 π}{2} + 2 π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 2.2.17

Consolida las respuestas.

$x = \frac{π}{6} + \frac{2 π n}{3}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3

El dominio de la expresión son todos números reales, excepto cuando la expresión no está definida. En ese caso, no hay ningún número real que haga que la expresión sea indefinida.

Notación de intervalo:

$(- \infty, \infty)$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \in ℝ}$

Paso 4

Crea intervalos alrededor de los valores de $x$ donde la segunda derivada es cero o indefinida.

$(- \infty, \infty)$

Paso 5

Sustituye cualquier número del intervalo $(- \infty, \infty)$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f'' (0) = - 6 \cos^{2} (0) + 6 \sin^{2} (0) + 6 \sin (0)$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1.1

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$f'' (0) = - 6 \cdot 1^{2} + 6 \sin^{2} (0) + 6 \sin (0)$

Paso 5.2.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$f'' (0) = - 6 \cdot 1 + 6 \sin^{2} (0) + 6 \sin (0)$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $- 6$ por $1$ .

$f'' (0) = - 6 + 6 \sin^{2} (0) + 6 \sin (0)$

Paso 5.2.1.4

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$f'' (0) = - 6 + 6 \cdot 0^{2} + 6 \sin (0)$

Paso 5.2.1.5

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$f'' (0) = - 6 + 6 \cdot 0 + 6 \sin (0)$

Paso 5.2.1.6

Multiplica $6$ por $0$ .

$f'' (0) = - 6 + 0 + 6 \sin (0)$

Paso 5.2.1.7

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$f'' (0) = - 6 + 0 + 6 \cdot 0$

Paso 5.2.1.8

Multiplica $6$ por $0$ .

$f'' (0) = - 6 + 0 + 0$

Paso 5.2.2

Simplifica mediante la adición de números.

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Paso 5.2.2.1

Suma $- 6$ y $0$ .

$f'' (0) = - 6 + 0$

Paso 5.2.2.2

Suma $- 6$ y $0$ .

$f'' (0) = - 6$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $- 6$ .

$- 6$

Paso 5.3

La gráfica es cóncava en el intervalo $(- \infty, \infty)$ porque $f'' (0)$ es negativa.

Cóncavo en $(- \infty, \infty)$ dado que $f'' (x)$ es negativo

Paso 6