Cálculo Ejemplos

$6 \sec (x - \frac{π}{2})$

Paso 1

Escribe $6 \sec (x - \frac{π}{2})$ como una función.

$f (x) = 6 \sec (x - \frac{π}{2})$

Paso 2

Find the $x$ values where the second derivative is equal to $0$ .

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Paso 2.1

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.1

Obtén la primera derivada.

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Paso 2.1.1.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 \sec (x - \frac{π}{2})$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})]$

Paso 2.1.1.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = x - \frac{π}{2}$ .

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Paso 2.1.1.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x - \frac{π}{2}$ .

$6 (\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])$

Paso 2.1.1.2.2

La derivada de $\sec (u)$ con respecto a $u$ es $\sec (u) \tan (u)$ .

$6 (\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])$

Paso 2.1.1.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x - \frac{π}{2}$ .

$6 (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}])$

Paso 2.1.1.3

Diferencia.

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Paso 2.1.1.3.1

Según la regla de la suma, la derivada de $x - \frac{π}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ .

$6 \sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

Paso 2.1.1.3.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 \sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}])$

Paso 2.1.1.3.3

Como $- \frac{π}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{π}{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 \sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (1 + 0)$

Paso 2.1.1.3.4

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.1.3.4.1

Suma $1$ y $0$ .

$6 \sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) \cdot 1$

Paso 2.1.1.3.4.2

Multiplica $6$ por $1$ .

$f' (x) = 6 \sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})$

Paso 2.1.2

Obtener la segunda derivada.

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Paso 2.1.2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 \sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2})]$

Paso 2.1.2.2

Diferencia con la regla del producto, que establece que $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ es $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ donde $f (x) = \sec (x - \frac{π}{2})$ y $g (x) = \tan (x - \frac{π}{2})$ .

$6 (\sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\tan (x - \frac{π}{2})] + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Paso 2.1.2.3

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \tan (x)$ y $g (x) = x - \frac{π}{2}$ .

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Paso 2.1.2.3.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{1}$ como $x - \frac{π}{2}$ .

$6 (\sec (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d u_{1}} [\tan (u_{1})] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Paso 2.1.2.3.2

La derivada de $\tan (u_{1})$ con respecto a $u_{1}$ es $\sec^{2} (u_{1})$ .

$6 (\sec (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (u_{1}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Paso 2.1.2.3.3

Reemplaza todos los casos de $u_{1}$ con $x - \frac{π}{2}$ .

$6 (\sec (x - \frac{π}{2}) (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Paso 2.1.2.4

Eleva $\sec (x - \frac{π}{2})$ a la potencia de $1$ .

$6 (\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec^{1} (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}] + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Paso 2.1.2.5

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$6 ({\sec (x - \frac{π}{2})}^{2 + 1} \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}] + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Paso 2.1.2.6

Diferencia.

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Paso 2.1.2.6.1

Suma $2$ y $1$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}] + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Paso 2.1.2.6.2

Según la regla de la suma, la derivada de $x - \frac{π}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Paso 2.1.2.6.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Paso 2.1.2.6.4

Como $- \frac{π}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{π}{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) (1 + 0) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Paso 2.1.2.6.5

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.2.6.5.1

Suma $1$ y $0$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) \cdot 1 + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Paso 2.1.2.6.5.2

Multiplica $\sec^{3} (x - \frac{π}{2})$ por $1$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [\sec (x - \frac{π}{2})])$

Paso 2.1.2.7

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sec (x)$ y $g (x) = x - \frac{π}{2}$ .

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Paso 2.1.2.7.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u_{2}$ como $x - \frac{π}{2}$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d u_{2}} [\sec (u_{2})] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]))$

Paso 2.1.2.7.2

La derivada de $\sec (u_{2})$ con respecto a $u_{2}$ es $\sec (u_{2}) \tan (u_{2})$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan (x - \frac{π}{2}) (\sec (u_{2}) \tan (u_{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]))$

Paso 2.1.2.7.3

Reemplaza todos los casos de $u_{2}$ con $x - \frac{π}{2}$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]))$

Paso 2.1.2.8

Eleva $\tan (x - \frac{π}{2})$ a la potencia de $1$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{1} (x - \frac{π}{2}) \tan (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]))$

Paso 2.1.2.9

Eleva $\tan (x - \frac{π}{2})$ a la potencia de $1$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{1} (x - \frac{π}{2}) \tan^{1} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]))$

Paso 2.1.2.10

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + {\tan (x - \frac{π}{2})}^{1 + 1} (\sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]))$

Paso 2.1.2.11

Suma $1$ y $1$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) (\sec (x - \frac{π}{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{2}]))$

Paso 2.1.2.12

Según la regla de la suma, la derivada de $x - \frac{π}{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]))$

Paso 2.1.2.13

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{2}]))$

Paso 2.1.2.14

Como $- \frac{π}{2}$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- \frac{π}{2}$ con respecto a $x$ es $0$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) (1 + 0))$

Paso 2.1.2.15

Simplifica la expresión.

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Paso 2.1.2.15.1

Suma $1$ y $0$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) \cdot 1)$

Paso 2.1.2.15.2

Multiplica $\tan^{2} (x - \frac{π}{2})$ por $1$ .

$6 (\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}))$

Paso 2.1.2.16

Simplifica.

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Paso 2.1.2.16.1

Aplica la propiedad distributiva.

$6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) + 6 (\tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}))$

Paso 2.1.2.16.2

Reordena los términos.

$f'' (x) = 6 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2})$

Paso 2.1.3

La segunda derivada de $f (x)$ con respecto a $x$ es $6 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2})$ .

$6 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2})$

Paso 2.2

Establece la segunda derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $6 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) = 0$ .

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Paso 2.2.1

Establece la segunda derivada igual a $0$ .

$6 \tan^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) = 0$

Paso 2.2.2

Reemplaza $\tan^{2} (x - \frac{π}{2})$ con $\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) - 1$ según la identidad de $\tan^{2} (x) + 1 = \sec^{2} (x)$ .

$(\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) - 1) \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) = 0$

Paso 2.2.3

Simplifica cada término.

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Paso 2.2.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) - 1 \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) = 0$

Paso 2.2.3.2

Multiplica $\sec^{2} (x - \frac{π}{2})$ por $\sec (x - \frac{π}{2})$ sumando los exponentes.

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Paso 2.2.3.2.1

Multiplica $\sec^{2} (x - \frac{π}{2})$ por $\sec (x - \frac{π}{2})$ .

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Paso 2.2.3.2.1.1

Eleva $\sec (x - \frac{π}{2})$ a la potencia de $1$ .

$\sec^{2} (x - \frac{π}{2}) \sec (x - \frac{π}{2}) - 1 \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) = 0$

Paso 2.2.3.2.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${\sec (x - \frac{π}{2})}^{2 + 1} - 1 \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) = 0$

Paso 2.2.3.2.2

Suma $2$ y $1$ .

$\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) - 1 \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) = 0$

Paso 2.2.3.3

Reescribe $- 1 \sec (x - \frac{π}{2})$ como $- \sec (x - \frac{π}{2})$ .

$\sec^{3} (x - \frac{π}{2}) - \sec (x - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) = 0$

Paso 2.2.4

Suma $\sec^{3} (x - \frac{π}{2})$ y $6 \sec^{3} (x - \frac{π}{2})$ .

$7 \sec^{3} (x - \frac{π}{2}) - \sec (x - \frac{π}{2}) = 0$

Paso 2.2.5

Sustituye $u$ por $\sec (x - \frac{π}{2})$ .

$7 {(u)}^{3} - (u) = 0$

Paso 2.2.6

Factoriza $u$ de $7 u^{3} - u$ .

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Paso 2.2.6.1

Factoriza $u$ de $7 u^{3}$ .

$u (7 u^{2}) - u = 0$

Paso 2.2.6.2

Factoriza $u$ de $- u$ .

$u (7 u^{2}) + u \cdot - 1 = 0$

Paso 2.2.6.3

Factoriza $u$ de $u (7 u^{2}) + u \cdot - 1$ .

$u (7 u^{2} - 1) = 0$

Paso 2.2.7

Si cualquier factor individual en el lado izquierdo de la ecuación es igual a $0$ , la expresión completa será igual a $0$ .

$u = 0$

$7 u^{2} - 1 = 0$

Paso 2.2.8

Establece $u$ igual a $0$ .

$u = 0$

Paso 2.2.9

Establece $7 u^{2} - 1$ igual a $0$ y resuelve $u$ .

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Paso 2.2.9.1

Establece $7 u^{2} - 1$ igual a $0$ .

$7 u^{2} - 1 = 0$

Paso 2.2.9.2

Resuelve $7 u^{2} - 1 = 0$ en $u$ .

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Paso 2.2.9.2.1

Suma $1$ a ambos lados de la ecuación.

$7 u^{2} = 1$

Paso 2.2.9.2.2

Divide cada término en $7 u^{2} = 1$ por $7$ y simplifica.

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Paso 2.2.9.2.2.1

Divide cada término en $7 u^{2} = 1$ por $7$ .

$\frac{7 u^{2}}{7} = \frac{1}{7}$

Paso 2.2.9.2.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 2.2.9.2.2.2.1

Cancela el factor común de $7$ .

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Paso 2.2.9.2.2.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{7 u^{2}}{7} = \frac{1}{7}$

Paso 2.2.9.2.2.2.1.2

Divide $u^{2}$ por $1$ .

$u^{2} = \frac{1}{7}$

Paso 2.2.9.2.3

Calcula la raíz especificada de ambos lados de la ecuación para eliminar el exponente en el lado izquierdo.

$u = \pm \sqrt{\frac{1}{7}}$

Paso 2.2.9.2.4

Simplifica $\pm \sqrt{\frac{1}{7}}$ .

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Paso 2.2.9.2.4.1

Reescribe $\sqrt{\frac{1}{7}}$ como $\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{7}}$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{7}}$

Paso 2.2.9.2.4.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$u = \pm \frac{1}{\sqrt{7}}$

Paso 2.2.9.2.4.3

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{7}}$ por $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$u = \pm \frac{1}{\sqrt{7}} \cdot \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$

Paso 2.2.9.2.4.4

Combina y simplifica el denominador.

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Paso 2.2.9.2.4.4.1

Multiplica $\frac{1}{\sqrt{7}}$ por $\frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7}}$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{\sqrt{7} \sqrt{7}}$

Paso 2.2.9.2.4.4.2

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} \sqrt{7}}$

Paso 2.2.9.2.4.4.3

Eleva $\sqrt{7}$ a la potencia de $1$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1} {\sqrt{7}}^{1}}$

Paso 2.2.9.2.4.4.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{1 + 1}}$

Paso 2.2.9.2.4.4.5

Suma $1$ y $1$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{{\sqrt{7}}^{2}}$

Paso 2.2.9.2.4.4.6

Reescribe ${\sqrt{7}}^{2}$ como $7$ .

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Paso 2.2.9.2.4.4.6.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{7}$ como $7^{\frac{1}{2}}$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{{(7^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Paso 2.2.9.2.4.4.6.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Paso 2.2.9.2.4.4.6.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $2$ .

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.2.9.2.4.4.6.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.2.9.2.4.4.6.4.1

Cancela el factor común.

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{7^{\frac{2}{2}}}$

Paso 2.2.9.2.4.4.6.4.2

Reescribe la expresión.

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{7^{1}}$

Paso 2.2.9.2.4.4.6.5

Evalúa el exponente.

$u = \pm \frac{\sqrt{7}}{7}$

Paso 2.2.9.2.5

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 2.2.9.2.5.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$u = \frac{\sqrt{7}}{7}$

Paso 2.2.9.2.5.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$u = - \frac{\sqrt{7}}{7}$

Paso 2.2.9.2.5.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$u = \frac{\sqrt{7}}{7}, - \frac{\sqrt{7}}{7}$

Paso 2.2.10

La solución final comprende todos los valores que hacen $u (7 u^{2} - 1) = 0$ verdadera.

$u = 0, \frac{\sqrt{7}}{7}, - \frac{\sqrt{7}}{7}$

Paso 2.2.11

Sustituye $\sec (x - \frac{π}{2})$ por $u$ .

$\sec (x - \frac{π}{2}) = 0, \frac{\sqrt{7}}{7}, - \frac{\sqrt{7}}{7}$

Paso 2.2.12

Establece cada una de las soluciones para obtener el valor de $x$ .

$\sec (x - \frac{π}{2}) = 0$

$\sec (x - \frac{π}{2}) = \frac{\sqrt{7}}{7}$

$\sec (x - \frac{π}{2}) = - \frac{\sqrt{7}}{7}$

Paso 2.2.13

Resuelve $x$ en $\sec (x - \frac{π}{2}) = 0$ .

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Paso 2.2.13.1

El rango de la secante es $y \leq - 1$ y $y \geq 1$ . Como $0$ no cae en este rango, no hay solución.

No hay solución

Paso 2.2.14

Resuelve $x$ en $\sec (x - \frac{π}{2}) = \frac{\sqrt{7}}{7}$ .

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Paso 2.2.14.1

El rango de la secante es $y \leq - 1$ y $y \geq 1$ . Como $\frac{\sqrt{7}}{7}$ no cae en este rango, no hay solución.

No hay solución

Paso 2.2.15

Resuelve $x$ en $\sec (x - \frac{π}{2}) = - \frac{\sqrt{7}}{7}$ .

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Paso 2.2.15.1

El rango de la secante es $y \leq - 1$ y $y \geq 1$ . Como $- \frac{\sqrt{7}}{7}$ no cae en este rango, no hay solución.

No hay solución

Paso 3

Obtén el dominio de $f (x) = 6 \sec (x - \frac{π}{2})$ .

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Paso 3.1

Establece el argumento en $\sec (x - \frac{π}{2})$ igual que $\frac{π}{2} + π n$ para obtener el lugar donde no está definida la expresión.

$x - \frac{π}{2} = \frac{π}{2} + π n$ , para cualquier número entero $n$

Paso 3.2

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Suma $\frac{π}{2}$ a ambos lados de la ecuación.

$x = \frac{π}{2} + π n + \frac{π}{2}$

Paso 3.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$x = π n + \frac{π + π}{2}$

Paso 3.2.3

Suma $π$ y $π$ .

$x = π n + \frac{2 π}{2}$

Paso 3.2.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 3.2.4.1

Cancela el factor común.

$x = π n + \frac{2 π}{2}$

Paso 3.2.4.2

Divide $π$ por $1$ .

$x = π n + π$

Paso 3.3

El dominio son todos los valores de $x$ que hacen que la expresión sea definida.

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq π n + π}$ , para cualquier número entero $n$

Notación del constructor de conjuntos:

${x | x \neq π n + π}$ , para cualquier número entero $n$

Paso 4

Sustituye cualquier número del intervalo ${x | x \neq π n + π}$ en la segunda derivada y evalúa para determinar la concavidad.

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $N a N$ en la expresión.

$f'' (N a N) = 6 \tan^{2} ((N a N) - \frac{π}{2}) \sec ((N a N) - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} ((N a N) - \frac{π}{2})$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Multiplica $N$ por $N$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.1.1.1

Mueve $N$ .

$f'' (N a N) = 6 \tan^{2} (N \cdot N a - \frac{π}{2}) \sec ((N a N) - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} ((N a N) - \frac{π}{2})$

Paso 4.2.1.1.2

Multiplica $N$ por $N$ .

$f'' (N a N) = 6 \tan^{2} (N^{2} a - \frac{π}{2}) \sec ((N a N) - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} ((N a N) - \frac{π}{2})$

Paso 4.2.1.2

Multiplica $N$ por $N$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.1.2.1

Mueve $N$ .

$f'' (N a N) = 6 \tan^{2} (N^{2} a - \frac{π}{2}) \sec (N \cdot N a - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} ((N a N) - \frac{π}{2})$

Paso 4.2.1.2.2

Multiplica $N$ por $N$ .

$f'' (N a N) = 6 \tan^{2} (N^{2} a - \frac{π}{2}) \sec (N^{2} a - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} ((N a N) - \frac{π}{2})$

Paso 4.2.1.3

Multiplica $N$ por $N$ sumando los exponentes.

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Paso 4.2.1.3.1

Mueve $N$ .

$f'' (N a N) = 6 \tan^{2} (N^{2} a - \frac{π}{2}) \sec (N^{2} a - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (N \cdot N a - \frac{π}{2})$

Paso 4.2.1.3.2

Multiplica $N$ por $N$ .

$f'' (N a N) = 6 \tan^{2} (N^{2} a - \frac{π}{2}) \sec (N^{2} a - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (N^{2} a - \frac{π}{2})$

Paso 4.2.2

La respuesta final es $6 \tan^{2} (N^{2} a - \frac{π}{2}) \sec (N^{2} a - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (N^{2} a - \frac{π}{2})$ .

$6 \tan^{2} (N^{2} a - \frac{π}{2}) \sec (N^{2} a - \frac{π}{2}) + 6 \sec^{3} (N^{2} a - \frac{π}{2})$

Paso 4.3

La gráfica es convexa en el intervalo ${x | x \neq π n + π}$ porque $f'' (N a N)$ es positiva.

Convexo en ${x | x \neq π n + π}$ dado que $f'' (x)$ es positivo

Paso 5