Cálculo Ejemplos

$y = 6 \sec (x) - 12 \cos (x)$ , $(\frac{π}{3}, 6)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = \frac{π}{3}$ y $y = 6$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $6 \sec (x) - 12 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [6 \sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [6 \sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (x)]$

Paso 1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [6 \sec (x)]$ .

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Paso 1.2.1

Como $6$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $6 \sec (x)$ con respecto a $x$ es $6 \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ .

$6 \frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (x)]$

Paso 1.2.2

La derivada de $\sec (x)$ con respecto a $x$ es $\sec (x) \tan (x)$ .

$6 \sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [- 12 \cos (x)]$

Paso 1.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 12 \cos (x)]$ .

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Paso 1.3.1

Como $- 12$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 12 \cos (x)$ con respecto a $x$ es $- 12 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$ .

$6 \sec (x) \tan (x) - 12 \frac{d}{d x} [\cos (x)]$

Paso 1.3.2

La derivada de $\cos (x)$ con respecto a $x$ es $- \sin (x)$ .

$6 \sec (x) \tan (x) - 12 (- \sin (x))$

Paso 1.3.3

Multiplica $- 1$ por $- 12$ .

$6 \sec (x) \tan (x) + 12 \sin (x)$

Paso 1.4

Evalúa la derivada en $x = \frac{π}{3}$ .

$6 \sec (\frac{π}{3}) \tan (\frac{π}{3}) + 12 \sin (\frac{π}{3})$

Paso 1.5

Simplifica.

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Paso 1.5.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1.1

El valor exacto de $\sec (\frac{π}{3})$ es $2$ .

$6 \cdot 2 \tan (\frac{π}{3}) + 12 \sin (\frac{π}{3})$

Paso 1.5.1.2

Multiplica $6$ por $2$ .

$12 \tan (\frac{π}{3}) + 12 \sin (\frac{π}{3})$

Paso 1.5.1.3

El valor exacto de $\tan (\frac{π}{3})$ es $\sqrt{3}$ .

$12 \sqrt{3} + 12 \sin (\frac{π}{3})$

Paso 1.5.1.4

El valor exacto de $\sin (\frac{π}{3})$ es $\frac{\sqrt{3}}{2}$ .

$12 \sqrt{3} + 12 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 1.5.1.5

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.5.1.5.1

Factoriza $2$ de $12$ .

$12 \sqrt{3} + 2 (6) \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 1.5.1.5.2

Cancela el factor común.

$12 \sqrt{3} + 2 \cdot 6 \frac{\sqrt{3}}{2}$

Paso 1.5.1.5.3

Reescribe la expresión.

$12 \sqrt{3} + 6 \sqrt{3}$

Paso 1.5.2

Suma $12 \sqrt{3}$ y $6 \sqrt{3}$ .

$18 \sqrt{3}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $18 \sqrt{3}$ y un punto dado $(\frac{π}{3}, 6)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (6) = 18 \sqrt{3} \cdot (x - (\frac{π}{3}))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 6 = 18 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $18 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 6 = 0 + 0 + 18 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 6 = 18 \sqrt{3} \cdot (x - \frac{π}{3})$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 6 = 18 \sqrt{3} x + 18 \sqrt{3} (- \frac{π}{3})$

Paso 2.3.1.4

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 2.3.1.4.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{3}$ al numerador.

$y - 6 = 18 \sqrt{3} x + 18 \sqrt{3} \frac{- π}{3}$

Paso 2.3.1.4.2

Factoriza $3$ de $18 \sqrt{3}$ .

$y - 6 = 18 \sqrt{3} x + 3 (6 \sqrt{3}) \frac{- π}{3}$

Paso 2.3.1.4.3

Cancela el factor común.

$y - 6 = 18 \sqrt{3} x + 3 (6 \sqrt{3}) \frac{- π}{3}$

Paso 2.3.1.4.4

Reescribe la expresión.

$y - 6 = 18 \sqrt{3} x + 6 \sqrt{3} (- π)$

Paso 2.3.1.5

Multiplica $- 1$ por $6$ .

$y - 6 = 18 \sqrt{3} x - 6 \sqrt{3} π$

Paso 2.3.2

Suma $6$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 18 \sqrt{3} x - 6 \sqrt{3} π + 6$

Paso 3