Cálculo Ejemplos

$y = 9 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}}$ ; $x = 9$

Paso 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 9$ .

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Paso 1.1

Sustituye $9$ por $x$ .

$y = 9 {(9)}^{\frac{1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 1.2

Resuelve $y$

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Paso 1.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 9 \cdot 9^{\frac{1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 1.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = 9 \cdot 9^{\frac{1}{2}} + 9^{\frac{3}{2}}$

Paso 1.2.3

Elimina los paréntesis.

$y = 9 {(9)}^{\frac{1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 1.2.4

Simplifica $9 {(9)}^{\frac{1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 1.2.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.1.1

Multiplica $9$ por ${(9)}^{\frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 1.2.4.1.1.1

Multiplica $9$ por ${(9)}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 1.2.4.1.1.1.1

Eleva $9$ a la potencia de $1$ .

$y = 9^{1} {(9)}^{\frac{1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 1.2.4.1.1.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$y = 9^{1 + \frac{1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 1.2.4.1.1.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$y = 9^{\frac{2}{2} + \frac{1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 1.2.4.1.1.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = 9^{\frac{2 + 1}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 1.2.4.1.1.4

Suma $2$ y $1$ .

$y = 9^{\frac{3}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 1.2.4.1.2

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$y = {(3^{2})}^{\frac{3}{2}} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 1.2.4.1.3

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 3^{2 (\frac{3}{2})} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 1.2.4.1.4

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.4.1.4.1

Cancela el factor común.

$y = 3^{2 (\frac{3}{2})} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 1.2.4.1.4.2

Reescribe la expresión.

$y = 3^{3} + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 1.2.4.1.5

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$y = 27 + {(9)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 1.2.4.1.6

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$y = 27 + {(3^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Paso 1.2.4.1.7

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 27 + 3^{2 (\frac{3}{2})}$

Paso 1.2.4.1.8

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.4.1.8.1

Cancela el factor común.

$y = 27 + 3^{2 (\frac{3}{2})}$

Paso 1.2.4.1.8.2

Reescribe la expresión.

$y = 27 + 3^{3}$

Paso 1.2.4.1.9

Eleva $3$ a la potencia de $3$ .

$y = 27 + 27$

Paso 1.2.4.2

Suma $27$ y $27$ .

$y = 54$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 9$ y $y = 54$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $9 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [9 x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $9$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $9 x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$9 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$9 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.2.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$9 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$9 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.2.8

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$9 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.2.9

Combina $9$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{9 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.2.10

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}$

Paso 2.3.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Paso 2.3.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 2.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 2.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}$

Paso 2.3.5.2

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reordena los términos.

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.4.2

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{9}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.5

Evalúa la derivada en $x = 9$ .

$\frac{3 {(9)}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.6.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1.1.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{3 \cdot {(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.6.1.1.2

Multiplica los exponentes en ${(3^{2})}^{\frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.6.1.1.2.1

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.6.1.1.2.2

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.6.1.1.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 3^{2 (\frac{1}{2})}}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.6.1.1.2.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 \cdot 3^{1}}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.6.1.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{3^{1 + 1}}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.6.1.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{3^{2}}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.6.1.2

Eleva $3$ a la potencia de $2$ .

$\frac{9}{2} + \frac{9}{2 {(9)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.6.1.3

Mueve ${(9)}^{\frac{1}{2}}$ al numerador mediante la regla del exponente negativo $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{9 \cdot 9^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 2.6.1.4

Multiplica $9$ por $9^{- \frac{1}{2}}$ sumando los exponentes.

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Paso 2.6.1.4.1

Multiplica $9$ por $9^{- \frac{1}{2}}$ .

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Paso 2.6.1.4.1.1

Eleva $9$ a la potencia de $1$ .

$\frac{9}{2} + \frac{9^{1} \cdot 9^{- \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 2.6.1.4.1.2

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{9}{2} + \frac{9^{1 - \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 2.6.1.4.2

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{9}{2} + \frac{9^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{2}$

Paso 2.6.1.4.3

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{9}{2} + \frac{9^{\frac{2 - 1}{2}}}{2}$

Paso 2.6.1.4.4

Resta $1$ de $2$ .

$\frac{9}{2} + \frac{9^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 2.6.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1.5.1

Reescribe $9$ como $3^{2}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{{(3^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2}$

Paso 2.6.1.5.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{9}{2} + \frac{3^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Paso 2.6.1.5.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.6.1.5.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{9}{2} + \frac{3^{2 (\frac{1}{2})}}{2}$

Paso 2.6.1.5.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{9}{2} + \frac{3^{1}}{2}$

Paso 2.6.1.5.4

Evalúa el exponente.

$\frac{9}{2} + \frac{3}{2}$

Paso 2.6.2

Combina fracciones.

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Paso 2.6.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{9 + 3}{2}$

Paso 2.6.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.2.2.1

Suma $9$ y $3$ .

$\frac{12}{2}$

Paso 2.6.2.2.2

Divide $12$ por $2$ .

$6$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $6$ y un punto dado $(9, 54)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (54) = 6 \cdot (x - (9))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 54 = 6 \cdot (x - 9)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $6 \cdot (x - 9)$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - 54 = 0 + 0 + 6 \cdot (x - 9)$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 54 = 6 \cdot (x - 9)$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 54 = 6 x + 6 \cdot - 9$

Paso 3.3.1.4

Multiplica $6$ por $- 9$ .

$y - 54 = 6 x - 54$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $54$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 6 x - 54 + 54$

Paso 3.3.2.2

Combina los términos opuestos en $6 x - 54 + 54$ .

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Paso 3.3.2.2.1

Suma $- 54$ y $54$ .

$y = 6 x + 0$

Paso 3.3.2.2.2

Suma $6 x$ y $0$ .

$y = 6 x$

Paso 4