Cálculo Ejemplos

$\sin (3 y) = x$ ; $(0, \frac{π}{3})$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 0$ y $y = \frac{π}{3}$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (\sin (3 y)) = \frac{d}{d x} (x)$

Paso 1.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 1.2.1

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = \sin (x)$ y $g (x) = 3 y$ .

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Paso 1.2.1.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $3 y$ .

$\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 y]$

Paso 1.2.1.2

La derivada de $\sin (u)$ con respecto a $u$ es $\cos (u)$ .

$\cos (u) \frac{d}{d x} [3 y]$

Paso 1.2.1.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $3 y$ .

$\cos (3 y) \frac{d}{d x} [3 y]$

Paso 1.2.2

Como $3$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $3 y$ con respecto a $x$ es $3 \frac{d}{d x} [y]$ .

$\cos (3 y) (3 \frac{d}{d x} [y])$

Paso 1.2.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$\cos (3 y) (3 y')$

Paso 1.2.4

Reordena los factores de $\cos (3 y) (3 y')$ .

$3 \cos (3 y) y'$

Paso 1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$1$

Paso 1.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$3 \cos (3 y) y' = 1$

Paso 1.5

Divide cada término en $3 \cos (3 y) y' = 1$ por $3 \cos (3 y)$ y simplifica.

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Paso 1.5.1

Divide cada término en $3 \cos (3 y) y' = 1$ por $3 \cos (3 y)$ .

$\frac{3 \cos (3 y) y'}{3 \cos (3 y)} = \frac{1}{3 \cos (3 y)}$

Paso 1.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 1.5.2.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cos (3 y) y'}{3 \cos (3 y)} = \frac{1}{3 \cos (3 y)}$

Paso 1.5.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\cos (3 y) y'}{\cos (3 y)} = \frac{1}{3 \cos (3 y)}$

Paso 1.5.2.2

Cancela el factor común de $\cos (3 y)$ .

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Paso 1.5.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{\cos (3 y) y'}{\cos (3 y)} = \frac{1}{3 \cos (3 y)}$

Paso 1.5.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{1}{3 \cos (3 y)}$

Paso 1.5.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 1.5.3.1

Separa las fracciones.

$y' = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{\cos (3 y)}$

Paso 1.5.3.2

Convierte de $\frac{1}{\cos (3 y)}$ a $\sec (3 y)$ .

$y' = \frac{1}{3} \sec (3 y)$

Paso 1.5.3.3

Combina $\frac{1}{3}$ y $\sec (3 y)$ .

$y' = \frac{\sec (3 y)}{3}$

Paso 1.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = \frac{\sec (3 y)}{3}$

Paso 1.7

Evalúa $x = 0$ y $y = \frac{π}{3}$ .

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Paso 1.7.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$\frac{\sec (3 y)}{3}$

Paso 1.7.2

Reemplaza la variable $y$ con $\frac{π}{3}$ en la expresión.

$\frac{\sec (3 (\frac{π}{3}))}{3}$

Paso 1.7.3

Simplifica el numerador.

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Paso 1.7.3.1

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.7.3.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{\sec (3 \frac{π}{3})}{3}$

Paso 1.7.3.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{\sec (π)}{3}$

Paso 1.7.3.2

Aplica el ángulo de referencia mediante la búsqueda del ángulo con valores trigonométricos equivalentes en el primer cuadrante. Haz que la expresión sea negativa porque la secante es negativa en el segundo cuadrante.

$\frac{- \sec (0)}{3}$

Paso 1.7.3.3

El valor exacto de $\sec (0)$ es $1$ .

$\frac{- 1 \cdot 1}{3}$

Paso 1.7.3.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{- 1}{3}$

Paso 1.7.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$- \frac{1}{3}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $- \frac{1}{3}$ y un punto dado $(0, \frac{π}{3})$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (\frac{π}{3}) = - \frac{1}{3} \cdot (x - (0))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - \frac{π}{3} = - \frac{1}{3} \cdot (x + 0)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $- \frac{1}{3} \cdot (x + 0)$ .

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Paso 2.3.1.1

Suma $x$ y $0$ .

$y - \frac{π}{3} = - \frac{1}{3} \cdot x$

Paso 2.3.1.2

Combina $x$ y $\frac{1}{3}$ .

$y - \frac{π}{3} = - \frac{x}{3}$

Paso 2.3.2

Suma $\frac{π}{3}$ a ambos lados de la ecuación.

$y = - \frac{x}{3} + \frac{π}{3}$

Paso 2.3.3

Escribe en la forma $y = m x + b$ .

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Paso 2.3.3.1

Reordena los términos.

$y = - (\frac{1}{3} x) + \frac{π}{3}$

Paso 2.3.3.2

Elimina los paréntesis.

$y = - \frac{1}{3} x + \frac{π}{3}$

Paso 3