Cálculo Ejemplos

$y = x^{\frac{2}{3}}$ , $(8, 4)$

Paso 1

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 8$ y $y = 4$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 1.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{2}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1}$

Paso 1.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}}$

Paso 1.3

Combina $- 1$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}}$

Paso 1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 1 \cdot 3}{3}}$

Paso 1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 1.5.1

Multiplica $- 1$ por $3$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{2 - 3}{3}}$

Paso 1.5.2

Resta $3$ de $2$ .

$\frac{2}{3} x^{\frac{- 1}{3}}$

Paso 1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{2}{3} x^{- \frac{1}{3}}$

Paso 1.7

Simplifica.

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Paso 1.7.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{2}{3} \cdot \frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.7.2

Multiplica $\frac{2}{3}$ por $\frac{1}{x^{\frac{1}{3}}}$ .

$\frac{2}{3 x^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.8

Evalúa la derivada en $x = 8$ .

$\frac{2}{3 {(8)}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.9

Simplifica.

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Paso 1.9.1

Simplifica el denominador.

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Paso 1.9.1.1

Reescribe $8$ como $2^{3}$ .

$\frac{2}{3 \cdot {(2^{3})}^{\frac{1}{3}}}$

Paso 1.9.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{2}{3 \cdot 2^{3 (\frac{1}{3})}}$

Paso 1.9.1.3

Cancela el factor común de $3$ .

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Paso 1.9.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{2}{3 \cdot 2^{3 (\frac{1}{3})}}$

Paso 1.9.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{2}{3 \cdot 2^{1}}$

Paso 1.9.1.4

Evalúa el exponente.

$\frac{2}{3 \cdot 2}$

Paso 1.9.2

Reduce la expresión mediante la cancelación de los factores comunes.

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Paso 1.9.2.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{2}{6}$

Paso 1.9.2.2

Cancela el factor común de $2$ y $6$ .

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Paso 1.9.2.2.1

Factoriza $2$ de $2$ .

$\frac{2 (1)}{6}$

Paso 1.9.2.2.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 1.9.2.2.2.1

Factoriza $2$ de $6$ .

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Paso 1.9.2.2.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{2 \cdot 1}{2 \cdot 3}$

Paso 1.9.2.2.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{3}$

Paso 2

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 2.1

Usa la pendiente $\frac{1}{3}$ y un punto dado $(8, 4)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (4) = \frac{1}{3} \cdot (x - (8))$

Paso 2.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 4 = \frac{1}{3} \cdot (x - 8)$

Paso 2.3

Resuelve $y$

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Paso 2.3.1

Simplifica $\frac{1}{3} \cdot (x - 8)$ .

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Paso 2.3.1.1

Reescribe.

$y - 4 = 0 + 0 + \frac{1}{3} \cdot (x - 8)$

Paso 2.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 4 = \frac{1}{3} \cdot (x - 8)$

Paso 2.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 4 = \frac{1}{3} x + \frac{1}{3} \cdot - 8$

Paso 2.3.1.4

Combina $\frac{1}{3}$ y $x$ .

$y - 4 = \frac{x}{3} + \frac{1}{3} \cdot - 8$

Paso 2.3.1.5

Combina $\frac{1}{3}$ y $- 8$ .

$y - 4 = \frac{x}{3} + \frac{- 8}{3}$

Paso 2.3.1.6

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y - 4 = \frac{x}{3} - \frac{8}{3}$

Paso 2.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 2.3.2.1

Suma $4$ a ambos lados de la ecuación.

$y = \frac{x}{3} - \frac{8}{3} + 4$

Paso 2.3.2.2

Para escribir $4$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - \frac{8}{3} + 4 \cdot \frac{3}{3}$

Paso 2.3.2.3

Combina $4$ y $\frac{3}{3}$ .

$y = \frac{x}{3} - \frac{8}{3} + \frac{4 \cdot 3}{3}$

Paso 2.3.2.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 8 + 4 \cdot 3}{3}$

Paso 2.3.2.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.2.5.1

Multiplica $4$ por $3$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 8 + 12}{3}$

Paso 2.3.2.5.2

Suma $- 8$ y $12$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{4}{3}$

Paso 2.3.3

Reordena los términos.

$y = \frac{1}{3} x + \frac{4}{3}$

Paso 3