Cálculo Ejemplos

$y = 5 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}}$ ; $x = 25$

Paso 1

Find the corresponding $y$ -value to $x = 25$ .

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Paso 1.1

Sustituye $25$ por $x$ .

$y = 5 {(25)}^{\frac{1}{2}} + {(25)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 1.2

Resuelve $y$

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Paso 1.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = 5 \cdot 25^{\frac{1}{2}} + {(25)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 1.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = 5 \cdot 25^{\frac{1}{2}} + 25^{\frac{3}{2}}$

Paso 1.2.3

Elimina los paréntesis.

$y = 5 {(25)}^{\frac{1}{2}} + {(25)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 1.2.4

Simplifica $5 {(25)}^{\frac{1}{2}} + {(25)}^{\frac{3}{2}}$ .

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Paso 1.2.4.1

Simplifica cada término.

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Paso 1.2.4.1.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$y = 5 {(5^{2})}^{\frac{1}{2}} + {(25)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 1.2.4.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 5 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})} + {(25)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 1.2.4.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.4.1.3.1

Cancela el factor común.

$y = 5 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})} + {(25)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 1.2.4.1.3.2

Reescribe la expresión.

$y = 5 \cdot 5^{1} + {(25)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 1.2.4.1.4

Evalúa el exponente.

$y = 5 \cdot 5 + {(25)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 1.2.4.1.5

Multiplica $5$ por $5$ .

$y = 25 + {(25)}^{\frac{3}{2}}$

Paso 1.2.4.1.6

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$y = 25 + {(5^{2})}^{\frac{3}{2}}$

Paso 1.2.4.1.7

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y = 25 + 5^{2 (\frac{3}{2})}$

Paso 1.2.4.1.8

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 1.2.4.1.8.1

Cancela el factor común.

$y = 25 + 5^{2 (\frac{3}{2})}$

Paso 1.2.4.1.8.2

Reescribe la expresión.

$y = 25 + 5^{3}$

Paso 1.2.4.1.9

Eleva $5$ a la potencia de $3$ .

$y = 25 + 125$

Paso 1.2.4.2

Suma $25$ y $125$ .

$y = 150$

Paso 2

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 25$ y $y = 150$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $5 x^{\frac{1}{2}} + x^{\frac{3}{2}}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

$\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [5 x^{\frac{1}{2}}]$ .

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Paso 2.2.1

Como $5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $5 x^{\frac{1}{2}}$ con respecto a $x$ es $5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}]$ .

$5 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.2.3

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.2.4

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.2.5

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.2.6

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.6.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.2.6.2

Resta $2$ de $1$ .

$5 (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.2.7

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$5 (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}) + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.2.8

Combina $\frac{1}{2}$ y $x^{- \frac{1}{2}}$ .

$5 \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.2.9

Combina $5$ y $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ .

$\frac{5 x^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.2.10

Mueve $x^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$

Paso 2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [x^{\frac{3}{2}}]$ .

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Paso 2.3.1

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = \frac{3}{2}$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1}$

Paso 2.3.2

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}$

Paso 2.3.3

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 2.3.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 1 \cdot 2}{2}}$

Paso 2.3.5

Simplifica el numerador.

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Paso 2.3.5.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{3 - 2}{2}}$

Paso 2.3.5.2

Resta $2$ de $3$ .

$\frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}}$

Paso 2.4

Simplifica.

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Paso 2.4.1

Reordena los términos.

$\frac{3}{2} x^{\frac{1}{2}} + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.4.2

Combina $\frac{3}{2}$ y $x^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{3 x^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{5}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.5

Evalúa la derivada en $x = 25$ .

$\frac{3 {(25)}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{5}{2 {(25)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.6

Simplifica.

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Paso 2.6.1

Simplifica cada término.

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Paso 2.6.1.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.6.1.1.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{3 \cdot {(5^{2})}^{\frac{1}{2}}}{2} + \frac{5}{2 {(25)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.6.1.1.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{3 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})}}{2} + \frac{5}{2 {(25)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.6.1.1.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.6.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{3 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})}}{2} + \frac{5}{2 {(25)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.6.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{3 \cdot 5^{1}}{2} + \frac{5}{2 {(25)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.6.1.1.4

Evalúa el exponente.

$\frac{3 \cdot 5}{2} + \frac{5}{2 {(25)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.6.1.2

Multiplica $3$ por $5$ .

$\frac{15}{2} + \frac{5}{2 {(25)}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.6.1.3

Simplifica el denominador.

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Paso 2.6.1.3.1

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$\frac{15}{2} + \frac{5}{2 \cdot {(5^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

Paso 2.6.1.3.2

Aplica la regla de la potencia y multiplica los exponentes, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\frac{15}{2} + \frac{5}{2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 2.6.1.3.3

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 2.6.1.3.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{15}{2} + \frac{5}{2 \cdot 5^{2 (\frac{1}{2})}}$

Paso 2.6.1.3.3.2

Reescribe la expresión.

$\frac{15}{2} + \frac{5}{2 \cdot 5^{1}}$

Paso 2.6.1.3.4

Evalúa el exponente.

$\frac{15}{2} + \frac{5}{2 \cdot 5}$

Paso 2.6.1.4

Multiplica $2$ por $5$ .

$\frac{15}{2} + \frac{5}{10}$

Paso 2.6.1.5

Cancela el factor común de $5$ y $10$ .

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Paso 2.6.1.5.1

Factoriza $5$ de $5$ .

$\frac{15}{2} + \frac{5 (1)}{10}$

Paso 2.6.1.5.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 2.6.1.5.2.1

Factoriza $5$ de $10$ .

$\frac{15}{2} + \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 2}$

Paso 2.6.1.5.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{15}{2} + \frac{5 \cdot 1}{5 \cdot 2}$

Paso 2.6.1.5.2.3

Reescribe la expresión.

$\frac{15}{2} + \frac{1}{2}$

Paso 2.6.2

Combina fracciones.

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Paso 2.6.2.1

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{15 + 1}{2}$

Paso 2.6.2.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.6.2.2.1

Suma $15$ y $1$ .

$\frac{16}{2}$

Paso 2.6.2.2.2

Divide $16$ por $2$ .

$8$

Paso 3

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 3.1

Usa la pendiente $8$ y un punto dado $(25, 150)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (150) = 8 \cdot (x - (25))$

Paso 3.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y - 150 = 8 \cdot (x - 25)$

Paso 3.3

Resuelve $y$

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Paso 3.3.1

Simplifica $8 \cdot (x - 25)$ .

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Paso 3.3.1.1

Reescribe.

$y - 150 = 0 + 0 + 8 \cdot (x - 25)$

Paso 3.3.1.2

Simplifica mediante la adición de ceros.

$y - 150 = 8 \cdot (x - 25)$

Paso 3.3.1.3

Aplica la propiedad distributiva.

$y - 150 = 8 x + 8 \cdot - 25$

Paso 3.3.1.4

Multiplica $8$ por $- 25$ .

$y - 150 = 8 x - 200$

Paso 3.3.2

Mueve todos los términos que no contengan $y$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.3.2.1

Suma $150$ a ambos lados de la ecuación.

$y = 8 x - 200 + 150$

Paso 3.3.2.2

Suma $- 200$ y $150$ .

$y = 8 x - 50$

Paso 4