Cálculo Ejemplos

$\frac{4 x - 5}{x + 1}$ $x = 0$

Paso 1

Escribe $\frac{4 x - 5}{x + 1}$ como una ecuación.

$y = \frac{4 x - 5}{x + 1}$

Paso 2

Find the corresponding $y$ -value to $x = 0$ .

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Paso 2.1

Sustituye $0$ por $x$ .

$y = \frac{4 (0) - 5}{(0) + 1}$

Paso 2.2

Resuelve $y$

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Paso 2.2.1

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{4 (0) - 5}{0 + 1}$

Paso 2.2.2

Elimina los paréntesis.

$y = \frac{4 (0) - 5}{(0) + 1}$

Paso 2.2.3

Simplifica $\frac{4 (0) - 5}{(0) + 1}$ .

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Paso 2.2.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 2.2.3.1.1

Multiplica $4$ por $0$ .

$y = \frac{0 - 5}{0 + 1}$

Paso 2.2.3.1.2

Resta $5$ de $0$ .

$y = \frac{- 5}{0 + 1}$

Paso 2.2.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 2.2.3.2.1

Suma $0$ y $1$ .

$y = \frac{- 5}{1}$

Paso 2.2.3.2.2

Divide $- 5$ por $1$ .

$y = - 5$

Paso 3

Obtén la primera derivada y evalúa en $x = 0$ y $y = - 5$ para obtener la pendiente de la recta tangente.

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Paso 3.1

Diferencia con la regla del cociente, que establece que $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ es $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ donde $f (x) = 4 x - 5$ y $g (x) = x + 1$ .

$\frac{(x + 1) \frac{d}{d x} [4 x - 5] - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2

Diferencia.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $4 x - 5$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]$ .

$\frac{(x + 1) (\frac{d}{d x} [4 x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.2

Como $4$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $4 x$ con respecto a $x$ es $4 \frac{d}{d x} [x]$ .

$\frac{(x + 1) (4 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 5]) - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{(x + 1) (4 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 5]) - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.4

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{(x + 1) (4 + \frac{d}{d x} [- 5]) - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.5

Como $- 5$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 5$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{(x + 1) (4 + 0) - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.6

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.6.1

Suma $4$ y $0$ .

$\frac{(x + 1) \cdot 4 - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.6.2

Mueve $4$ a la izquierda de $x + 1$ .

$\frac{4 \cdot (x + 1) - (4 x - 5) \frac{d}{d x} [x + 1]}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.7

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{4 (x + 1) - (4 x - 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.8

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{4 (x + 1) - (4 x - 5) (1 + \frac{d}{d x} [1])}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.9

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{4 (x + 1) - (4 x - 5) (1 + 0)}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.10

Simplifica la expresión.

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Paso 3.2.10.1

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{4 (x + 1) - (4 x - 5) \cdot 1}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.2.10.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{4 (x + 1) - (4 x - 5)}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3

Simplifica.

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Paso 3.3.1

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x + 4 \cdot 1 - (4 x - 5)}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{4 x + 4 \cdot 1 - (4 x) - - 5}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.3

Simplifica el numerador.

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Paso 3.3.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 3.3.3.1.1

Multiplica $4$ por $1$ .

$\frac{4 x + 4 - (4 x) - - 5}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.3.1.2

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$\frac{4 x + 4 - 4 x - - 5}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.3.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$\frac{4 x + 4 - 4 x + 5}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.3.2

Combina los términos opuestos en $4 x + 4 - 4 x + 5$ .

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Paso 3.3.3.2.1

Resta $4 x$ de $4 x$ .

$\frac{0 + 4 + 5}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.3.2.2

Suma $0$ y $4$ .

$\frac{4 + 5}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.3.3.3

Suma $4$ y $5$ .

$\frac{9}{{(x + 1)}^{2}}$

Paso 3.4

Evalúa la derivada en $x = 0$ .

$\frac{9}{{((0) + 1)}^{2}}$

Paso 3.5

Simplifica.

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Paso 3.5.1

Simplifica el denominador.

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Paso 3.5.1.1

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{9}{1^{2}}$

Paso 3.5.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{9}{1}$

Paso 3.5.2

Divide $9$ por $1$ .

$9$

Paso 4

Inserta los valores del punto y la pendiente en la fórmula de punto-pendiente y resuelve $y$ .

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Paso 4.1

Usa la pendiente $9$ y un punto dado $(0, - 5)$ para sustituir $x_{1}$ y $y_{1}$ en la ecuación punto-pendiente $y - y_{1} = m (x - x_{1})$ , que deriva de la ecuación pendiente $m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}$ .

$y - (- 5) = 9 \cdot (x - (0))$

Paso 4.2

Simplifica la ecuación y mantenla en ecuación punto-pendiente.

$y + 5 = 9 \cdot (x + 0)$

Paso 4.3

Resuelve $y$

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Paso 4.3.1

Suma $x$ y $0$ .

$y + 5 = 9 x$

Paso 4.3.2

Resta $5$ de ambos lados de la ecuación.

$y = 9 x - 5$

Paso 5