Cálculo Ejemplos

$f (x) = \sqrt{x + 1} + \sin (x)$ , $x = 0$

Paso 1

Considera la función utilizada para buscar la linealización en $a$ .

$L (x) = f (a) + f' (a) (x - a)$

Paso 2

Sustituye el valor de $a = 0$ en la función de linealización.

$L (x) = f (0) + f' (0) (x - 0)$

Paso 3

Evalúa $f (0)$ .

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Paso 3.1

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$f (0) = \sqrt{(0) + 1} + \sin (0)$

Paso 3.2

Simplifica $\sqrt{(0) + 1} + \sin (0)$ .

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Paso 3.2.1

Elimina los paréntesis.

$\sqrt{(0) + 1} + \sin (0)$

Paso 3.2.2

Simplifica cada término.

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Paso 3.2.2.1

Suma $0$ y $1$ .

$\sqrt{1} + \sin (0)$

Paso 3.2.2.2

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$1 + \sin (0)$

Paso 3.2.2.3

El valor exacto de $\sin (0)$ es $0$ .

$1 + 0$

Paso 3.2.3

Suma $1$ y $0$ .

$1$

Paso 4

Obtén la derivada y evalúala en $0$ .

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Paso 4.1

Obtén la derivada de $f (x) = \sqrt{x + 1} + \sin (x)$ .

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Paso 4.1.1

Según la regla de la suma, la derivada de $\sqrt{x + 1} + \sin (x)$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$ .

$\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.1.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [\sqrt{x + 1}]$ .

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Paso 4.1.2.1

Usa $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ para reescribir $\sqrt{x + 1}$ como ${(x + 1)}^{\frac{1}{2}}$ .

$\frac{d}{d x} [{(x + 1)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.1.2.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ y $g (x) = x + 1$ .

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Paso 4.1.2.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $x + 1$ .

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.1.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = \frac{1}{2}$ .

$\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.1.2.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $x + 1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 1] + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.1.2.3

Según la regla de la suma, la derivada de $x + 1$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.1.2.4

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + \frac{d}{d x} [1]) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.1.2.5

Como $1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $1$ con respecto a $x$ es $0$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.1.2.6

Para escribir $- 1$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.1.2.7

Combina $- 1$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.1.2.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.1.2.9

Simplifica el numerador.

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Paso 4.1.2.9.1

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.1.2.9.2

Resta $2$ de $1$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{\frac{- 1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.1.2.10

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} (1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.1.2.11

Suma $1$ y $0$ .

$\frac{1}{2} {(x + 1)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.1.2.12

Combina $\frac{1}{2}$ y ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ .

$\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 1 + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.1.2.13

Multiplica $\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ por $1$ .

$\frac{{(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.1.2.14

Mueve ${(x + 1)}^{- \frac{1}{2}}$ al denominador mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\sin (x)]$

Paso 4.1.3

La derivada de $\sin (x)$ con respecto a $x$ es $\cos (x)$ .

$\frac{1}{2 {(x + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \cos (x)$

Paso 4.2

Reemplaza la variable $x$ con $0$ en la expresión.

$\frac{1}{2 {((0) + 1)}^{\frac{1}{2}}} + \cos (0)$

Paso 4.3

Simplifica.

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Paso 4.3.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.3.1.1

Simplifica el denominador.

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Paso 4.3.1.1.1

Suma $0$ y $1$ .

$\frac{1}{2 \cdot 1^{\frac{1}{2}}} + \cos (0)$

Paso 4.3.1.1.2

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{2 \cdot 1} + \cos (0)$

Paso 4.3.1.2

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{2} + \cos (0)$

Paso 4.3.1.3

El valor exacto de $\cos (0)$ es $1$ .

$\frac{1}{2} + 1$

Paso 4.3.2

Simplifica la expresión.

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Paso 4.3.2.1

Escribe $1$ como una fracción con un denominador común.

$\frac{1}{2} + \frac{2}{2}$

Paso 4.3.2.2

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 + 2}{2}$

Paso 4.3.2.3

Suma $1$ y $2$ .

$\frac{3}{2}$

Paso 5

Sustituye los componentes en la función de linealización para obtener la linealización en $a$ .

$L (x) = 1 + \frac{3}{2} (x - 0)$

Paso 6

Simplifica cada término.

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Paso 6.1

Resta $0$ de $x$ .

$L (x) = 1 + \frac{3}{2} x$

Paso 6.2

Combina $\frac{3}{2}$ y $x$ .

$L (x) = 1 + \frac{3 x}{2}$

Paso 7