Cálculo Ejemplos

$f (x) = 4 \csc (\frac{1}{4} π x + \frac{1}{3} π)$

Paso 1

Elimina los paréntesis.

$y = 4 \csc (\frac{1}{4} \cdot (π x) + \frac{1}{3} \cdot π)$

Paso 2

Elimina los paréntesis.

$y = 4 \csc (\frac{1}{4} \cdot (π x) + \frac{1}{3} \cdot π)$

Paso 3

Simplifica cada término.

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Paso 3.1

Multiplica $\frac{1}{4} (π x)$ .

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Paso 3.1.1

Combina $π$ y $\frac{1}{4}$ .

$y = 4 \csc (\frac{π}{4} x + \frac{1}{3} \cdot π)$

Paso 3.1.2

Combina $\frac{π}{4}$ y $x$ .

$y = 4 \csc (\frac{π x}{4} + \frac{1}{3} \cdot π)$

Paso 3.2

Combina $\frac{1}{3}$ y $π$ .

$y = 4 \csc (\frac{π x}{4} + \frac{π}{3})$

Paso 4

Para cualquier $y = \csc (x)$ , las asíntotas verticales se producen en $x = n π$ , donde $n$ es un número entero. Usa el período básico de $y = c s c (x)$ , $(0, 2 π)$ , a fin de obtener las asíntotas verticales de $y = 4 \csc (\frac{π x}{4} + \frac{π}{3})$ . Establece el interior de la función cosecante, $b x + c$ , para que $y = a \csc (b x + c) + d$ sea igual a $0$ a fin de obtener dónde se produce la asíntota vertical de $y = 4 \csc (\frac{π x}{4} + \frac{π}{3})$ .

$\frac{π x}{4} + \frac{π}{3} = 0$

Paso 5

Resuelve $x$

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Paso 5.1

Resta $\frac{π}{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{π x}{4} = - \frac{π}{3}$

Paso 5.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (- \frac{π}{3})$

Paso 5.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 5.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 5.3.1.1

Simplifica $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ .

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Paso 5.3.1.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 5.3.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} (- \frac{π}{3})$

Paso 5.3.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (- \frac{π}{3})$

Paso 5.3.1.1.2

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 5.3.1.1.2.1

Factoriza $π$ de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} (- \frac{π}{3})$

Paso 5.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} (- \frac{π}{3})$

Paso 5.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{4}{π} (- \frac{π}{3})$

Paso 5.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 5.3.2.1

Simplifica $\frac{4}{π} (- \frac{π}{3})$ .

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Paso 5.3.2.1.1

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 5.3.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{π}{3}$ al numerador.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{- π}{3}$

Paso 5.3.2.1.1.2

Factoriza $π$ de $- π$ .

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{π \cdot - 1}{3}$

Paso 5.3.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{π \cdot - 1}{3}$

Paso 5.3.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$x = 4 (\frac{- 1}{3})$

Paso 5.3.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{- 1}{3}$ .

$x = \frac{4 \cdot - 1}{3}$

Paso 5.3.2.1.3

Simplifica la expresión.

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Paso 5.3.2.1.3.1

Multiplica $4$ por $- 1$ .

$x = \frac{- 4}{3}$

Paso 5.3.2.1.3.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$x = - \frac{4}{3}$

Paso 6

Establece el interior de la cosecante $\frac{π x}{4} + \frac{π}{3}$ igual a $2 π$ .

$\frac{π x}{4} + \frac{π}{3} = 2 π$

Paso 7

Resuelve $x$

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Paso 7.1

Mueve todos los términos que no contengan $x$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 7.1.1

Resta $\frac{π}{3}$ de ambos lados de la ecuación.

$\frac{π x}{4} = 2 π - \frac{π}{3}$

Paso 7.1.2

Para escribir $2 π$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{4} = 2 π \cdot \frac{3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 7.1.3

Combina $2 π$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{π x}{4} = \frac{2 π \cdot 3}{3} - \frac{π}{3}$

Paso 7.1.4

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{π x}{4} = \frac{2 π \cdot 3 - π}{3}$

Paso 7.1.5

Simplifica el numerador.

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Paso 7.1.5.1

Multiplica $3$ por $2$ .

$\frac{π x}{4} = \frac{6 π - π}{3}$

Paso 7.1.5.2

Resta $π$ de $6 π$ .

$\frac{π x}{4} = \frac{5 π}{3}$

Paso 7.2

Multiplica ambos lados de la ecuación por $\frac{4}{π}$ .

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Paso 7.3

Simplifica ambos lados de la ecuación.

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Paso 7.3.1

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 7.3.1.1

Simplifica $\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4}$ .

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Paso 7.3.1.1.1

Cancela el factor común de $4$ .

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Paso 7.3.1.1.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{4}{π} \cdot \frac{π x}{4} = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Paso 7.3.1.1.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Paso 7.3.1.1.2

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 7.3.1.1.2.1

Factoriza $π$ de $π x$ .

$\frac{1}{π} (π (x)) = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Paso 7.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$\frac{1}{π} (π x) = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Paso 7.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$

Paso 7.3.2

Simplifica el lado derecho.

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Paso 7.3.2.1

Simplifica $\frac{4}{π} \cdot \frac{5 π}{3}$ .

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Paso 7.3.2.1.1

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 7.3.2.1.1.1

Factoriza $π$ de $5 π$ .

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{π \cdot 5}{3}$

Paso 7.3.2.1.1.2

Cancela el factor común.

$x = \frac{4}{π} \cdot \frac{π \cdot 5}{3}$

Paso 7.3.2.1.1.3

Reescribe la expresión.

$x = 4 (\frac{5}{3})$

Paso 7.3.2.1.2

Combina $4$ y $\frac{5}{3}$ .

$x = \frac{4 \cdot 5}{3}$

Paso 7.3.2.1.3

Multiplica $4$ por $5$ .

$x = \frac{20}{3}$

Paso 8

El período básico de $y = 4 \csc (\frac{π x}{4} + \frac{π}{3})$ se producirá en $(- \frac{4}{3}, \frac{20}{3})$ , donde $- \frac{4}{3}$ y $\frac{20}{3}$ son asíntotas verticales.

$(- \frac{4}{3}, \frac{20}{3})$

Paso 9

Obtén el período $\frac{2 π}{| b |}$ para buscar dónde existen las asíntotas verticales. Las asíntotas verticales ocurren cada medio período.

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Paso 9.1

$\frac{π}{4}$ es aproximadamente $0.78539816$ , que es positivo, así es que elimina el valor absoluto

$\frac{2 π}{\frac{π}{4}}$

Paso 9.2

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$2 π \frac{4}{π}$

Paso 9.3

Cancela el factor común de $π$ .

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Paso 9.3.1

Factoriza $π$ de $2 π$ .

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

Paso 9.3.2

Cancela el factor común.

$π \cdot 2 \frac{4}{π}$

Paso 9.3.3

Reescribe la expresión.

$2 \cdot 4$

Paso 9.4

Multiplica $2$ por $4$ .

$8$

Paso 10

Las asíntotas verticales de $y = 4 \csc (\frac{π x}{4} + \frac{π}{3})$ se producen en $- \frac{4}{3}$ , $\frac{20}{3}$ y en cada $x = - \frac{4}{3} + 4 n$ , donde $n$ es un número entero. Esta es la mitad del período.

$x = - \frac{4}{3} + 4 n$

Paso 11

La cosecante solo tiene asíntotas verticales.

No hay asíntotas horizontales

No hay asíntotas oblicuas

Asíntotas verticales: $x = - \frac{4}{3} + 4 n$ donde $n$ es un número entero

Paso 12