Cálculo Ejemplos

$y = \frac{1}{2} (e^{x} + e^{- x})$ , $[0, 2]$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} = 0$

Paso 1.2

Resuelve $\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Mueve $\frac{e^{- x}}{2}$ al lado derecho de la ecuación mediante la resta en ambos lados.

$\frac{e^{x}}{2} = - \frac{e^{- x}}{2}$

Paso 1.2.2

Como la expresión en cada lado de la ecuación tiene el mismo denominador, los numeradores deben ser iguales.

$e^{x} = - e^{- x}$

Paso 1.2.3

Grafica cada lado de la ecuación. La solución es el valor x del punto de intersección.

No hay solución

Paso 2

Simplifica $\frac{1}{2} \cdot (e^{x} + e^{- x})$ .

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Paso 2.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{1}{2} e^{x} + \frac{1}{2} e^{- x}$

Paso 2.2

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{x}$ .

$y = \frac{e^{x}}{2} + \frac{1}{2} e^{- x}$

Paso 2.3

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{- x}$ .

$y = \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$

Paso 3

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} d x - \int_{0}^{2} 0 d x$

Paso 4

Integra para obtener el área entre $0$ y $2$ .

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Paso 4.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} - (0) d x$

Paso 4.2

Resta $0$ de $\frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2}$ .

$\int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{2} + \frac{e^{- x}}{2} d x$

Paso 4.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{2} \frac{e^{x}}{2} d x + \int_{0}^{2} \frac{e^{- x}}{2} d x$

Paso 4.4

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{x} d x + \int_{0}^{2} \frac{e^{- x}}{2} d x$

Paso 4.5

La integral de $e^{x}$ con respecto a $x$ es $e^{x}$ .

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \int_{0}^{2} \frac{e^{- x}}{2} d x$

Paso 4.6

Dado que $\frac{1}{2}$ es constante con respecto a $x$ , mueve $\frac{1}{2}$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \frac{1}{2} \int_{0}^{2} e^{- x} d x$

Paso 4.7

Sea $u = - x$ . Entonces $d u = - d x$ , de modo que $- d u = d x$ . Reescribe mediante $u$ y $d$ $u$ .

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Paso 4.7.1

Deja $u = - x$ . Obtén $\frac{d u}{d x}$ .

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Paso 4.7.1.1

Diferencia $- x$ .

$\frac{d}{d x} [- x]$

Paso 4.7.1.2

Como $- 1$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- x$ con respecto a $x$ es $- \frac{d}{d x} [x]$ .

$- \frac{d}{d x} [x]$

Paso 4.7.1.3

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 4.7.1.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 4.7.2

Sustituye el límite inferior por $x$ en $u = - x$ .

$u_{lower} = - 0$

Paso 4.7.3

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$u_{lower} = 0$

Paso 4.7.4

Sustituye el límite superior por $x$ en $u = - x$ .

$u_{upper} = - 1 \cdot 2$

Paso 4.7.5

Multiplica $- 1$ por $2$ .

$u_{upper} = - 2$

Paso 4.7.6

Los valores obtenidos para $u_{lower}$ y $u_{upper}$ se usarán para evaluar la integral definida.

$u_{lower} = 0$

$u_{upper} = - 2$

Paso 4.7.7

Reescribe el problema mediante $u$ , $d u$ y los nuevos límites de integración.

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \frac{1}{2} \int_{0}^{- 2} - e^{u} d u$

Paso 4.8

Dado que $- 1$ es constante con respecto a $u$ , mueve $- 1$ fuera de la integral.

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \frac{1}{2} (- \int_{0}^{- 2} e^{u} d u)$

Paso 4.9

La integral de $e^{u}$ con respecto a $u$ es $e^{u}$ .

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} + \frac{1}{2} (- (e^{u}]_{0}^{- 2}))$

Paso 4.10

Combina $\frac{1}{2}$ y $e^{u}]_{0}^{- 2}$ .

$\frac{1}{2} e^{x}]_{0}^{2} - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2}}{2}$

Paso 4.11

Sustituye y simplifica.

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Paso 4.11.1

Evalúa $e^{x}$ en $2$ y en $0$ .

$\frac{1}{2} ((e^{2}) - e^{0}) - \frac{e^{u}]_{0}^{- 2}}{2}$

Paso 4.11.2

Evalúa $e^{u}$ en $- 2$ y en $0$ .

$\frac{1}{2} ((e^{2}) - e^{0}) - \frac{(e^{- 2}) - e^{0}}{2}$

Paso 4.11.3

Simplifica.

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Paso 4.11.3.1

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1 \cdot 1) - \frac{(e^{- 2}) - e^{0}}{2}$

Paso 4.11.3.2

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1) - \frac{(e^{- 2}) - e^{0}}{2}$

Paso 4.11.3.3

Cualquier valor elevado a $0$ es $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1) - \frac{e^{- 2} - 1 \cdot 1}{2}$

Paso 4.11.3.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1) - \frac{e^{- 2} - 1}{2}$

Paso 4.11.3.5

Para escribir $\frac{1}{2} (e^{2} - 1)$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{2}{2}$ .

$\frac{1}{2} (e^{2} - 1) \cdot \frac{2}{2} - \frac{e^{- 2} - 1}{2}$

Paso 4.11.3.6

Combina $\frac{1}{2} (e^{2} - 1)$ y $\frac{2}{2}$ .

$\frac{\frac{1}{2} (e^{2} - 1) \cdot 2}{2} - \frac{e^{- 2} - 1}{2}$

Paso 4.11.3.7

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{1}{2} (e^{2} - 1) \cdot 2 - (e^{- 2} - 1)}{2}$

Paso 4.11.3.8

Combina $2$ y $\frac{1}{2}$ .

$\frac{\frac{2}{2} (e^{2} - 1) - (e^{- 2} - 1)}{2}$

Paso 4.11.3.9

Cancela el factor común de $2$ .

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Paso 4.11.3.9.1

Cancela el factor común.

$\frac{\frac{2}{2} (e^{2} - 1) - (e^{- 2} - 1)}{2}$

Paso 4.11.3.9.2

Reescribe la expresión.

$\frac{1 (e^{2} - 1) - (e^{- 2} - 1)}{2}$

Paso 4.11.3.10

Multiplica $e^{2} - 1$ por $1$ .

$\frac{e^{2} - 1 - (e^{- 2} - 1)}{2}$

Paso 5

Suma las áreas $\frac{e^{2} - 1 - (e^{- 2} - 1)}{2}$ .

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Paso 5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.1

Reescribe la expresión mediante la regla del exponente negativo $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ .

$\frac{e^{2} - 1 - (\frac{1}{e^{2}} - 1)}{2}$

Paso 5.1.2

Aplica la propiedad distributiva.

$\frac{e^{2} - 1 - \frac{1}{e^{2}} - - 1}{2}$

Paso 5.1.3

Multiplica $- 1$ por $- 1$ .

$\frac{e^{2} - 1 - \frac{1}{e^{2}} + 1}{2}$

Paso 5.1.4

Suma $- 1$ y $1$ .

$\frac{e^{2} - \frac{1}{e^{2}} + 0}{2}$

Paso 5.1.5

Suma $e^{2} - \frac{1}{e^{2}}$ y $0$ .

$\frac{e^{2} - \frac{1}{e^{2}}}{2}$

Paso 5.1.6

Reescribe $e^{2} - \frac{1}{e^{2}}$ en forma factorizada.

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Paso 5.1.6.1

Reescribe $\frac{1}{e^{2}}$ como ${(\frac{1}{e})}^{2}$ .

$\frac{e^{2} - {(\frac{1}{e})}^{2}}{2}$

Paso 5.1.6.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = e$ y $b = \frac{1}{e}$ .

$\frac{(e + \frac{1}{e}) (e - \frac{1}{e})}{2}$

Paso 5.1.7

Para escribir $e$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{e}{e}$ .

$\frac{(\frac{e e}{e} + \frac{1}{e}) (e - \frac{1}{e})}{2}$

Paso 5.1.8

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{e e + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

Paso 5.1.9

Multiplica $e e$ .

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Paso 5.1.9.1

Eleva $e$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{e^{1} e + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

Paso 5.1.9.2

Eleva $e$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{e^{1} e^{1} + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

Paso 5.1.9.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{e^{1 + 1} + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

Paso 5.1.9.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} (e - \frac{1}{e})}{2}$

Paso 5.1.10

Para escribir $e$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{e}{e}$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} (\frac{e e}{e} - \frac{1}{e})}{2}$

Paso 5.1.11

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e e - 1}{e}}{2}$

Paso 5.1.12

Simplifica el numerador.

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Paso 5.1.12.1

Multiplica $e e$ .

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Paso 5.1.12.1.1

Eleva $e$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{1} e - 1}{e}}{2}$

Paso 5.1.12.1.2

Eleva $e$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{1} e^{1} - 1}{e}}{2}$

Paso 5.1.12.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{1 + 1} - 1}{e}}{2}$

Paso 5.1.12.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{2} - 1}{e}}{2}$

Paso 5.1.12.2

Reescribe $e^{2} - 1$ en forma factorizada.

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Paso 5.1.12.2.1

Reescribe $1$ como $1^{2}$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{e^{2} - 1^{2}}{e}}{2}$

Paso 5.1.12.2.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = e$ y $b = 1$ .

$\frac{\frac{e^{2} + 1}{e} \cdot \frac{(e + 1) (e - 1)}{e}}{2}$

Paso 5.2

Multiplica $\frac{e^{2} + 1}{e}$ por $\frac{(e + 1) (e - 1)}{e}$ .

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) ((e + 1) (e - 1))}{e e}}{2}$

Paso 5.3

Simplifica el denominador.

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Paso 5.3.1

Eleva $e$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{1} e}}{2}$

Paso 5.3.2

Eleva $e$ a la potencia de $1$ .

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{1} e^{1}}}{2}$

Paso 5.3.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{1 + 1}}}{2}$

Paso 5.3.4

Suma $1$ y $1$ .

$\frac{\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{2}}}{2}$

Paso 5.4

Multiplica el numerador por la recíproca del denominador.

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{2}} \cdot \frac{1}{2}$

Paso 5.5

Combinar.

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1) \cdot 1}{e^{2} \cdot 2}$

Paso 5.6

Simplifica la expresión.

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Paso 5.6.1

Multiplica $e^{2} + 1$ por $1$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{e^{2} \cdot 2}$

Paso 5.6.2

Mueve $2$ a la izquierda de $e^{2}$ .

$\frac{(e^{2} + 1) (e + 1) (e - 1)}{2 e^{2}}$

Paso 6