Cálculo Ejemplos

$f (x) = \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$

Paso 1

Obtén dónde la expresión $\frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$ no está definida.

$x = 0$

Paso 2

Evalúa $lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$ para obtener la asíntota horizontal.

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Paso 2.1

Evalúa el límite.

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Paso 2.1.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 2.1.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}{1}$

Paso 2.1.1.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to \infty} \frac{\sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{1}$

Paso 2.1.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{lim_{x \to \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 2.1.3

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 2.1.4

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{lim_{x \to \infty} 1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 2.1.5

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{1 + lim_{x \to \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 2.2

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{\sqrt{1 + 0}}{lim_{x \to \infty} 1}$

Paso 2.3

Evalúa el límite.

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Paso 2.3.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $\infty$ .

$\frac{\sqrt{1 + 0}}{1}$

Paso 2.3.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 2.3.2.1

Divide $\sqrt{1 + 0}$ por $1$ .

$\sqrt{1 + 0}$

Paso 2.3.2.2

Suma $1$ y $0$ .

$\sqrt{1}$

Paso 2.3.2.3

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$1$

Paso 3

Evalúa $lim_{x \to - \infty} \frac{\sqrt{x^{2} + 1}}{x}$ para obtener la asíntota horizontal.

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Paso 3.1

Evalúa el límite.

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Paso 3.1.1

Cancela el factor común de $x^{2}$ .

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Paso 3.1.1.1

Cancela el factor común.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{\frac{x^{2}}{x^{2}} + \frac{1}{x^{2}}}}{1}$

Paso 3.1.1.2

Reescribe la expresión.

$lim_{x \to - \infty} \frac{- \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{1}$

Paso 3.1.2

Divide el límite mediante la regla del cociente de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{lim_{x \to - \infty} - \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}$

Paso 3.1.3

Mueve el término $- 1$ fuera del límite porque es constante con respecto a $x$ .

$\frac{- lim_{x \to - \infty} \sqrt{1 + \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}$

Paso 3.1.4

Mueve el límite debajo del signo radical.

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}$

Paso 3.1.5

Divide el límite mediante la regla de la suma de límites en el límite en que $x$ se aproxima a $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{lim_{x \to - \infty} 1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}$

Paso 3.1.6

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{1 + lim_{x \to - \infty} \frac{1}{x^{2}}}}{lim_{x \to - \infty} 1}$

Paso 3.2

Como su numerador se acerca a un número real mientras que su denominador no está acotado, la fracción $\frac{1}{x^{2}}$ se acerca a $0$ .

$\frac{- \sqrt{1 + 0}}{lim_{x \to - \infty} 1}$

Paso 3.3

Evalúa el límite.

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Paso 3.3.1

Evalúa el límite de $1$ que es constante cuando $x$ se acerca a $- \infty$ .

$\frac{- \sqrt{1 + 0}}{1}$

Paso 3.3.2

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.3.2.1

Divide $- \sqrt{1 + 0}$ por $1$ .

$- \sqrt{1 + 0}$

Paso 3.3.2.2

Suma $1$ y $0$ .

$- \sqrt{1}$

Paso 3.3.2.3

Cualquier raíz de $1$ es $1$ .

$- 1 \cdot 1$

Paso 3.3.2.4

Multiplica $- 1$ por $1$ .

$- 1$

Paso 4

Enumera las asíntotas horizontales:

$y = 1, - 1$

Paso 5

Usa la división polinómica para obtener las asíntotas oblicuas. Como esta expresión contiene un radical, la división polinómica no se puede hacer.

No se pueden encontrar las asíntotas oblicuas

Paso 6

Este es el conjunto de todas las asíntotas.

Asíntotas verticales: $x = 0$

Asíntotas horizontales: $y = 1, - 1$

No se pueden encontrar las asíntotas oblicuas

Paso 7