Cálculo Ejemplos

$y = x^{2} + 2$ , $[0, 1]$

Paso 1

Resuelve por sustitución para obtener la intersección entre las curvas.

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Paso 1.1

Elimina los lados iguales de cada ecuación y combina.

$x^{2} + 2 = 0$

Paso 1.2

Resuelve $x^{2} + 2 = 0$ en $x$ .

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Paso 1.2.1

Resta $2$ de ambos lados de la ecuación.

$x^{2} = - 2$

Paso 1.2.2

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{- 2}$

Paso 1.2.3

Simplifica $\pm \sqrt{- 2}$ .

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Paso 1.2.3.1

Reescribe $- 2$ como $- 1 (2)$ .

$x = \pm \sqrt{- 1 (2)}$

Paso 1.2.3.2

Reescribe $\sqrt{- 1 (2)}$ como $\sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$ .

$x = \pm \sqrt{- 1} \cdot \sqrt{2}$

Paso 1.2.3.3

Reescribe $\sqrt{- 1}$ como $i$ .

$x = \pm i \sqrt{2}$

Paso 1.2.4

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

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Paso 1.2.4.1

Primero, usa el valor positivo de $\pm$ para obtener la primera solución.

$x = i \sqrt{2}$

Paso 1.2.4.2

Luego, usa el valor negativo de $\pm$ para obtener la segunda solución.

$x = - i \sqrt{2}$

Paso 1.2.4.3

La solución completa es el resultado de las partes positiva y negativa de la solución.

$x = i \sqrt{2}, - i \sqrt{2}$

Paso 1.3

Sustituye $i \sqrt{2}$ por $x$ .

$y = 0$

Paso 1.4

Enumera todas las soluciones.

$y = 0, x = i \sqrt{2}$

$y = 0, x = - i \sqrt{2}$

$y = 0, x = i \sqrt{2}$

$y = 0, x = - i \sqrt{2}$

Paso 2

El área de la región entre las curvas se define como la integral de la curva superior menos la integral de la curva inferior en cada región. Las regiones están determinadas por los puntos de intersección de las curvas. Esto puede hacerse mediante un cálculo algebraico o una representación gráfica.

$A r e a = \int_{0}^{1} x^{2} + 2 d x - \int_{0}^{1} 0 d x$

Paso 3

Integra para obtener el área entre $0$ y $1$ .

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Paso 3.1

Combina las integrales en una sola integral.

$\int_{0}^{1} x^{2} + 2 - (0) d x$

Paso 3.2

Resta $0$ de $x^{2} + 2$ .

$\int_{0}^{1} x^{2} + 2 d x$

Paso 3.3

Divide la única integral en varias integrales.

$\int_{0}^{1} x^{2} d x + \int_{0}^{1} 2 d x$

Paso 3.4

Según la regla de la potencia, la integral de $x^{2}$ con respecto a $x$ es $\frac{1}{3} x^{3}$ .

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + \int_{0}^{1} 2 d x$

Paso 3.5

Aplica la regla de la constante.

$\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1} + 2 x]_{0}^{1}$

Paso 3.6

Simplifica la respuesta.

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Paso 3.6.1

Combina $\frac{1}{3} x^{3}]_{0}^{1}$ y $2 x]_{0}^{1}$ .

$\frac{1}{3} x^{3} + 2 x]_{0}^{1}$

Paso 3.6.2

Sustituye y simplifica.

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Paso 3.6.2.1

Evalúa $\frac{1}{3} x^{3} + 2 x$ en $1$ y en $0$ .

$(\frac{1}{3} \cdot 1^{3} + 2 \cdot 1) - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0)$

Paso 3.6.2.2

Simplifica.

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Paso 3.6.2.2.1

Uno elevado a cualquier potencia es uno.

$\frac{1}{3} \cdot 1 + 2 \cdot 1 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0)$

Paso 3.6.2.2.2

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $1$ .

$\frac{1}{3} + 2 \cdot 1 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0)$

Paso 3.6.2.2.3

Multiplica $2$ por $1$ .

$\frac{1}{3} + 2 - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0)$

Paso 3.6.2.2.4

Para escribir $2$ como una fracción con un denominador común, multiplica por $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + 2 \cdot \frac{3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0)$

Paso 3.6.2.2.5

Combina $2$ y $\frac{3}{3}$ .

$\frac{1}{3} + \frac{2 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0)$

Paso 3.6.2.2.6

Combina los numeradores sobre el denominador común.

$\frac{1 + 2 \cdot 3}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0)$

Paso 3.6.2.2.7

Simplifica el numerador.

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Paso 3.6.2.2.7.1

Multiplica $2$ por $3$ .

$\frac{1 + 6}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0)$

Paso 3.6.2.2.7.2

Suma $1$ y $6$ .

$\frac{7}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0^{3} + 2 \cdot 0)$

Paso 3.6.2.2.8

Elevar $0$ a cualquier potencia positiva da como resultado $0$ .

$\frac{7}{3} - (\frac{1}{3} \cdot 0 + 2 \cdot 0)$

Paso 3.6.2.2.9

Multiplica $\frac{1}{3}$ por $0$ .

$\frac{7}{3} - (0 + 2 \cdot 0)$

Paso 3.6.2.2.10

Multiplica $2$ por $0$ .

$\frac{7}{3} - (0 + 0)$

Paso 3.6.2.2.11

Suma $0$ y $0$ .

$\frac{7}{3} - 0$

Paso 3.6.2.2.12

Multiplica $- 1$ por $0$ .

$\frac{7}{3} + 0$

Paso 3.6.2.2.13

Suma $\frac{7}{3}$ y $0$ .

$\frac{7}{3}$

Paso 4