Cálculo Ejemplos

$81 x^{2} + 25 y^{2} + 810 x - 450 y + 2025 = 0$

Paso 1

Solve the equation as $y$ in terms of $x$ .

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Paso 1.1

Usa la fórmula cuadrática para obtener las soluciones.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Paso 1.2

Sustituye los valores $a = 25$ , $b = - 450$ y $c = 81 x^{2} + 810 x + 2025$ en la fórmula cuadrática y resuelve $y$ .

$\frac{450 \pm \sqrt{{(- 450)}^{2} - 4 \cdot (25 \cdot (81 x^{2} + 810 x + 2025))}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.3

Simplifica.

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Paso 1.3.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.3.1.1

Reescribe $4 \cdot 25 \cdot (81 x^{2} + 810 x + 2025)$ como ${(2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45))}^{2}$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{{(- 450)}^{2} - {(2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45))}^{2}}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.3.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = - 450$ y $b = 2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.3.1.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1.3.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 10 \cdot (9 x + 45)) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.3.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 10 (9 x) + 10 \cdot 45) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.3.1.3.3

Multiplica $9$ por $10$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 90 x + 10 \cdot 45) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.3.1.3.4

Multiplica $10$ por $45$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 90 x + 450) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.3.1.3.5

Suma $- 450$ y $450$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(90 x + 0) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.3.1.3.6

Suma $90 x$ y $0$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.3.1.3.7

Combina exponentes.

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Paso 1.3.1.3.7.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - (10 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.3.1.3.7.2

Multiplica $10$ por $- 1$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 10 (9 x + 45))}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.3.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 1.3.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 10 (9 x) - 10 \cdot 45)}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.3.1.4.2

Multiplica $9$ por $- 10$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 90 x - 10 \cdot 45)}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.3.1.4.3

Multiplica $- 10$ por $45$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 90 x - 450)}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.3.1.5

Resta $450$ de $- 450$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 90 x - 900)}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.3.1.6

Factoriza $90$ de $- 90 x - 900$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1.6.1

Factoriza $90$ de $- 90 x$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (90 (- x) - 900)}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.3.1.6.2

Factoriza $90$ de $- 900$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (90 (- x) + 90 (- 10))}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.3.1.6.3

Factoriza $90$ de $90 (- x) + 90 (- 10)$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (90 (- x - 10))}}{2 \cdot 25}$

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x \cdot (90 (- x - 10))}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.3.1.7

Multiplica $90$ por $90$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{8100 x (- x - 10)}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.3.1.8

Reescribe $8100 x (- x - 10)$ como $90^{2} (x (- x - 10))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.3.1.8.1

Reescribe $8100$ como $90^{2}$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90^{2} x (- x - 10)}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.3.1.8.2

Agrega paréntesis.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90^{2} (x (- x - 10))}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.3.1.9

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{450 \pm 90 \sqrt{x (- x - 10)}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.3.2

Multiplica $2$ por $25$ .

$y = \frac{450 \pm 90 \sqrt{x (- x - 10)}}{50}$

Paso 1.3.3

Simplifica $\frac{450 \pm 90 \sqrt{x (- x - 10)}}{50}$ .

$y = \frac{45 \pm 9 \sqrt{x (- x - 10)}}{5}$

Paso 1.4

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $+$ de $\pm$ .

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Paso 1.4.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.4.1.1

Reescribe $4 \cdot 25 \cdot (81 x^{2} + 810 x + 2025)$ como ${(2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45))}^{2}$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{{(- 450)}^{2} - {(2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45))}^{2}}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.4.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = - 450$ y $b = 2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.4.1.3

Simplifica.

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Paso 1.4.1.3.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 10 \cdot (9 x + 45)) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.4.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 10 (9 x) + 10 \cdot 45) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.4.1.3.3

Multiplica $9$ por $10$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 90 x + 10 \cdot 45) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.4.1.3.4

Multiplica $10$ por $45$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 90 x + 450) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.4.1.3.5

Suma $- 450$ y $450$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(90 x + 0) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.4.1.3.6

Suma $90 x$ y $0$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.4.1.3.7

Combina exponentes.

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Paso 1.4.1.3.7.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - (10 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.4.1.3.7.2

Multiplica $10$ por $- 1$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 10 (9 x + 45))}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.4.1.4

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 10 (9 x) - 10 \cdot 45)}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.4.1.4.2

Multiplica $9$ por $- 10$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 90 x - 10 \cdot 45)}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.4.1.4.3

Multiplica $- 10$ por $45$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 90 x - 450)}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.4.1.5

Resta $450$ de $- 450$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 90 x - 900)}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.4.1.6

Factoriza $90$ de $- 90 x - 900$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.6.1

Factoriza $90$ de $- 90 x$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (90 (- x) - 900)}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.4.1.6.2

Factoriza $90$ de $- 900$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (90 (- x) + 90 (- 10))}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.4.1.6.3

Factoriza $90$ de $90 (- x) + 90 (- 10)$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (90 (- x - 10))}}{2 \cdot 25}$

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x \cdot (90 (- x - 10))}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.4.1.7

Multiplica $90$ por $90$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{8100 x (- x - 10)}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.4.1.8

Reescribe $8100 x (- x - 10)$ como $90^{2} (x (- x - 10))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.1.8.1

Reescribe $8100$ como $90^{2}$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90^{2} x (- x - 10)}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.4.1.8.2

Agrega paréntesis.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90^{2} (x (- x - 10))}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.4.1.9

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{450 \pm 90 \sqrt{x (- x - 10)}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.4.2

Multiplica $2$ por $25$ .

$y = \frac{450 \pm 90 \sqrt{x (- x - 10)}}{50}$

Paso 1.4.3

Simplifica $\frac{450 \pm 90 \sqrt{x (- x - 10)}}{50}$ .

$y = \frac{45 \pm 9 \sqrt{x (- x - 10)}}{5}$

Paso 1.4.4

Cambia $\pm$ a $+$ .

$y = \frac{45 + 9 \sqrt{x (- x - 10)}}{5}$

Paso 1.4.5

Factoriza $9$ de $45 + 9 \sqrt{x (- x - 10)}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.4.5.1

Factoriza $9$ de $45$ .

$y = \frac{9 \cdot 5 + 9 \sqrt{x (- x - 10)}}{5}$

Paso 1.4.5.2

Factoriza $9$ de $9 \cdot 5 + 9 \sqrt{x (- x - 10)}$ .

$y = \frac{9 (5 + \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$

Paso 1.5

Simplifica la expresión para obtener el valor de la parte $-$ de $\pm$ .

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Paso 1.5.1

Simplifica el numerador.

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Paso 1.5.1.1

Reescribe $4 \cdot 25 \cdot (81 x^{2} + 810 x + 2025)$ como ${(2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45))}^{2}$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{{(- 450)}^{2} - {(2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45))}^{2}}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.5.1.2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = - 450$ y $b = 2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.5.1.3

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1.3.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 10 \cdot (9 x + 45)) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.5.1.3.2

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 10 (9 x) + 10 \cdot 45) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.5.1.3.3

Multiplica $9$ por $10$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 90 x + 10 \cdot 45) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.5.1.3.4

Multiplica $10$ por $45$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(- 450 + 90 x + 450) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.5.1.3.5

Suma $- 450$ y $450$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{(90 x + 0) (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.5.1.3.6

Suma $90 x$ y $0$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - (2 \cdot 5 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.5.1.3.7

Combina exponentes.

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1.3.7.1

Multiplica $2$ por $5$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - (10 \cdot (9 x + 45)))}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.5.1.3.7.2

Multiplica $10$ por $- 1$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 10 (9 x + 45))}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.5.1.4

Simplifica cada término.

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Paso 1.5.1.4.1

Aplica la propiedad distributiva.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 10 (9 x) - 10 \cdot 45)}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.5.1.4.2

Multiplica $9$ por $- 10$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 90 x - 10 \cdot 45)}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.5.1.4.3

Multiplica $- 10$ por $45$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 450 - 90 x - 450)}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.5.1.5

Resta $450$ de $- 450$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (- 90 x - 900)}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.5.1.6

Factoriza $90$ de $- 90 x - 900$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1.6.1

Factoriza $90$ de $- 90 x$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (90 (- x) - 900)}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.5.1.6.2

Factoriza $90$ de $- 900$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (90 (- x) + 90 (- 10))}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.5.1.6.3

Factoriza $90$ de $90 (- x) + 90 (- 10)$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x (90 (- x - 10))}}{2 \cdot 25}$

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90 x \cdot (90 (- x - 10))}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.5.1.7

Multiplica $90$ por $90$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{8100 x (- x - 10)}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.5.1.8

Reescribe $8100 x (- x - 10)$ como $90^{2} (x (- x - 10))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.1.8.1

Reescribe $8100$ como $90^{2}$ .

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90^{2} x (- x - 10)}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.5.1.8.2

Agrega paréntesis.

$y = \frac{450 \pm \sqrt{90^{2} (x (- x - 10))}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.5.1.9

Retira los términos de abajo del radical.

$y = \frac{450 \pm 90 \sqrt{x (- x - 10)}}{2 \cdot 25}$

Paso 1.5.2

Multiplica $2$ por $25$ .

$y = \frac{450 \pm 90 \sqrt{x (- x - 10)}}{50}$

Paso 1.5.3

Simplifica $\frac{450 \pm 90 \sqrt{x (- x - 10)}}{50}$ .

$y = \frac{45 \pm 9 \sqrt{x (- x - 10)}}{5}$

Paso 1.5.4

Cambia $\pm$ a $-$ .

$y = \frac{45 - 9 \sqrt{x (- x - 10)}}{5}$

Paso 1.5.5

Factoriza $9$ de $45 - 9 \sqrt{x (- x - 10)}$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 1.5.5.1

Factoriza $9$ de $45$ .

$y = \frac{9 (5) - 9 \sqrt{x (- x - 10)}}{5}$

Paso 1.5.5.2

Factoriza $9$ de $- 9 \sqrt{x (- x - 10)}$ .

$y = \frac{9 (5) + 9 (- \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$

Paso 1.5.5.3

Factoriza $9$ de $9 (5) + 9 (- \sqrt{x (- x - 10)})$ .

$y = \frac{9 (5 - \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$

Paso 1.6

La respuesta final es la combinación de ambas soluciones.

$y = \frac{9 (5 + \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$

$y = \frac{9 (5 - \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$

$y = \frac{9 (5 + \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$

$y = \frac{9 (5 - \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$

Paso 2

Set each solution of $y$ as a function of $x$ .

$y = \frac{9 (5 + \sqrt{x (- x - 10)})}{5} \to f (x) = \frac{9 (5 + \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$

$y = \frac{9 (5 - \sqrt{x (- x - 10)})}{5} \to f (x) = \frac{9 (5 - \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$

Paso 3

Because the $y$ variable in the equation $81 x^{2} + 25 y^{2} + 810 x - 450 y + 2025 = 0$ has a degree greater than $1$ , use implicit differentiation to solve for the derivative $\frac{d y}{d x}$ .

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Paso 3.1

Diferencia ambos lados de la ecuación.

$\frac{d}{d x} (81 x^{2} + 25 y^{2} + 810 x - 450 y + 2025) = \frac{d}{d x} (0)$

Paso 3.2

Diferencia el lado izquierdo de la ecuación.

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Paso 3.2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $81 x^{2} + 25 y^{2} + 810 x - 450 y + 2025$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25 y^{2}] + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$ .

$\frac{d}{d x} [81 x^{2}] + \frac{d}{d x} [25 y^{2}] + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Paso 3.2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [81 x^{2}]$ .

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Paso 3.2.2.1

Como $81$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $81 x^{2}$ con respecto a $x$ es $81 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ .

$81 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [25 y^{2}] + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Paso 3.2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$81 (2 x) + \frac{d}{d x} [25 y^{2}] + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Paso 3.2.2.3

Multiplica $2$ por $81$ .

$162 x + \frac{d}{d x} [25 y^{2}] + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Paso 3.2.3

Evalúa $\frac{d}{d x} [25 y^{2}]$ .

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Paso 3.2.3.1

Como $25$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $25 y^{2}$ con respecto a $x$ es $25 \frac{d}{d x} [y^{2}]$ .

$162 x + 25 \frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Paso 3.2.3.2

Diferencia con la regla de la cadena, que establece que $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ es $f' (g (x)) g' (x)$ donde $f (x) = x^{2}$ y $g (x) = y$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.3.2.1

Para aplicar la regla de la cadena, establece $u$ como $y$ .

$162 x + 25 (\frac{d}{d u} [u^{2}] \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Paso 3.2.3.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ es $n u^{n - 1}$ donde $n = 2$ .

$162 x + 25 (2 u \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Paso 3.2.3.2.3

Reemplaza todos los casos de $u$ con $y$ .

$162 x + 25 (2 y \frac{d}{d x} [y]) + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Paso 3.2.3.3

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$162 x + 25 (2 y y') + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Paso 3.2.3.4

Multiplica $2$ por $25$ .

$162 x + 50 y y' + \frac{d}{d x} [810 x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Paso 3.2.4

Evalúa $\frac{d}{d x} [810 x]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.4.1

Como $810$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $810 x$ con respecto a $x$ es $810 \frac{d}{d x} [x]$ .

$162 x + 50 y y' + 810 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Paso 3.2.4.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$162 x + 50 y y' + 810 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Paso 3.2.4.3

Multiplica $810$ por $1$ .

$162 x + 50 y y' + 810 + \frac{d}{d x} [- 450 y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Paso 3.2.5

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 450 y]$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.2.5.1

Como $- 450$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 450 y$ con respecto a $x$ es $- 450 \frac{d}{d x} [y]$ .

$162 x + 50 y y' + 810 - 450 \frac{d}{d x} [y] + \frac{d}{d x} [2025]$

Paso 3.2.5.2

Reescribe $\frac{d}{d x} [y]$ como $y'$ .

$162 x + 50 y y' + 810 - 450 y' + \frac{d}{d x} [2025]$

Paso 3.2.6

Como $2025$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $2025$ con respecto a $x$ es $0$ .

$162 x + 50 y y' + 810 - 450 y' + 0$

Paso 3.2.7

Simplifica.

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Paso 3.2.7.1

Suma $162 x + 50 y y' + 810 - 450 y'$ y $0$ .

$162 x + 50 y y' + 810 - 450 y'$

Paso 3.2.7.2

Reordena los términos.

$50 y y' + 162 x + 810 - 450 y'$

Paso 3.3

Como $0$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $0$ con respecto a $x$ es $0$ .

$0$

Paso 3.4

Reforma la ecuación al hacer que el lado izquierdo sea igual al lado derecho.

$50 y y' + 162 x + 810 - 450 y' = 0$

Paso 3.5

Resuelve $y'$

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Paso 3.5.1

Mueve todos los términos que no contengan $y'$ al lado derecho de la ecuación.

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Paso 3.5.1.1

Resta $162 x$ de ambos lados de la ecuación.

$50 y y' + 810 - 450 y' = - 162 x$

Paso 3.5.1.2

Resta $810$ de ambos lados de la ecuación.

$50 y y' - 450 y' = - 162 x - 810$

Paso 3.5.2

Factoriza $50 y'$ de $50 y y' - 450 y'$ .

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Paso 3.5.2.1

Factoriza $50 y'$ de $50 y y'$ .

$50 y' y - 450 y' = - 162 x - 810$

Paso 3.5.2.2

Factoriza $50 y'$ de $- 450 y'$ .

$50 y' y + 50 y' \cdot - 9 = - 162 x - 810$

Paso 3.5.2.3

Factoriza $50 y'$ de $50 y' y + 50 y' \cdot - 9$ .

$50 y' (y - 9) = - 162 x - 810$

Paso 3.5.3

Divide cada término en $50 y' (y - 9) = - 162 x - 810$ por $50 (y - 9)$ y simplifica.

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Paso 3.5.3.1

Divide cada término en $50 y' (y - 9) = - 162 x - 810$ por $50 (y - 9)$ .

$\frac{50 y' (y - 9)}{50 (y - 9)} = \frac{- 162 x}{50 (y - 9)} + \frac{- 810}{50 (y - 9)}$

Paso 3.5.3.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.2.1

Cancela el factor común de $50$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{50 y' (y - 9)}{50 (y - 9)} = \frac{- 162 x}{50 (y - 9)} + \frac{- 810}{50 (y - 9)}$

Paso 3.5.3.2.1.2

Reescribe la expresión.

$\frac{y' (y - 9)}{y - 9} = \frac{- 162 x}{50 (y - 9)} + \frac{- 810}{50 (y - 9)}$

Paso 3.5.3.2.2

Cancela el factor común de $y - 9$ .

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Paso 3.5.3.2.2.1

Cancela el factor común.

$\frac{y' (y - 9)}{y - 9} = \frac{- 162 x}{50 (y - 9)} + \frac{- 810}{50 (y - 9)}$

Paso 3.5.3.2.2.2

Divide $y'$ por $1$ .

$y' = \frac{- 162 x}{50 (y - 9)} + \frac{- 810}{50 (y - 9)}$

Paso 3.5.3.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.3.1

Simplifica cada término.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.3.1.1

Cancela el factor común de $- 162$ y $50$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.3.1.1.1

Factoriza $2$ de $- 162 x$ .

$y' = \frac{2 (- 81 x)}{50 (y - 9)} + \frac{- 810}{50 (y - 9)}$

Paso 3.5.3.3.1.1.2

Cancela los factores comunes.

Toca para ver más pasos...

Paso 3.5.3.3.1.1.2.1

Factoriza $2$ de $50 (y - 9)$ .

$y' = \frac{2 (- 81 x)}{2 (25 (y - 9))} + \frac{- 810}{50 (y - 9)}$

Paso 3.5.3.3.1.1.2.2

Cancela el factor común.

$y' = \frac{2 (- 81 x)}{2 (25 (y - 9))} + \frac{- 810}{50 (y - 9)}$

Paso 3.5.3.3.1.1.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = \frac{- 81 x}{25 (y - 9)} + \frac{- 810}{50 (y - 9)}$

Paso 3.5.3.3.1.2

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{81 x}{25 (y - 9)} + \frac{- 810}{50 (y - 9)}$

Paso 3.5.3.3.1.3

Cancela el factor común de $- 810$ y $50$ .

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Paso 3.5.3.3.1.3.1

Factoriza $10$ de $- 810$ .

$y' = - \frac{81 x}{25 (y - 9)} + \frac{10 (- 81)}{50 (y - 9)}$

Paso 3.5.3.3.1.3.2

Cancela los factores comunes.

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Paso 3.5.3.3.1.3.2.1

Factoriza $10$ de $50 (y - 9)$ .

$y' = - \frac{81 x}{25 (y - 9)} + \frac{10 (- 81)}{10 (5 (y - 9))}$

Paso 3.5.3.3.1.3.2.2

Cancela el factor común.

$y' = - \frac{81 x}{25 (y - 9)} + \frac{10 \cdot - 81}{10 (5 (y - 9))}$

Paso 3.5.3.3.1.3.2.3

Reescribe la expresión.

$y' = - \frac{81 x}{25 (y - 9)} + \frac{- 81}{5 (y - 9)}$

Paso 3.5.3.3.1.4

Mueve el negativo al frente de la fracción.

$y' = - \frac{81 x}{25 (y - 9)} - \frac{81}{5 (y - 9)}$

Paso 3.6

Reemplaza $y'$ con $\frac{d y}{d x}$ .

$\frac{d y}{d x} = - \frac{81 x}{25 (y - 9)} - \frac{81}{5 (y - 9)}$

Paso 4

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- \frac{81 x}{25 (y - 9)} - \frac{81}{5 (y - 9)} = 0$ .

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Paso 4.1

Suma $\frac{81}{5 (y - 9)}$ a ambos lados de la ecuación.

$- \frac{81 x}{25 (y - 9)} = \frac{81}{5 (y - 9)}$

Paso 4.2

Divide cada término en $- \frac{81 x}{25 (y - 9)} = \frac{81}{5 (y - 9)}$ por $- 1$ y simplifica.

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Paso 4.2.1

Divide cada término en $- \frac{81 x}{25 (y - 9)} = \frac{81}{5 (y - 9)}$ por $- 1$ .

$\frac{- \frac{81 x}{25 (y - 9)}}{- 1} = \frac{\frac{81}{5 (y - 9)}}{- 1}$

Paso 4.2.2

Simplifica el lado izquierdo.

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Paso 4.2.2.1

La división de dos valores negativos da como resultado un valor positivo.

$\frac{\frac{81 x}{25 (y - 9)}}{1} = \frac{\frac{81}{5 (y - 9)}}{- 1}$

Paso 4.2.2.2

Divide $\frac{81 x}{25 (y - 9)}$ por $1$ .

$\frac{81 x}{25 (y - 9)} = \frac{\frac{81}{5 (y - 9)}}{- 1}$

Paso 4.2.3

Simplifica el lado derecho.

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Paso 4.2.3.1

Mueve el negativo del denominador de $\frac{\frac{81}{5 (y - 9)}}{- 1}$ .

$\frac{81 x}{25 (y - 9)} = - 1 \cdot \frac{81}{5 (y - 9)}$

Paso 4.2.3.2

Reescribe $- 1 \cdot \frac{81}{5 (y - 9)}$ como $- \frac{81}{5 (y - 9)}$ .

$\frac{81 x}{25 (y - 9)} = - \frac{81}{5 (y - 9)}$

Paso 4.3

Multiplica ambos lados por $25 (y - 9)$ .

$\frac{81 x}{25 (y - 9)} (25 (y - 9)) = - \frac{81}{5 (y - 9)} (25 (y - 9))$

Paso 4.4

Simplifica.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.1

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.1.1

Simplifica $\frac{81 x}{25 (y - 9)} (25 (y - 9))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.1.1.1

Reescribe con la propiedad conmutativa de la multiplicación.

$25 \frac{81 x}{25 (y - 9)} (y - 9) = - \frac{81}{5 (y - 9)} (25 (y - 9))$

Paso 4.4.1.1.2

Cancela el factor común de $25$ .

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Paso 4.4.1.1.2.1

Cancela el factor común.

$25 \frac{81 x}{25 (y - 9)} (y - 9) = - \frac{81}{5 (y - 9)} (25 (y - 9))$

Paso 4.4.1.1.2.2

Reescribe la expresión.

$\frac{81 x}{y - 9} (y - 9) = - \frac{81}{5 (y - 9)} (25 (y - 9))$

Paso 4.4.1.1.3

Cancela el factor común de $y - 9$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.1.1.3.1

Cancela el factor común.

$\frac{81 x}{y - 9} (y - 9) = - \frac{81}{5 (y - 9)} (25 (y - 9))$

Paso 4.4.1.1.3.2

Reescribe la expresión.

$81 x = - \frac{81}{5 (y - 9)} (25 (y - 9))$

Paso 4.4.2

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.2.1

Simplifica $- \frac{81}{5 (y - 9)} (25 (y - 9))$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.2.1.1

Cancela el factor común de $5 (y - 9)$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.4.2.1.1.1

Mueve el signo menos inicial en $- \frac{81}{5 (y - 9)}$ al numerador.

$81 x = \frac{- 81}{5 (y - 9)} (25 (y - 9))$

Paso 4.4.2.1.1.2

Factoriza $5 (y - 9)$ de $25 (y - 9)$ .

$81 x = \frac{- 81}{5 (y - 9)} (5 (y - 9) (5))$

Paso 4.4.2.1.1.3

Cancela el factor común.

$81 x = \frac{- 81}{5 (y - 9)} (5 (y - 9) \cdot 5)$

Paso 4.4.2.1.1.4

Reescribe la expresión.

$81 x = - 81 \cdot 5$

Paso 4.4.2.1.2

Multiplica $- 81$ por $5$ .

$81 x = - 405$

Paso 4.5

Divide cada término en $81 x = - 405$ por $81$ y simplifica.

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Paso 4.5.1

Divide cada término en $81 x = - 405$ por $81$ .

$\frac{81 x}{81} = \frac{- 405}{81}$

Paso 4.5.2

Simplifica el lado izquierdo.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.2.1

Cancela el factor común de $81$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.2.1.1

Cancela el factor común.

$\frac{81 x}{81} = \frac{- 405}{81}$

Paso 4.5.2.1.2

Divide $x$ por $1$ .

$x = \frac{- 405}{81}$

Paso 4.5.3

Simplifica el lado derecho.

Toca para ver más pasos...

Paso 4.5.3.1

Divide $- 405$ por $81$ .

$x = - 5$

Paso 5

Solve the function $f (x) = \frac{9 (5 + \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$ at $x = - 5$ .

Toca para ver más pasos...

Paso 5.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 5$ en la expresión.

$f (- 5) = \frac{9 (5 + \sqrt{(- 5) (- (- 5) - 10)})}{5}$

Paso 5.2

Simplifica el resultado.

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Paso 5.2.1

Simplifica el numerador.

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Paso 5.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{9 (5 + \sqrt{- 5 (5 - 10)})}{5}$

Paso 5.2.1.2

Resta $10$ de $5$ .

$f (- 5) = \frac{9 (5 + \sqrt{- 5 \cdot - 5})}{5}$

Paso 5.2.1.3

Multiplica $- 5$ por $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{9 (5 + \sqrt{25})}{5}$

Paso 5.2.1.4

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$f (- 5) = \frac{9 (5 + \sqrt{5^{2}})}{5}$

Paso 5.2.1.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (- 5) = \frac{9 (5 + 5)}{5}$

Paso 5.2.1.6

Suma $5$ y $5$ .

$f (- 5) = \frac{9 \cdot 10}{5}$

Paso 5.2.2

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 5.2.2.1

Multiplica $9$ por $10$ .

$f (- 5) = \frac{90}{5}$

Paso 5.2.2.2

Divide $90$ por $5$ .

$f (- 5) = 18$

Paso 5.2.3

La respuesta final es $18$ .

$18$

Paso 6

Solve the function $f (x) = \frac{9 (5 - \sqrt{x (- x - 10)})}{5}$ at $x = - 5$ .

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Paso 6.1

Reemplaza la variable $x$ con $- 5$ en la expresión.

$f (- 5) = \frac{9 (5 - \sqrt{(- 5) (- (- 5) - 10)})}{5}$

Paso 6.2

Simplifica el resultado.

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Paso 6.2.1

Simplifica el numerador.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.1.1

Multiplica $- 1$ por $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{9 (5 - \sqrt{- 5 (5 - 10)})}{5}$

Paso 6.2.1.2

Resta $10$ de $5$ .

$f (- 5) = \frac{9 (5 - \sqrt{- 5 \cdot - 5})}{5}$

Paso 6.2.1.3

Multiplica $- 5$ por $- 5$ .

$f (- 5) = \frac{9 (5 - \sqrt{25})}{5}$

Paso 6.2.1.4

Reescribe $25$ como $5^{2}$ .

$f (- 5) = \frac{9 (5 - \sqrt{5^{2}})}{5}$

Paso 6.2.1.5

Extrae los términos de abajo del radical, bajo el supuesto de que tienes números reales positivos.

$f (- 5) = \frac{9 (5 - 1 \cdot 5)}{5}$

Paso 6.2.1.6

Multiplica $- 1$ por $5$ .

$f (- 5) = \frac{9 (5 - 5)}{5}$

Paso 6.2.1.7

Resta $5$ de $5$ .

$f (- 5) = \frac{9 \cdot 0}{5}$

Paso 6.2.2

Simplifica la expresión.

Toca para ver más pasos...

Paso 6.2.2.1

Multiplica $9$ por $0$ .

$f (- 5) = \frac{0}{5}$

Paso 6.2.2.2

Divide $0$ por $5$ .

$f (- 5) = 0$

Paso 6.2.3

La respuesta final es $0$ .

$0$

Paso 7

The horizontal tangent lines are $y = 18, y = 0$

$y = 18, y = 0$

Paso 8