Cálculo Ejemplos

$y = - 8 x + e^{x}$

Paso 1

Establece $y$ como una función de $x$ .

$f (x) = - 8 x + e^{x}$

Paso 2

Obtén la derivada.

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Paso 2.1

Según la regla de la suma, la derivada de $- 8 x + e^{x}$ con respecto a $x$ es $\frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ .

$\frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 2.2

Evalúa $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ .

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Paso 2.2.1

Como $- 8$ es constante con respecto a $x$ , la derivada de $- 8 x$ con respecto a $x$ es $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ .

$- 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 2.2.2

Diferencia con la regla de la potencia, que establece que $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ es $n x^{n - 1}$ donde $n = 1$ .

$- 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 2.2.3

Multiplica $- 8$ por $1$ .

$- 8 + \frac{d}{d x} [e^{x}]$

Paso 2.3

Diferencia con la regla exponencial, que establece que $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ es $a^{x} \ln (a)$ donde $a$ = $e$ .

$- 8 + e^{x}$

Paso 3

Establece la derivada igual a $0$ luego resuelve la ecuación $- 8 + e^{x} = 0$ .

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Paso 3.1

Suma $8$ a ambos lados de la ecuación.

$e^{x} = 8$

Paso 3.2

Resta el logaritmo natural de ambos lados de la ecuación para eliminar la variable del exponente.

$\ln (e^{x}) = \ln (8)$

Paso 3.3

Expande el lado izquierdo.

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Paso 3.3.1

Expande $\ln (e^{x})$ ; para ello, mueve $x$ fuera del logaritmo.

$x \ln (e) = \ln (8)$

Paso 3.3.2

El logaritmo natural de $e$ es $1$ .

$x \cdot 1 = \ln (8)$

Paso 3.3.3

Multiplica $x$ por $1$ .

$x = \ln (8)$

Paso 4

Resuelve la función original $f (x) = - 8 x + e^{x}$ en $x = \ln (8)$ .

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Paso 4.1

Reemplaza la variable $x$ con $\ln (8)$ en la expresión.

$f (\ln (8)) = - 8 \ln (8) + e^{\ln (8)}$

Paso 4.2

Simplifica el resultado.

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Paso 4.2.1

Simplifica cada término.

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Paso 4.2.1.1

Simplifica $- 8 \ln (8)$ al mover $8$ dentro del algoritmo.

$f (\ln (8)) = - \ln (8^{8}) + e^{\ln (8)}$

Paso 4.2.1.2

Eleva $8$ a la potencia de $8$ .

$f (\ln (8)) = - \ln (16777216) + e^{\ln (8)}$

Paso 4.2.1.3

Potencia y logaritmo son funciones inversas.

$f (\ln (8)) = - \ln (16777216) + 8$

Paso 4.2.2

La respuesta final es $- \ln (16777216) + 8$ .

$- \ln (16777216) + 8$

Paso 5

La tangente horizontal en la función $f (x) = - 8 x + e^{x}$ es $y = - \ln (16777216) + 8$ .

$y = - \ln (16777216) + 8$

Paso 6